基于數學關鍵能力發展的幾何變換圖形構造問題解決

林奕杰

摘要：利用幾何變換進行圖形的構造是一種數學解題模型，能有效促進學生 空間觀念、幾何直觀、推理能力和模型思想等數學關鍵能力的發展。

關鍵詞：初中生數學關鍵能力;幾何變化;問題解決

羅增儒教授在“解題策略的基本考慮”中介紹了模式識別策略：學習數學的過程中，所積累的知識經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要類型——模式，…當遇到一個新問題時，我們辨認它屬于哪一類基本模式，…以此為索引，在記憶貯存中提取相應的方法加以解決，這就是模式識別的解題策略[2].因此我們可以認為：解題就是數學模型的構造和應用的過程.通過‘分析組合題中已有的條件原素形成有效的數學模型或添加輔助線元素把題中殘缺的數學模型補充完整’，獲得‘結構完整的、關系明確的數學模型’達成‘條件用足，模型完整’[3]，從而解決問題。

利用幾何變換進行圖形的構造是一種數學解題模型，能有效促進學生 空間觀念、幾何直觀、推理能力和模型思想等數學關鍵能力的發展。在幾何的解題中，當題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時，我們可以將圖形作一定的變換，這樣有利于發現問題的隱含條件，把隱性條件顯性化，使問題得以突破.幾何圖形的構造一般有以下三種構造方式：①有則組之，即組形;②缺則補之，即補形;③無則變之，即變形.構造的手段往往就是幾何變換.初中涉及到的常見幾何變換有：旋轉、平移、軸對稱、位似.本文所選例題題干簡約不簡單、圖形簡潔內容豐富，蘊藏著豐富的幾何建模思想，本文依托于此題僅從旋轉和對稱的變換角度進行初步探究。

試題在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉得到線段CD，旋轉角為α.

（1）如圖1，∠BAC=90°，α=45°，試求點D到邊AB，AC的距離的比值;

（2）如圖2，∠BAC=100°，α=20°，連接AD，BD，求∠CBD的大小.

以上輔助線作法是根據“缺則補之”的構造原則，把兩個隱藏的具有旋轉關系的三角形顯性化，再利用三角形的相關性質，獲得未知角和已知角之間的數量關系，達成問題解決。

本文系福建省教育科學“十四五”規劃課題（FJJKZX21-339）“基于數學關鍵能力發展的質疑式初中數學教學實踐研究”階段性成果