機(jī)械課程中機(jī)構(gòu)自由度計算的虛約束問題教學(xué)探討*

摘" 要" 機(jī)構(gòu)自由度的分析是機(jī)械系統(tǒng)運動學(xué)和動力學(xué)研究的基礎(chǔ)，也是機(jī)械工程專業(yè)及相關(guān)專業(yè)機(jī)械課程的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。在機(jī)構(gòu)自由度的分析中，由于虛約束存在的多樣性、復(fù)雜性、隱蔽性，部分教師和大多數(shù)學(xué)生難以真正掌握虛約束的本質(zhì)特性，經(jīng)常出現(xiàn)機(jī)構(gòu)自由度計算錯誤的現(xiàn)象，嚴(yán)重制約了教學(xué)質(zhì)量的提高和學(xué)生對機(jī)構(gòu)特性的理解。因此，針對機(jī)構(gòu)自由度計算時的虛約束問題開展教學(xué)方法的研究探討，具有重要的現(xiàn)實意義。

關(guān)鍵詞" 機(jī)械課程；機(jī)構(gòu)自由度；虛約束

中圖分類號：G642" " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1671-489X（2022）10-0113-04

0" 引言

機(jī)構(gòu)自由度的分析計算是機(jī)械原理[1]、機(jī)械設(shè)計基礎(chǔ)[2]、機(jī)器人學(xué)[3-4]等機(jī)械方面課程的重要內(nèi)容，由于機(jī)構(gòu)自由度分析存在諸如局部自由度、復(fù)合鉸鏈、虛約束等問題，教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)都存在不同程度的困難。特別是機(jī)構(gòu)自由度分析計算時的虛約束問題，更是部分教師和大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)課程的棘手難題[5]。因此，針對機(jī)構(gòu)自由度分析計算及虛約束的本質(zhì)特性問題開展教學(xué)方法探討，對提升諸如機(jī)械原理[6-7]、機(jī)械設(shè)計基礎(chǔ)[8]、機(jī)器人學(xué)[9]等課程的教學(xué)質(zhì)量具有重要意義。

1" 機(jī)構(gòu)自由度的定義及其注意事項

1.1" 理清歷史脈絡(luò)，掌握自由度內(nèi)涵

教師授課時可首先由機(jī)構(gòu)自由度的發(fā)展歷程出發(fā)，簡要介紹從俄國數(shù)學(xué)家和機(jī)械學(xué)家Chebyshev提出機(jī)構(gòu)自由度計算公式150年來，國內(nèi)外學(xué)者如Sylvester、Grübler、Hochman、Kutzbach、Wal-dron、張啟先、黃真等開展機(jī)構(gòu)自由度研究的概況，讓學(xué)生了解機(jī)構(gòu)自由度分析的淵源及其重要性；接著，引出機(jī)構(gòu)自由度的定義為機(jī)構(gòu)具有獨立運動參數(shù)的數(shù)目[1]，即為了使機(jī)構(gòu)的位姿得以確定必須給定的機(jī)構(gòu)獨立廣義坐標(biāo)的數(shù)目，促使學(xué)生深刻理解機(jī)構(gòu)自由度的內(nèi)涵；最后，通過闡述機(jī)構(gòu)自由度分析的復(fù)雜性以及目前機(jī)構(gòu)自由度計算公式與方法，繼而給出《機(jī)械原理》《機(jī)械設(shè)計基礎(chǔ)》等教材中

普遍采用的機(jī)構(gòu)自由度計算公式，即Grübler-Kutz-bach（G-K）公式。平面機(jī)構(gòu)自由度計算公式：

F=3n-2PL-PH" " " " " " （1）

空間機(jī)構(gòu)自由度計算公式：

這里，F(xiàn)為機(jī)構(gòu)自由度，n為機(jī)構(gòu)中活動構(gòu)件的數(shù)目，PL為低副數(shù)目，PH為高副數(shù)目，Pi（i=1，2，…，5）為具有i個約束的運動副數(shù)目。

也可將平面機(jī)構(gòu)自由度計算公式（1）和空間機(jī)構(gòu)自由度計算公式（2）統(tǒng)一表示為：這里，d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，d=6-λ，λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)（如對于一般形式的空間機(jī)構(gòu)，λ=0、d=6；對于平面機(jī)構(gòu)和球面機(jī)構(gòu)，λ=3、d=3；等等）。

1.2" 簡單實例示范，動畫輔助理解

為了便于學(xué)生深入理解和應(yīng)用機(jī)構(gòu)自由度公式（1）～（3），可由四桿機(jī)構(gòu)、平面串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)等簡單實例入手進(jìn)行教學(xué)分析，使學(xué)生初步掌握機(jī)構(gòu)自由度的分析與計算。接著，通過引入滾子凸輪機(jī)構(gòu)、圓盤鋸床機(jī)構(gòu)[2]、機(jī)車驅(qū)動輪聯(lián)動機(jī)構(gòu)[2]及其機(jī)構(gòu)動畫演示等，闡述實際機(jī)械機(jī)構(gòu)自由度計算的復(fù)雜性，進(jìn)一步講述機(jī)構(gòu)自由度計算時應(yīng)注意的問題，即復(fù)合鉸鏈、局部自由度和虛約束等。其中，虛約束（也稱冗余約束或過約束）是指機(jī)構(gòu)中某些運動副的構(gòu)件或支鏈引入的約束對機(jī)構(gòu)的運動只起重復(fù)限制作用的約束。由于虛約束存在多樣性、復(fù)雜性和隱蔽性，使得部分教師和大多數(shù)學(xué)生都難以真正掌握虛約束的本質(zhì)特性，經(jīng)常出現(xiàn)機(jī)構(gòu)自由度分析錯誤的現(xiàn)象，實為機(jī)構(gòu)自由度分析計算時的棘手問題。

2" 機(jī)構(gòu)虛約束的主要形式及本質(zhì)特性

2.1" 歸納常見結(jié)構(gòu)，助力虛約束識別

在機(jī)構(gòu)自由度分析計算時應(yīng)注意的三項問題中的復(fù)合鉸鏈和局部自由度事項，一般情況較容易理解和掌握，而虛約束問題在理解上以及熟練應(yīng)用方面則往往存在較多困難。為了便于掌握機(jī)構(gòu)自由度分析計算時的虛約束問題，表1給出機(jī)構(gòu)中常見虛約束的形式以及處理辦法。由表1常見虛約束的形式以及虛約束的定義可知，虛約束的本質(zhì)特性體現(xiàn)在其對機(jī)構(gòu)的運動不起限制作用（或重復(fù)約束），或其無論有無都不改變機(jī)構(gòu)的運動軌跡。根據(jù)虛約束的前述本質(zhì)特性，在分析計算機(jī)構(gòu)自由度時，可采取試拆除的方法檢驗機(jī)構(gòu)中是否存在虛約束。

2.2" 典型實例分析，認(rèn)知虛約束本質(zhì)

為了說明機(jī)構(gòu)中虛約束的本質(zhì)特性，給出雙滑塊橢圓機(jī)構(gòu)（如圖1所示）以及空間3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)（如圖2所示），進(jìn)行含有虛約束機(jī)構(gòu)的自由度分析計算。圖1中的橢圓機(jī)構(gòu)在結(jié)構(gòu)上滿足：AC垂直于AD，構(gòu)件1的長度為構(gòu)件2長度的一半，且點B處于構(gòu)件2的中點，也即BC間距離、BD間距離以及AB間距離皆相等。當(dāng)此機(jī)構(gòu)運動一個周期時，構(gòu)件2上點D的運動軌跡為x軸上的一個直線段，點C的運動軌跡為y軸上的一個直線段，點B的運動軌跡則落在以A為圓心、以AB長度為半徑的圓上，構(gòu)件2上除點B、點C和點D外的其余各點的運動軌跡皆為橢圓，這也是稱此機(jī)構(gòu)為橢圓機(jī)構(gòu)的原因。

若不考慮虛約束的影響，根據(jù)式（1）計算，則圖1中橢圓機(jī)構(gòu)的自由度為零，顯然是錯誤的。那么，圖1中的橢圓機(jī)構(gòu)的虛約束究竟存在于什么地方？在一些《機(jī)械原理》教材或書籍中指出，點C或點D處的滑塊及轉(zhuǎn)動副為虛約束之一，這對虛約束的認(rèn)知存在一定錯誤。機(jī)構(gòu)虛約束的本質(zhì)是有無其的存在，機(jī)構(gòu)的運動或軌跡皆不改變，也就是說，若把引入虛約束的結(jié)構(gòu)部分拆除，機(jī)構(gòu)的運動或軌跡不會改變。因此，圖1中橢圓機(jī)構(gòu)的真正虛約束部分是構(gòu)件1及點A和點B處的轉(zhuǎn)動副部分（其對機(jī)構(gòu)引入的約束，與點C和點D處滑塊及轉(zhuǎn)動副對機(jī)構(gòu)共同引入的約束重復(fù)）。顯然，假想把構(gòu)件1拆除后，構(gòu)件2上點B的軌跡及機(jī)構(gòu)的運動皆不改變。

若把點C或點D處的滑塊及轉(zhuǎn)動副作為對應(yīng)虛約束之一，將其拆除后，看似點C或點D處的運動軌跡沒有改變，但對整個機(jī)構(gòu)或整個運動周期而言，原橢圓機(jī)構(gòu)則變?yōu)榍瑝K機(jī)構(gòu)，顯然整個機(jī)構(gòu)的運動特性都改變了。所以，圖1中的橢圓機(jī)構(gòu)的虛約束部分為構(gòu)件1及點A和點B處的轉(zhuǎn)動副，而不是點C或點D處滑塊及其轉(zhuǎn)動副為對應(yīng)重復(fù)虛約束之一。

假想把構(gòu)件1及點A和點B處的轉(zhuǎn)動副拆除后，根據(jù)式（1）或式（3），可計算圖1中橢圓機(jī)構(gòu)的自由度為：F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1。

圖2中的3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動、靜平臺和結(jié)構(gòu)相同的三個運動支鏈組成，每個支鏈中皆包含兩個轉(zhuǎn)動副（記為R）和一個圓柱副（記為C），且轉(zhuǎn)動副與圓柱副的軸線相平行。由于3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的每條支鏈皆約束限制了動平臺繞豎直軸線的轉(zhuǎn)動，因此，此機(jī)構(gòu)存在一個公共約束，即λ=1，可得此機(jī)構(gòu)的階數(shù)為d=6-λ=6-1=5。

同時，3-RRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的三個運動支鏈中，存在一條支鏈為虛約束（因為三個支鏈對動平臺繞水平面的兩個轉(zhuǎn)動自由度的約束，與兩個支鏈對動平臺繞水平面的兩個轉(zhuǎn)動自由度的約束等同）。所以，計算此機(jī)構(gòu)的自由度時，可采取假想拆除一個支鏈的方式進(jìn)行，即：

可見，機(jī)構(gòu)虛約束的存在形式是多種多樣的，對機(jī)構(gòu)引入虛約束的元素可能是運動副、構(gòu)件、重復(fù)結(jié)構(gòu)或支鏈等，但只要抓住虛約束的本質(zhì)特性，即有無其的存在，機(jī)構(gòu)的運動或軌跡不變，就可以深刻理解和掌握虛約束以及機(jī)構(gòu)自由度分析計算。

3" 結(jié)束語

針對機(jī)構(gòu)自由度分析計算時虛約束難以理解和掌握的情況，進(jìn)行機(jī)構(gòu)虛約束特性分析，給出機(jī)構(gòu)虛約束的常見形式及處理方法，并通過實例進(jìn)行機(jī)構(gòu)虛約束詳細(xì)分析，以更正對機(jī)構(gòu)虛約束和自由度計算的認(rèn)知錯誤。

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*項目來源：江蘇高校品牌專業(yè)建設(shè)工程資助項目（TAPP，項目編號：PPZY2015B120）。

作者：劉善增，中國礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，副教授，研究方向為機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人技術(shù)（221116）。