淺談新教材下三角函數單調性的教學策略

彭霞

摘要：三角函數是高中數學函數教學的重要組成部分，三角函數的性質是高考的必考知識點，而單調性是其性質中非常重要的一個性質。三角函數的教學過程中涉及各種概念、公式等信息量巨大，用到整體代換、數形結合等數學思想方法，且應用靈活多變，這都給我們的教學帶來不小的挑戰。2020年9月廣東高一的學生全面啟用了新教材《普通高中教科書數學必修第一冊》（A版2019），老師在教學過程中需要認真研究和對比新舊教材中有關三角函數單調性求解過程中的相同點和不同點，因材施教，找出最適合我們學生的教學策略，幫助同學們真正理解這部分的內容。

關鍵詞：新教材;三角函數;單調性;教學策略

《高中數學課程標準》（2017）中明確指出高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一，且高中數學不能只限于形式化的表達。新教材（人教A版必修第一冊P205例5）在三角函數單調性的求解方法上就充分體現了 “提高學生的數學思維能力”這一數學教育基本目標。

例題的求解過程利用了復合函數單調性“同增異減”的特點，采用整體代換的數學思想把 看作新的變量z，借助正弦函數y=sin z在相應區間上的圖像直觀判斷獲得當時y=sin z的單調遞增區間是此時有很多同學會誤認為就是原函數的單調遞增區間，事實上z只是中間變量我們最終要求的是x的取值范圍，所以還需把z換為解出x的取值范圍從而得到函數當的單調遞增區間.該例題充分體現了數學抽象、數學運算、邏輯推理的數學核心素養，對學生的能力要求較高，對數學基礎差的同學有一定的難度，但同時也是挑戰，不僅能激發學生的數學學習興趣和成就感，而且還能鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，更符合高中數學新課標的課程理念。請同學們在掌握了例5的解題方法的基礎上求解下面的例題：

此例題中我們求出了函數當x∈R時的所有單調遞增區間（單調遞減區間的求法與遞增區間的求法是一樣的），并且體現出了正弦函數的周期性。通過這兩個例題的求解使同學們順利地完成了由特殊到一般的數學推理能力，同時也體現的同學們的總結歸納能力，對同類問題的應變能力，體現了高中數學新課程標準的課程理念——強調本質。新教材沒有一開始就給出函數當x∈R時單調遞增區間的求法而是通過例題讓同學們自己推理、歸納、總結，避免形式化。

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。每個同學對同一個問題的認知都可能存在差異，有的同學理解能力強，例5對他來說豪無壓力，但對有的同學來說壓力就很大了，所以我們能不能換一種方法在變式1的基礎上求解例5呢？人教A版《高中數學必修4》（2004）P39的例5給了我們答案。

此種解法和新教材恰好相反，這是從一般到特殊的求解過程，首先求出函數在R上的所有單調遞增區間，其次通過取k的一些特殊值（-1，0，1）求出某些單調遞增區間，最后通過求集合的交集得到所求的單調遞增區間。此種解法“套路”明顯，整個過程只有一次整體代換的數學思想，老師在平時教學中通過歸納總結解題步驟并且反復練習即使是基礎差的同學也能掌握此種方法的解題技巧從而求解出正確答案，但與新教材的解法相比較過程顯得復雜不夠簡練。

高中數學課程標準明確指出“形式化是數學的基本特征之一。在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學思維活動淹沒在形式化的海洋里。數學的現代發展也表明，全盤形式化是不可能的。因此，高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。數學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態”。新教材中例5的解題思路完全符合這一課程理念，不只限于形式化的表達而是通過典型例子讓學生自主探索并把結論推廣到一般。而舊教材的解法比較形式化和“套路”化。有句俗話叫“死去活來”，我想用在我們的數學學習中也是合適的，當同學們理解有困難時我們可以給定某些“規定動作”讓同學們反復練習從而達到熟能生巧順利解決問題的目的。比如舊教材中例5的求解過程可以歸納為：一、代換，二、求解，三、取值，四、交集，五、下結論等這五個“規定動作”。在實際教學中我所任教的一個班是理科普通班（中考成績大多在610分左右），這個班我兩種方法都介紹并讓同學們歸納總結出此類問題的一般解法，選取自己最容易掌握的方法并反復不斷練習，另一個班是藝術班，這個班的教學主要以舊教材中的方法為主，以學生為主體是我們教學的宗旨。

變式2：求出函數，的單調遞增區間。（新教材P207思考）

此“思考”題主要是為了使學生對于復合函數的單調性問題有一個完整的認識，分析思路是一樣的，有兩種方法：

變式3：求出函數的單調遞增區間。

同學們在變式2的基礎上總結歸納出變式3的求解方法（課后作業）。

學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程的學習過程中還應倡導積極主動、勇于探索的學習方法，這也是高中數學新課標的要求，我們在三角函數單調性的教學過程中要不斷滲透這種思想為同學們高中數學課程的學習打下堅實的基礎，為高考做好準備。

參考文獻：

[1]《普通高中數學課程標準》[M] 中華人民共和國教育部制訂 ，人民教育出版社出版

[2]《普通高中教科書數學必修第一冊》（2019）[M] 人民教育出版社 中學數學課程教材研究開發中心 課程教材研究所編著 人民教育出版社出版

[3]《普通高中教科書數學必修第一冊教師用書》（2019）[M] 人民教育出版社 中學數學課程教材研究開發中心 課程教材研究所編著 人民教育出版社出版

[4]《普通高中課程標準實驗教科書數學必修4》（2004）[M] 人民教育出版社 中學數學課程教材研究開發中心 課程教材研究所編著 人民教育出版社出版

[5]陳禹姍. 基于數學抽象素養的高中函數性質課堂教學. 哈爾濱師范大學.