一類具有超線性項的Kirchhoff方程的變號解①

張玲， 呂穎

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

本文考慮如下一類Kirchhoff方程最小能量變號解的存在性：

(1)

其中a，b>0，位勢函數V具有雙位勢阱． 該類方程首次是由D’Alembert在研究伸縮繩的自由振動的經典波動方程時提出．Kirchhoff問題具有廣泛的研究意義，它在物理問題、人工智能和彈性理論等諸多領域都有十分廣泛的應用．在非線性項滿足不同條件的假設下，關于Kirchhoff方程正解的存在性和多解性，以及基態解的存在性已有很多結果[1-8]． 但是研究方程(1)的變號解的文章很少[9-11]． 文獻[11]設V具有雙位勢阱，非線性項是漸近三次的，研究了方程(1)最小能量變號解的存在性． 本文假設位勢函數V有雙位勢阱，并且假設f滿足超三次條件，研究了最小能量變號解的存在性．在本文中，V和f滿足下列條件：

(V1)V∈C(RN，R)，V(x)≥0，并且存在c0>0，使得集合{x∈RN：V(x)

(f1)f(t)∈C(R3×R，R) ，存在常數2

令H是加權索伯列夫空間

在H上的范數為

由條件(V1)，(f1)，(f2)易知I是連續可微的． 若u∈H1(R3)是方程(1)的解且u±≠0，則u叫做方程(1)的變號解，其中u+=max{0，u}，u-=min{0，u}． 若u是方程(1)的一個變號解，且對任意的變號解v都有I(u)≤I(v)，則u叫做方程(1)的最小能量變號解．

定義流形

m=inf{I(u)：u∈M}

下面介紹本文的主要結果：

定理1假設條件(V1)-(V2)和(f1)-(f4)成立，則方程(1)至少有一個最小能量變號解．

注1(i) 條件(V2)說明位勢V具有雙位勢阱；

引理1若條件(V1)，(V2)和(f1)-(f4)成立，則M≠?．

其中

此等式可以等價為

其中

考慮帶參數υ∈[0，1]的方程組

(2)

令

U={υ：υ∈[0，1]，使得方程組(2)在R+×R+中有解}

首先證明0∈U． 由于g0(s，t)與t無關，q0(s，t)與s無關，則不失一般性，只需要證明存在s1>0，使得g0(s1，t)=0成立．

(3)

由條件(f3)和(f4)成立，有

(4)

結合(3)式和(4)式知，當s>0足夠大時，有g0(s，t)<0． 由g0(s，t)的解析式知，當s>0足夠小時，有g0(s，t)>0． 由g0(s，t)的連續性，則存在s1>0使得g0(s1，t)=0． 因此得證0∈U． 由條件(f4)，有f′(t)t2>3f(t)t，則由隱函數定理可證明U在[0，1]上既是開集也是閉集，類似的證明可參見文獻[12]． 故完成了引理1的證明．

引理2若條件(V1)，(V2)和(f1)-(f4)成立，則M是H中的閉集．

證當u∈M時，有〈I′(u)，u±〉=0，由條件(f1)，(f2)和索伯列夫嵌入定理，對?ε>0，存在Cε>0，使得

所以

‖u±‖≥c

(5)

〈I′(u)，u+〉=〈I′(u)，u-〉=0

因此有u∈M，即M在H中是閉集．

定義函數φ(s，t)=I(su++tu-)．

引理3若條件(V1)-(V2)和(f1)-(f4)成立，假設u∈H，并且u±≠0，則：

(i) 若φ′s(1，1)≤0且φ′t(1，1)≤0，則存在唯一一對正數0

(ii) 若φ′s(1，1)≥0且φ′t(1，1)≥0，則存在唯一一對正數su，tu≥1，使得suu++tuu-∈M．

證

(6)

其中

結合條件(f1)-(f4)可得： 當su>0且足夠小時，有φ′s(su，su)>0，φ′t(su，su)>0； 當tu>0且足夠大時，有φ′s(tu，tu)<0，φ′t(tu，tu)<0 ． 則存在0

φ′s(r，tu)<0φ′s(R，tu)<0

φ′s(su，r)>0φ′s(su，R)>0

由Miranda定理，存在su，tu，并且r

φ′s(su，tu)=0φ′t(su，tu)=0

故suu++tuu-∈M． 假設su，tu存在但不唯一，結合條件(f4)可推出矛盾，故存在唯一一對su，tu使得suu++tuu-∈M．

不失一般性，假設su≥tu>0，由suu++tuu-∈M，有

(7)

根據φ′s(1，1)≤0，有

(8)

結合(7)式和(8)式，得到

若su>1，由條件(f4)可推出是矛盾的． 因此有su≤1，(i)得證．同理可證明(ii)．

引理4若條件(V1)，(V2)和(f1)-(f4)成立，則極小化序列{un}∈M在H中是有界的．

證令{un}∈M是極小化序列，則有

因此，{un}在H中是有界的．

證對任意u∈M，有

即I在M中有下界，根據Ekeland變分原理知極小化序列{un}?M滿足

(9)

由h的定義可知h±(0，0，0)=0，且h±(t，s，l)是連續可微的． 令

則有

因為un∈M，故有

由

可得

同理可得

則由隱函數定理可知，存在常數δn和函數sn(t)，ln(t)∈C1((-δn，δn)，R)，使得sn(0)=ln(0)，并且對任意的t∈(-δn，δn)，有

h±(t，sn(t)，ln(t))=0

(10)

即

(11)

下證{s′n(0)}和{l′n(0)} 是有界的． 根據(10)式，有

(12)

其中

根據(12)式，有

(13)

其中

由{un}在H的有界性和簡單計算，可得

下證detM1>0．

并且結合(5)式，有

再結合(13)式可得{s′n(0)}是有界的，即對任意φ∈H，有|s′n(0)|

由{un}，{s′n(0)}和{l′n(0)}的有界性，有

|〈I′(un)，φ〉|=o(1)‖φ‖

定理1的證明由引理4和引理5，可知存在極小化序列{un}?M，滿足

(14)

(15)

其中

注意到

在(15)式中取φ=u±，于是有

〈I′(u)，u±〉≤0

由引理3可知，存在(su，tu)∈(0，1]×(0，1]，使得

由條件(f4)，有