擬線性Kirchhoff型問題解的存在性①

鄒小林

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

考慮如下p階Kirchhoff問題：

(1)

問題(1)有非局部項M(‖u‖p)，因此問題(1)是一個非局部問題，與下面的Kirchhoff方程有關：

(2)

方程(2)由Kirchhoff提出，該方程推廣了彈性弦自由振動的經典D′A lembert’s波動方程． 在之后，有許多學者對Kirchhoff方程進行了研究，可以參見文獻[1-4]．

對于帶有狄利克雷邊界條件的臨界Kirchhoff問題，可以參見文獻[5-7]． 特別地，文獻[8]用變分方法研究了如下問題解的存在性和多解性：

其中

M(t)=a+btm

并且λ>0，a>0，b>0，p(m+1)

文獻[9]利用Nehari流形和纖維映射方法得到了下列問題弱解的多解性：

這里M(s)=a+bsk，其中a，b，k>0． 并且1

文獻[10-12]研究了具有非線性邊界條件的問題． 文獻[13]利用集中緊性原理和山路引理研究了下列擬線性橢圓問題解的存在性和多解性：

受文獻[13]的啟發，我們考慮問題(1)解的存在性． 我們對Kirchhoff函數M作如下假設：

若u∈W1，p(Ω)滿足

則稱u是問題(1)的弱解．

定理1假設10，使得對?λ∈[λ*，+∞)，問題(1)至少有一個非平凡解．

定義X=W1，p(Ω)為索伯列夫空間，相應的范數為

當r∈[p，p*)時，嵌入XLr(Ω)是緊的． 設S為嵌入XLp*(Ω)的最佳常數，即

問題(1)的能量泛函為

易得Iλ(u)∈C1(X，R)，于是對?φ∈X，有

引理1[14，定理2.8]設(X，‖·‖X)是實Banach空間，I∈C1(X，R)滿足I(0)=0，并且：

(i) 存在常數ρ，α>0，使得I|?Bρ≥α；

(ii) 存在e∈XBρ，使得I(e)<0．

Γ={γ∈C1([0，1]，X)|γ(0)=0，γ(1)=e}

引理2假設定理1的條件成立，則：

(i) 存在常數α，ρ>0，使得‖u‖=ρ時，有Iλ(u)≥α；

(ii) 存在e∈X，使得‖e‖>ρ，且Iλ(e)≤0．

證利用跡定理和索伯列夫不等式，存在C1>0，使得

由1

由引理2可知，泛函Iλ(u)滿足山路定理的幾何結構，從而存在(PS)cλ序列，其中

且

Γ={γ∈C[0，1]|γ(0)=0，γ(1)=e}

證取u0∈X使得‖u0‖Lp*=1，則有

從而存在tλ>0，使得

且tλ滿足

事實上，{tλ}是有界的．

由條件(M2)有

(3)

不妨假設對λ>0，有tλ≥1． 從(3)式可以得到

若t0>0，可得

從而存在λ*>0，使得λ≥λ*，

證步驟1 證明(PS)cλ序列的有界性．

(4)

則

因為δ∈(ξ，1]，1

‖un‖p?μ|un|p*?υ

這里μ，υ是非負有界測度，M(RN)是RN上的有界測度空間． 在至多可數的集J上，存在RN中的不相等的點族{xj∈Ω|j∈J}，以及一個正數族{vj∈Ω|j∈J}，使得

(5)

即

(6)

由{‖un‖}有界和勒貝格控制收斂定理以及跡定理，可得

(7)

由H?lder不等式可得

(8)

(9)

(10)

由H?lder不等式和跡嵌入定理，對r∈[p，p*)，嵌入XLr(?Ω)是緊的，可得

(11)

由(9)-(11)式和{M(‖un‖p)}是有界的，可得

(12)

在證明中將會用到下面不等式：

(13)

其中C1p，C2p是與p有關的正數．

分為以下兩種情況討論：

情形1 當p≥2時，由(12)，(13)式以及{un}在X中弱收斂，un?u，可得

情形2 當10，有

我們有

定理1的證明

通過引理4可知Iλ(u)滿足(PS)cλ條件，由極大極小值原理可知，泛函Iλ在cλ處存在臨界點uλ，由Iλ(uλ)=cλ>0，故uλ≠0．