找規律先從有序思考和符號簡化做起

沈永玲

[摘 要]在找規律的教學中，讓學生通過表面現象和圖表字符發現內隱的排列規律、運算規則，不但可以培養學生觀察、分析、概括、推理、歸納、類比等思維及技能，還可以培養學生創造性處理問題的應變能力。以“搭配的規律”教學為例，闡述如何用好教導和練習這兩大培養學生探尋規律能力的利器。

[關鍵詞]找規律;有序思考;符號簡化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0060-03

蘇教版教材增設的“找規律”單元，為培養學生探尋規律的能力編排了優質的教程，且強調：找規律知識的落腳點在“尋找”，而不在對所發現規律的創新運用上。那么，如何在課堂教學中細化貫徹和落實“尋找”，使學生不斷積累“尋找”的經驗，提高“尋找”的能力呢？下面筆者就以“搭配的規律”教學為例展開說明。

一、滲透有序思考，摸清“找”的門道

【教學片段1】

師：同學們喜歡打乒乓球嗎？（學生自由交流）

師：省乒乓球隊現役球員中有陳紅、李蘭、馬芬3名女球員，杜剛和李勤2名男球員。要選1名男球員和1名女球員參加男女混合雙打項目的比賽，如果你是省隊教練，你準備怎樣安排他們上場？（學生自由回答）

師：看來有多種搭配方案，那么共有多少種呢？大家不妨推測一下。（絕大多數學生認為有6種）

師：到底是不是6種搭配方案呢？現在請每個小組拿出老師分發給你們的球員照片擺一擺，模擬組隊驗證一下。

（讓某位學生一邊在電腦上拖拽圖片演示一邊解說選配經過）

師：他這樣搭配條理清晰嗎？是按照什么順序依次展開的？有缺漏嗎？

生1：他先選男球員，再分別搭配女球員。

師：還可以依照怎樣的次序搭配？（讓其他學生演示方案）

師（小結）：只有井然有序的搭配才能做到不重不漏。誰能總結一下？

生2：先從球員照片中選出所有的男球員，再依次搭配女球員;或先從中選出所有的女球員，再依次搭配男球員。

【反思】找規律首先要有動機，教師創設男乒乓球員和女乒乓球員的搭配情境，能有效激發學生的探究興趣。在學生說出搭配方案后，教師讓學生拿出照片進行配對復盤。學生通過直觀操作，由散亂隨機搭配，出現重復或者遺漏的情況，到捋順思緒，最終找到有序的排列方法。

數學教學的宗旨是培養和提高學生的思維能力，而有序思考則是衡量思維能力的重要指標，也是解決煩瑣問題的一種捷徑，可以將頭緒復雜的問題條理化。搭配問題有兩大基本解法——一一列舉和算術運算，而算術運算的算理正是源自列舉，其本質就是將隨機列舉變成依序列舉，依照列舉的規律歸納出計算公式。上述教學中請學生拼擺時，有部分學生隨意拼擺，有部分學生會自覺運用有序思想，按照一定的先后順序逐一拼擺，逐一排查。此時，教師提醒學生比較“有序”和“無序”兩種擺法，并檢查是否有重復或遺漏，從而彰顯有序排列的優越性，讓學生意識到“有序”拼擺才是“正道”。教師在提問中鞭策和督導學生將“有序”思想轉化為行動，并在后續教學中繼續強化“有序”思想。

二、研磨探究過程，優化“找”的措施

【教學片段2】

師（收起照片）：如果沒有球員照片，你會用涂畫線條或者標記符號的方式呈現各種不同的搭配方案嗎？請大家試一試。

（學生獨立探究，教師巡查）

師（展示生1用文字表示的搭配方案：陳紅—杜剛、陳紅—李勤、李蘭—杜剛、李蘭—李勤、馬芬—杜剛、馬芬—李勤）：生1這種搭配方案有何規律？

生2：他先暫定女球員陳紅，然后分別依次搭配男球員;再暫定女球員李蘭，然后分別依次搭配男球員;最后選定女球員馬芬，然后依次搭配男球員。

師（展示生3用符號來表示的搭配方案：A1、A2;B1、B2;C1、C2）：這里的英文字母A、B、C代表什么，阿拉伯數字1、2又有什么含義？你們看得懂嗎？

生3：A、B、C 分別代表三名女球員;1、2分別代表兩名男球員。

師：對比上述兩種表示法，它們有什么共通之處？你更傾向于哪種表示法？

生4：這兩種表示法都是嚴格按照某種順序依次進行的，都是先暫定女球員，再搭配男球員。顯然，符號記錄比文字記錄更簡便。

（教師展示生5用連線表示的搭配方案，如圖1所示）

師：你們能看明白這其中的奧妙嗎？這里的每條線有什么含義？

生6：每條線表示兩名球員搭配（組合）在一起。

師：這些線條是胡亂連接的嗎？我們請生5解釋一下。

生5：我先將陳紅和杜剛、李勤分別連線，有2種搭配方法;再將李蘭和杜剛、李勤連線，也有2種搭配方法;最后將馬芬和杜剛、李勤連線，也有2種搭配方法。因此一共有6種搭配方法。

師：還有別的連線次序嗎？

生7（邊指邊說）：先將杜剛依次連上面的三位女球員，有3種搭配方案;再將李勤依次連上面的三名女球員，也有3種搭配方案。因此一共有6種搭配方案。

（教師展示生7用符號連線表示的搭配方案，如圖2所示）? ? ? ?

師：能看懂這其中的玄機嗎？誰來解說一下。

生8：他的方法其實和生5的如出一轍，只不過這里用不同圖案表示不同球員，更加簡便直觀。

師：這么多方案，哪種方案最好？請說出理由。

生9：符號連線法是最佳方法，因為它又直觀又簡潔。

師：復雜的問題往往可以通過符號變得直觀明了，“數形結合”是一條解決問題的坦途。

【反思】直接拿真人照片擺弄，屬于最直觀的實踐性操作，但是這種方法無法使學生形成細致縝密的有序思維，學生也無法歸納出一種數學理論，只有進行符號化的處理才能促進學生數學思維的形成。先將圖片抽象為人名，兩兩配對連線，這是停留在篩選排序階段;再將人名抽象為字符（字母和數字），組合成各種不同的數碼，進一步將篩選排序升級為組合排序;然后將人名按性別分為上下兩行，通過連線來完成搭配，此時達到初步幾何直觀排序的層級;最后將人名抽象為幾何圖，按性別設計成不同形狀的四邊形和三角形，徹底完成幾何化的直觀排序。這樣層層遞進的抽象化排序，讓學生徹底擺脫文字描述和數量關系的束縛，直指有序思想的核心——符號化處理所有元素。

有序操作雖讓學生摸清了門路，但不可能每次找規律都靠拼擺，而是要具有抽象的思維脈絡。而幫助學生轉化提煉的過程，不是突兀地展示抽象圖，而是讓學生在充分地探究創新后，進行交流、評析并優化，形成情感式體驗，這樣才能內化為專屬個人的“找”的謀略和智慧。由于學生的思維存在差異，所以個性化的思考可以提示和啟發其他同學。為此，在展示環節，教師有意識地將學生的搭配方案按照由粗到細分層展現，完美演繹搭配方法的“進化”過程，讓學生更清楚地了解自己所用方法的優劣，使學生的思維能力也隨之不斷提升。在每次的探討與交流、磋商與改進中，學生都能夠增加體驗、揚長避短、取長補短。教師最后進行概括，點明主旨，提出“找規律”的重要手段——數形結合。

三、賦予實際意義，為抽象“找”提供依據

【教學片段3】

師：基于前面的實踐探索，你能歸納出一個算式嗎？（3×2=6或2×3=6）

師：如何理解這個算式的合理性？

生1：第一位女球員可搭配兩名男球員，有2種方法;第二位女球員可搭配兩名男球員，也有2種方法;第三位女球員可搭配兩名男球員，也有2種方法。因此就是3個2種。

生2：還可以這樣理解，第一位男球員可搭配三名女球員，有3種方法;第二位男球員可搭配三名女球員，也有3種方法。因此是2個3種。

師：如果增派一名男球員，會有多少種搭配方式？想象一下，該如何搭線？如何列式？

生3：增派一名男球員，即第三位男球員，他可搭配三名女球員，也有3種方法，就是3個3種，3×3=9。

師：如果再增派一名女球員，一共有多少種搭配方式？有幾個幾種？

生4：新增的這位女球員仍然要和三名男球員搭配，也有3種方法，因此就有4個3種，4×3=12。

師：假若有10名女球員、8名男球員，又有多少種不同的搭配方法呢？（學生有的搭線，有的直接列式）

生5：第一位女球員可分別與8名男球員搭配，有8種方法;第二位女球員可分別與8名男球員搭配，也有8種方法……

生6（打斷生5）：不要再往下說了，10位女球員自然就有10個8種，所以是10×8=80。

師：為什么選擇連線的同學中斷了？

生7：線條太多，橫七豎八的，數不過來。

生8：只需連完第一位女球員的所有搭配形式就好了。

出示表格：

師：現在你能概括出搭配規律的公式了嗎？

生9：男球員人數×女球員人數=搭配總方法數。

生10：可以推廣為，一種“配件”的數量×另一種“配件”的數量=搭配總方法數。

師：你們覺得哪種定理描述得更恰當？

生11：第二種。因為生活中需要搭配的事物數不勝數，不光是男球員和女球員。

【反思】抽象連線仍只是停留在一一列舉階段，沒有達到數學模型的高度。數學是一門精練的學科，要想從直觀的操作中歸納出數學模型，還得回歸文字，讓學生從對情境的描述和理解中概括出算理。有了前面的直觀操作，學生對算理的探析會更加有理可依。學生一邊回顧前面多種操作形成的表象，一邊描述推理過程，用男球員搭配女球員，每位男球員的搭配方案數就是女球員的人數，而這個數字是一定的，由此可得搭配總方案數就是男球員人數乘以女球員人數。教師通過不斷增加男球員人數和女隊員人數來增加邏輯難度。最后，拋開選配球員的情境，教師引導學生通過類比遷移歸納出：任何搭配方案總數的計算都是各種“配件數”的相乘。

探尋規律本質上屬于“數學建模”的范疇，在小學階段通常都是通過歸納概括得出，而從半直觀、半抽象的圖示法到完全抽象的符號化算式，更有利于學生確認這一規律的普適性。探尋得到的算式很簡單，無非就是將各種“配件”的數量相乘，但如果不領悟乘法運算的深刻含義，那就不能算得到了規律。教學中，教師設計了增派男球員和女球員的環節，讓搭配總數持續呈現動態變化。學生在動態變化中發掘隱含的恒量，將前面操作的經驗遷移到新情境下，很快想出“幾個幾”。最后，教師一下子將男球員和女球員增至10人和8人，兩個因素同步改變，且數目較大，畫圖推演變得異常困難，但有先前對“幾個幾”的反復演練與強化，現在只需畫出一名女球員的所有搭配情形，就能找到參照基準——“一個幾”。這也體現了理解算理的巨大作用。

綜上，在教學中教師注重滲透和揭示算理，是希望學生能站在理解的高度上。只有這樣，學生在運用時才能做到心中自有主張。

（責編 羅 艷）