Orlicz混合寬度積分①

楊林， 唐孝國， 譚楊， 羅淼

1.銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，貴州 銅仁 554300；2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴陽 550025

Orlicz-Brunn-Minkowski理論[1-3]基于LpBrunn-Minkowski理論[4]發(fā)展而來，在凸體或星體(及其相關(guān)的如投影體、 相交體等)的體積、混合體積、仿射表面積、寬度積分及弦長積分等研究目標(biāo)上建立了Orlicz-Minkowski不等式、Orlicz-Brunn-Minkowski不等式及其他一系列優(yōu)美的結(jié)果[5-11]． 近期關(guān)于平面上的凸體或凸曲線的研究可參見文獻(xiàn)[12-14]．

設(shè)K∈Kn的支撐函數(shù)h(K，·)為

h(K，u)=max{x·u：x∈K}u∈Sn-1

K的n維體積為

dS(K，u)表示K在u方向上的面積微元，K的寬度函數(shù)為

若存在正實數(shù)λ，使得b(K，u)=λb(L，u)，則稱K與L具有相似寬度．

確定．

由Orlicz組合的定義可知

同時建立了一系列不等式，如Orlicz-Aleksandrov-Fenchel不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式:

文獻(xiàn)[14]研究了K1，…，Kn∈Kn的混合寬度積分B(K1，…，Kn)，其積分表達(dá)式為

(1)

并建立了不等式

(2)

設(shè)α，β為非負(fù)且不同時為0的實數(shù)，文獻(xiàn)[10]定義并研究了K，L∈Kn的Orlicz寬度線性加法b(+φ(K，L，α，β)，u)，

其中

φ(x，y)=φ1(x)+φ2(y)φ1，φ2∈Φ1

由Orlicz寬度線性加法的定義可知

(3)

設(shè)K，L∈Kn，φ∈Φ1，0≤i

(4)

同時建立了如下Orlicz Minkowski不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式：

Orlicz-Minkowski不等式若K，L∈Kn，φ∈Φ1，0≤i

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

Orlicz Brunn-Minkowski不等式若K，L∈Kn，φ∈Φ2，0≤i

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

本文在文獻(xiàn)[9-10]的啟發(fā)下，定義了關(guān)于K1，…，Kn-1，K，L的Orlicz多元混合寬度積分Bφ(K1，…，Kn-1，K，L)，其表達(dá)式為

(5)

當(dāng)K1，…，Kn-1中有n-i-1個與K相等，其余i個為單位球時，(5)式即為公式(4)． 本文建立了Orlicz多元混合寬度積分的如下不等式：

定理1若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，則

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

定理2若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ2，α，β>0，則

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

為得到文中結(jié)論的證明，需借助以下引理:

引理2若K，L∈Kn，φ=φ(x，y)=φ1(x)+φ2(y)，φ1，φ2∈Φ1，則

證由引理1、(3)式及凸函數(shù)的性質(zhì)知

其中

引理3若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ2，則

證由引理1、 引理2、 (1)式，令

f(u)=b(K1，u) …b(Kn-1，u)

可以得到

由引理3與Bφ(K1，…，Kn-1，K，L)的定義，可得：

引理4設(shè)K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，則

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)f(u)=C(a．e．x∈X)，其中C為常數(shù)．

定理1的證明由引理4、 引理5及(1)式可得

(6)

由引理5不等式等號成立的條件知定理1中不等式等號成立的充要條件為K與L具有相似寬度．

由定理1、不等式(2)以及φ的單調(diào)遞減性可得：

推論1若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，1≤m

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

在推論1中令φ(x)=x-p，可得：

推論2若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，1≤m

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

當(dāng)推論1中，當(dāng)m=n-1時，有：

推論3若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ1，則

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

定理2的證明由(1)，(3)式與引理4，令

C=(K1，…，Kn-1)

可得

整理即得

由定理1不等式等號成立的條件知定理2中不等式等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

由定理2、不等式(2)以及φ的單調(diào)性，可得：

推論4若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，φ∈Φ2，1≤m

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．

在定理2中令φ(x，y)=x-p+y-p，得：

推論5若K1，…，Kn-1，K，L∈Kn，p≥1，則

B(K1，…，Kn-1，+p(K，L，1，1))-p≥B(K1，…，Kn-1，K)-p+Bφ(K1，…，Kn-1，L)-p

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K與L具有相似寬度．