學(xué)生計(jì)算易錯(cuò)題的分析及其應(yīng)對(duì)策略

楊瑞芳

[摘 要]學(xué)生計(jì)算中出現(xiàn)的錯(cuò)誤并非都是由操作錯(cuò)誤或者算法錯(cuò)誤造成的，也不一定是對(duì)算理理解不透，即使學(xué)生對(duì)算理理解得很透徹，對(duì)算法掌握得也很純熟，錯(cuò)誤也不可避免。這樣的錯(cuò)誤往往具有極大的研究?jī)r(jià)值，教師應(yīng)該仔細(xì)剖析，找準(zhǔn)錯(cuò)因，引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)誤中汲取教訓(xùn)，并彌補(bǔ)知識(shí)漏洞。

[關(guān)鍵詞]計(jì)算錯(cuò)誤;原因分析;對(duì)策

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2022）11-0066-03

在數(shù)學(xué)計(jì)算中，各種錯(cuò)誤在所難免。各式各樣的錯(cuò)誤背后蘊(yùn)含著各種各樣的因素，這些因素或反映學(xué)生的思維方式，或暴露學(xué)生的技能短板，或揭露學(xué)生運(yùn)算中的邏輯漏洞，只要順藤摸瓜，找準(zhǔn)這些因素，就能幫助學(xué)生建立健全的運(yùn)算機(jī)制，讓學(xué)生養(yǎng)成自我檢查、自我更正的習(xí)慣。

一、認(rèn)真分析，甄別錯(cuò)誤

對(duì)四年級(jí)某班學(xué)生在計(jì)算中所犯的錯(cuò)誤進(jìn)行調(diào)研，調(diào)研測(cè)試中編設(shè)了6道計(jì)算題，單獨(dú)看難度不大，運(yùn)算量適中，但綜合性較強(qiáng)。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，學(xué)生的錯(cuò)誤部分源于非關(guān)鍵因素的干擾。

【案例1】

① 125×8÷125×8=1000÷1000=1

② 13.72-1.8+8.2=13.72-（1.8+8.2）=3.72

③ 15-15÷3=0÷3=0

④ 3428-428×8=3000×8=24000

⑤ 10×10+24×5=100+100=200

⑥ 38×（825+75）=38×825+38×75

第①題：“125×8=1000”這種常見(jiàn)的固定搭配成了強(qiáng)大的誘導(dǎo)性信息，“湊整”習(xí)慣驅(qū)使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的湊整沖動(dòng)，一見(jiàn)到這兩個(gè)數(shù)字相乘就不假思索地去湊整，從而自動(dòng)忽略運(yùn)算順序、計(jì)算法則等其他規(guī)則進(jìn)行所謂的“簡(jiǎn)算”。學(xué)生直接落入經(jīng)驗(yàn)陷阱。

第②題：依序計(jì)算較為棘手，學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒。此時(shí)，湊整思想乘虛而入，使得學(xué)生只顧尋找符合湊整特征的數(shù)對(duì)，全然不顧計(jì)算法則，看到后兩個(gè)數(shù)能夠湊整，使自以為是地將后兩個(gè)數(shù)合并起來(lái)。題中的“1.8+8.2=10”就屬于強(qiáng)信息干擾，有著強(qiáng)烈的心理暗示作用。

第③題：觀察算式時(shí)，學(xué)生一看到“15-15”的形式，就會(huì)想到直接相減得0，而“0”在四則運(yùn)算中有著特殊的地位，凡是與之運(yùn)算必然可以簡(jiǎn)化。這種想走捷徑的心理，導(dǎo)致學(xué)生枉顧運(yùn)算順序，按照個(gè)人的主觀臆想去計(jì)算。只顧結(jié)果不顧事實(shí)，錯(cuò)誤在所難免。

第④題：3428與428都是較大的數(shù)，且尾數(shù)相同，正是這種顯著的特征“引誘”學(xué)生將這兩個(gè)數(shù)進(jìn)行相減。因?yàn)橐坏┫鄿p，“整千數(shù)”就唾手可得，后面的計(jì)算就會(huì)變得簡(jiǎn)單。

第⑤題：“25×4=100”是湊整乘數(shù)中的經(jīng)典搭配，學(xué)生極易形成刻板印象，而“24×5”與“25×4”非常形似，學(xué)生常常張冠李戴。

第⑥題：受乘法分配律“a×（b+c）=ab+ac”形式上的影響以及長(zhǎng)期以來(lái)分配律是簡(jiǎn)算中的“?？汀?，學(xué)生就會(huì)誤以為只要用了這個(gè)形式，就會(huì)使計(jì)算變得簡(jiǎn)便，卻不知有時(shí)會(huì)適得其反。該題直接計(jì)算無(wú)比簡(jiǎn)單，用分配律反而變得異常復(fù)雜。

解決對(duì)策：

1.認(rèn)真審題，培養(yǎng)良好的計(jì)算習(xí)慣。培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)審慎的審題態(tài)度，是杜絕錯(cuò)誤的根本之道。有必要強(qiáng)調(diào)審題時(shí)的規(guī)定動(dòng)作：一看、二畫(huà)、三思。一看就是看清所有數(shù)字和符號(hào);二畫(huà)就是要標(biāo)明運(yùn)算的先后次序;三思就是反復(fù)斟酌是否具備簡(jiǎn)算條件，如果具備，該如何簡(jiǎn)算。

2.加強(qiáng)對(duì)比辨析，鍛煉眼力。將相似度極高的算式集中起來(lái)進(jìn)行對(duì)比辨析，讓學(xué)生在一次次的辨別中認(rèn)清它們之間的差異。促使學(xué)生對(duì)每個(gè)算式的顯著特征都進(jìn)行反復(fù)強(qiáng)化確認(rèn)，直到每次遇到都能夠嚴(yán)格區(qū)分，并迅速做出準(zhǔn)確的判斷和決策，對(duì)相關(guān)知識(shí)有全面深入的了解，建立穩(wěn)固、準(zhǔn)確的認(rèn)知。如：

（1）24×5=

25×4=

（2）100÷25×4=? ?

100÷（25×4）=

對(duì)比性練習(xí)將形式上相似性極強(qiáng)的算式放在一起，讓細(xì)微的差別暴露在學(xué)生面前，并通過(guò)對(duì)比，使學(xué)生在心理上形成一種自然的防御機(jī)制，以后一遇到相似的情況，就會(huì)條件反射地產(chǎn)生警覺(jué)。

二、以錯(cuò)改錯(cuò)，拓展訓(xùn)練

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果總是波瀾不驚，那么學(xué)生的思維就會(huì)養(yǎng)成惰性，反應(yīng)力和應(yīng)激性也會(huì)不斷弱化。但是如果在教學(xué)中制造懸念和沖突，學(xué)生探究的動(dòng)機(jī)就會(huì)不斷加強(qiáng)。學(xué)生的錯(cuò)誤是制造懸念和沖突的絕佳資源，教師可以對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行巧妙處理，“將錯(cuò)就錯(cuò)”，從而使課堂不斷翻轉(zhuǎn)，讓學(xué)生對(duì)犯錯(cuò)的教訓(xùn)銘記于心。

【案例2】常見(jiàn)的簡(jiǎn)算錯(cuò)誤：

①99×72=100×72+72或99×72=（99+1）×72

②97×b+2×b+b=（97+2）×b

③（25+43）×4=25×4+43

④（125×7）×4=125×4+7×4

學(xué)生沒(méi)有吃透分配律的內(nèi)涵，只是機(jī)械地記住了外在形式。這可能是教師在教學(xué)時(shí)沒(méi)有回歸到加法和乘法的運(yùn)算意義與關(guān)聯(lián)上去解構(gòu)乘法分配律，對(duì)乘法分配律的講解沒(méi)有深入到算理的高度，而是停留在形式上的變換和套用。

解決對(duì)策：

1.在教學(xué)乘法分配律時(shí)，教師應(yīng)不斷追尋本質(zhì)?！奥伞奔础耙?guī)律”，是內(nèi)在的、隱蔽的邏輯關(guān)聯(lián)，“分”與“配”則是外顯的表征。不妨板書(shū)如下：

（a+b）×5=（a+b）+（a+b）+（a+b）+（a+b）+（a+b）

=（a+a+a+a+a）+（b+b+b+b+b）

=a×5+b×5（分）

a×5+b×5=（a+a+a+a+a）+（b+b+b+b+b）

=（a+b）+（a+b）+（a+b）+（a+b）+（a+b）

=（a+b）×5 （配）

2.在理解算理的基礎(chǔ)上增加拓展練習(xí)。

①（462+893）×4=（ ）×4+（ ）×4

②（46+31）×7=（ ）×（ ）+（ ）×（ ）

③893 ×（4+8）=（ ）×（ ）+（ ）×（ ）

④75×64=（ ）×（ ）+（ ）×（ ）

前三題，學(xué)生很快就能根據(jù)分配律的內(nèi)涵與特征完成填數(shù);最后一題是開(kāi)放題，根據(jù)分配律的特征，必須出現(xiàn)一個(gè)“和”的形式，所以就要考慮將其中的一個(gè)因數(shù)分解成兩個(gè)數(shù)之和，再與另一個(gè)因數(shù)相乘，這樣既不改變算式的運(yùn)算意義，也不改變結(jié)果，只是換了個(gè)形式，而這種形式恰好方便進(jìn)行分配律運(yùn)算。

三、自主糾錯(cuò)，對(duì)癥下藥

學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，教師要有容錯(cuò)的度量，要給學(xué)生試錯(cuò)的機(jī)會(huì)，既不能畏之如虎，也不能越俎代庖，強(qiáng)行插手糾錯(cuò)，而應(yīng)該喚醒學(xué)生的認(rèn)知，沿著他們的思想軌跡，循循善誘，讓他們自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，轉(zhuǎn)變思維方式。

【案例3】練習(xí)題：7313÷43。錯(cuò)解：17余3。學(xué)生通過(guò)驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，但不知如何糾錯(cuò)，思維走入死胡同。此時(shí)教師展示如下算式，讓學(xué)生計(jì)算后尋找差別，在對(duì)比辨析中，分清是非。

總結(jié)：商末尾的0切勿遺漏，要做到“哪一位不夠商1，就商0，留余數(shù)”。

【案例4】易錯(cuò)題：0.012÷0.25[） 0. 0 1 2? 0? ? ][1 0? 0] [2 0? 0

2 0? 0][0.25][0. 4 8] [0][錯(cuò)解：][） 0. 0 1? 2 0? ? ][1? 0 0] [2 0 0

2 0 0] [0][0.25][0. 0 4 8][正解：]

這道題主要考查除數(shù)是小數(shù)的除法的小數(shù)點(diǎn)移位，其本質(zhì)是考查學(xué)生對(duì)小數(shù)除法運(yùn)算法則的掌握情況，即運(yùn)用商不變定律將原式轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，然后求出“共用商”。小數(shù)除法本就是學(xué)習(xí)難點(diǎn)，需要注意商的小數(shù)點(diǎn)的定位，而除數(shù)是小數(shù)的除法更是難中之難。根據(jù)錯(cuò)解的豎式可以判斷，學(xué)生把被除數(shù)擴(kuò)大了1000倍，但是除數(shù)卻沒(méi)有同步變化，沒(méi)有抓住除數(shù)“化整”的關(guān)鍵，從而出錯(cuò)。解題時(shí)，首要目標(biāo)是將除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，也就是最低要求是擴(kuò)大100倍，而且是被除數(shù)、除數(shù)同步擴(kuò)大。

解決對(duì)策：

在教學(xué)除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)，小數(shù)點(diǎn)的同步移位只是表象，商不變規(guī)律才是內(nèi)涵，如果只關(guān)注小數(shù)點(diǎn)的移位，就很容易出錯(cuò)。移位的目的是將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，擴(kuò)大時(shí)只有保證除數(shù)和被除數(shù)同步擴(kuò)大，才能確保最后的商是通用商。先運(yùn)用商不變定律進(jìn)行算式轉(zhuǎn)化：0.012÷0.25=1.2÷25，然后用豎式直接算出1.2÷25的商，再進(jìn)行小數(shù)點(diǎn)的移位，結(jié)果是0.048。

四、歸類匯總，積累經(jīng)驗(yàn)

大量教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)錯(cuò)誤是正?，F(xiàn)象。錯(cuò)誤是學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)的重要素材和來(lái)源，更是培育和發(fā)展學(xué)生辯證思維、批判思維的著力點(diǎn)。故而，在教學(xué)中，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的各種錯(cuò)誤進(jìn)行歸類匯總，并結(jié)合教學(xué)實(shí)際的需要，靈活運(yùn)用錯(cuò)誤資源，使之成為學(xué)生再學(xué)習(xí)、再研究的有效素材，從而讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更接近學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具有針對(duì)性，也更加理性。

【案例5】簡(jiǎn)便計(jì)算：46×99+46。有部分學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤：46×99+46=46×（100-1）+46=46×100-1+46=4600-1+46=4645。

學(xué)生的計(jì)算思路是：99可以看成100-1，接下來(lái)用乘法分配律計(jì)算，就得出46×（100-1）+46，變化后是46×100-1+46。

解決對(duì)策：

學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因，不是對(duì)問(wèn)題的解讀有錯(cuò)誤，也不是想法有問(wèn)題，而是沒(méi)有真正領(lǐng)悟乘法分配律的本質(zhì)，沒(méi)有從根源上來(lái)化解這類難點(diǎn)。因此，在這類問(wèn)題的糾偏教學(xué)中，教師需要找準(zhǔn)問(wèn)題的源頭，對(duì)癥下藥，讓學(xué)生加深對(duì)乘法分配律的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟。

1.引導(dǎo)分析，多元化甑別。首先，組織學(xué)生反復(fù)觀察自己的計(jì)算過(guò)程，讓他們一邊觀察，一邊思考。同時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用相關(guān)的運(yùn)算律來(lái)比對(duì)計(jì)算過(guò)程，促使他們加深對(duì)相關(guān)運(yùn)算律的記憶，并對(duì)相應(yīng)的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行反思。其次，開(kāi)展學(xué)習(xí)聯(lián)想，讓學(xué)生自發(fā)地回憶之前學(xué)習(xí)中遇到過(guò)的相關(guān)題型，或是相關(guān)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生深入思考。

2.綜合比較，結(jié)構(gòu)化初建。在學(xué)生自主思考的前提下，教師應(yīng)重視對(duì)辯論活動(dòng)的組織和開(kāi)展，以便學(xué)生拓展學(xué)習(xí)視角，走出自我思考的封閉式圈子，學(xué)會(huì)傾聽(tīng)，并從中汲取養(yǎng)料，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化。如針對(duì)案例4，有學(xué)生提出：46×（100-1）+46中的46×（100-1）應(yīng)該是100×46-1×46。也有學(xué)生提出：99個(gè)46加上1個(gè)46，就是99+1個(gè)46，這樣計(jì)算更簡(jiǎn)便。

綜上所述，學(xué)生計(jì)算出錯(cuò)的原因錯(cuò)綜復(fù)雜，有的是思維定式造成的，有的是對(duì)運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律的運(yùn)用思維固化造成的，有的是對(duì)運(yùn)算法則的理解不到位造成的，有時(shí)甚至是多種原因共同造成的。但是，無(wú)論哪種錯(cuò)誤，只要診斷準(zhǔn)確，制訂科學(xué)合理的糾錯(cuò)對(duì)策，就能堵住漏洞，阻斷錯(cuò)誤的延續(xù)。

（責(zé)編 羅 艷）