“異面直線的概念”教學片段

史修鳳

【摘? 要】空間兩直線的位置關系是立體幾何中點、線、面位置關系的起始課，對于本節課的教學，本文主要闡述了如何突破異面直線的概念這一難點，教學中借助生活中的大量現象和實例，利用直觀感知、問題探究、小組合作、自主學習、交流分享的方式，通過思辨論證揭示數學本質，讓學生理解異面直線概念的本質。

【關鍵詞】異面直線;合作探究;觀察發現;交流分享

空間兩直線的位置關系是立體幾何中點、線、面位置關系的起始課，上好本節課可以為學生打好學習立體幾何的基礎，開個好頭。空間兩直線的位置關系這節課中異面直線的概念是個難點，如何突破這個難點呢？筆者主要借助生活中的大量現象和實例，利用直觀感知、問題探究、小組合作、自主學習、交流分享的方式，通過思辨論證揭示數學本質，讓學生理解異面直線概念的本質。下面是筆者在教學中突破異面直線概念的教學片段。

一、問題探究，觀察發現

研究空間位置關系很多時候可以從平面問題入手，我們研究空間兩直線的位置關系也是從平面兩直線的位置關系開始的。

問題1：請同學們回顧平面內兩直線的位置關系有哪些？（投出幻燈片）

生1：兩條直線沒有公共點是平行，兩條直線有一個公共點是相交。

師：完全正確！我們在初中研究平面內兩直線的位置關系時，從公共點的個數這個角度去描述平行和相交，可得到如下結論：

相交直線（有一個公共點）

平行直線（無公共點）

師：我們學習了平面內兩直線的位置關系，那么在空間中兩直線又會有怎樣的位置關系呢？為了弄清楚這個問題，我們可以先從大家熟悉的長方體的棱位置關系來研究。

問題2：請結合下面的長方體圖形，回答下列問題：①有與AB平行的棱嗎？請你找出來;②有與AB相交的棱嗎？請你找出來;③還剩下哪些棱呢？請你也把它們找出來，并研究這些剩下的棱與AB是什么樣的關系。（投出幻燈片）

設置3個小問題，既便于學生觀察和回答，又便于突出主旨內容，學生更容易發現長方體12條棱中哪些棱與AB平行，哪些棱與AB相交，哪些棱與AB既不相交又不平行。對于最后一種情況，是平面中所沒有的，激起了學生的學習興趣，抓住了學生的注意力，同時更能突出主題，最后的這種位置關系是只有在空間中才有的位置關系。

生2：與AB平行的棱有CD、A1B1、C1D1，與AB相交的棱有AA1、AD、BC、BB1，還剩下的棱是DD1、A1D1、B1C1、CC1。

師：長方體12條棱中，最后剩下的這4條棱DD1、A1D1、B1C1、CC1。

與AB相交嗎？平行嗎？

生：既不平行也不相交（齊聲回答，雖然結論明顯，也要讓學生說出來）。

師：這種既不平行也不相交的兩直線位置關系就是空間兩直線的第三種位置關系，也是本節課研究和學習的內容。這種位置關系不僅在數學中大量存在，在我們的生活中也有很多。下面請大家觀賞我們生活中這樣的實例：

二、合作交流，討論確認

師：通過上面大量的實例，我們可以知道數學來源于生活，我們要學會對生活的現象進行歸納抽象，抽象出數學本質。下面請各位同學思考它們都有什么共同點？

給學生足夠時間，讓他們分小組合作，自主學習，討論交流，隨后請各小組總結發言，試錯中再調整，發展學生的理性思維，讓他們學會有邏輯的思考。

生3：我們小組認為它們都是既不平行也不相交。

師：非常好，從圖形的直觀上看既不平行也不相交，抓住了它們的特點，還有沒有其他想法？

生4：這些直線沒有公共點，但是它們并不平行。

師：說得非常好！類比平面位置關系，從公共點個數來研究，但是在空間問題中僅從公共點的有無來判斷，并不能幫助我們解決這個問題，那么還需要考察什么呢？

給學生留些思考的時間，同時老師給予啟發。

師：構成空間圖形的基本元素是點、線、面，研究空間“線線”位置關系，僅從是否有公共點這個角度思考顯然不能解決問題，還可以加入哪個要素？

有學生恍然大悟。

生5：還可以考慮 “平面”這個要素，我們小組認為它們在兩個不同的平面內。

師：很有創意的想法，加入了“平面”來進行研究，但思考不夠深入，讓我們共同優化一下這想法，使其更合理、嚴謹。

引導學生觀察兩個平面內的直線可能存在的位置關系，在巡視的過程中，發現有的有學生找出以下反例：

生6：通過上述圖例可以說明，在兩個不同平面內的兩直線可能相交也可能平行，所以他們的說法并不正確。

師：雖然第三小組的結論不嚴謹，但是他們在考慮位置關系時，考慮了“面”這個要素，這是值得肯定的，我們不妨從這個角度出發，好好思考一下，如何表述得更嚴謹、合理。

留時間給學生思考，并引導學生，在兩個平面內也不能說明一定是異面。

師：通過大家的討論，空間中這些直線的共同點是：沒有公共點，既不平行也不相交，不在同一平面內。請大家認真思考，如何理解不在同一平面內。

生7：我認為是沒有一個平面能包含這兩條直線。

師：非常棒的想法！我們不能簡單地認為這兩直線在兩個不同的平面內，而是它們不同在任何一個平面內，這個條件更重要。我們把不同在任何一個平面內的直線叫作異面直線，同時請大家注意它的含義，異面直線不能簡單地理解為它們在兩個不同的平面內。

至此，我們得到異面直線的概念。這一過程讓學生經歷了數學的發現過程，在試錯中調整再調整，通過老師的引導，學生自主發現數學本質，調動了學生學習數學的興趣和積極性，同時培養了學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等數學核心素養，還滲透了數學的文化價值，體現了數學來源于生活。

三、課后反思

空間兩直線的位置關系是空間點、線、面位置關系的起始，又是學習線線、面面位置關系的基礎，可以說立體幾何是從這里真正開始的，而其中對異面直線的概念學習，將使學生的思想認識從平面拓展到立體空間，這是一次質的飛躍。本文選取異面直線概念教學來闡述，問題雖小，但是其研究手段和方法還是非常典型的，極具代表性。現將這一過程的教學進行簡單的反思總結。

首先，我們在學習時，經常會以舊知帶新知，從熟悉的知識入手，而且空間問題平面化是立體幾何中常用的思想方法。因此，引入問題時，設計從平面兩直線位置關系開始，過渡自然、流暢，符合我們的學習規律。

其次，在形成概念的過程中，主要采用了自主學習、合作探究、小組交流的方式，并積極創造問題情境，抓住學生的注意力，引導學生積極參與學習活動，通過一系列的問題串，層層遞進，啟發學生多思考，調動學生學習的主動性和積極性，使學生經歷了完整的數學發現過程，培養了學生的理性思維，教會他們有邏輯的思考，發展了學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理、分析問題和解決問題等數學核心素養。

最后，大量生活中的實例展示了數學來源于生活，引導學生感悟數學的審美價值和科學價值，滲透了數學的文化教育功能，而且讓學生知道在學習的過程中可充分借助生活中的實例和模型，比如教室、書、筆等。

課后，讓我覺得最大的不足之處是，異面直線概念形成中，由于課堂時間不足，對“不同在任何一個平面內”，沒有給予學生足夠的時間去論證。

這節課是發展學生數學核心素養以及滲透數學文化的一種嘗試，拋磚引玉，希望能學習到更多老師的優秀案例。F0661F9A-705F-4F3E-8D73-D039745F8B62