關系重構：認知從“復雜”走向“簡單”

丁洪 張林林

[摘 要]假設的策略以數(shù)量關系的捕捉和理解為前提，以等量代換的關系重構為核心，以以簡馭繁的思維操作為抓手。在教學中設計沖突制造、模型構造、經(jīng)驗遷移和策略內(nèi)化環(huán)節(jié)，以期實現(xiàn)需求激發(fā)、內(nèi)涵凸顯、路徑塑化和素養(yǎng)提升。

[關鍵詞]假設策略;數(shù)量關系;等量代換;數(shù)學化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0013-04

“用假設的策略解決實際問題”是蘇教版教材六年級上冊安排的“策略學習”專題活動，它也是運用策略解決實際問題的種子課。從關系的數(shù)量看，一般要解決幾個未知量就需要幾組數(shù)量關系，少則無法確定結(jié)果，多則出現(xiàn)條件剩余。從關系的勾連看，未知量之間要有關聯(lián)，關系可以是直接的或間接的，未知量之間可以靈活轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一表征。從關系的變化看，關聯(lián)的數(shù)量進行等量代換和有機整合之后，內(nèi)容上出現(xiàn)了“新數(shù)量”，形式上出現(xiàn)了“新等式”，盡管關系對應為“假狀態(tài)”，但所求結(jié)論仍然為“真結(jié)果”。可以說，關系從復雜存在到簡單重構是一個“慢”的漸進過程，教師除了要在認識上拎得清，還要在行動上把得準。

一、制造認知沖突，激發(fā)關系需求

認知沖突是學習主體在信息加工過程中產(chǎn)生的一種不平衡的心理狀態(tài)。究其原因，主要是個體的認知結(jié)構在新舊銜接時的不一致、不和諧所致。教師如能巧妙設計認知沖突，則可以聚焦關鍵、激發(fā)需求和引發(fā)學習。

1.策略調(diào)用

首先，動態(tài)出示兩個天平，第一個天平左邊擺放1個梨，右邊擺放2個桃;第二個天平左邊擺放1個梨和2個桃，右邊擺放1個400克的砝碼。接著，學生通過解決問題“仔細觀察擺放的過程，你知道了哪些數(shù)量關系？”，獲得“1個梨的質(zhì)量=2個桃的質(zhì)量”和“1個梨的質(zhì)量+2個桃的質(zhì)量=400克”的結(jié)論。這樣運用技術手段將靜態(tài)關系予以動態(tài)呈現(xiàn)，有助于學生實時聚焦問題的發(fā)生過程，弄清不同對象之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過問題“根據(jù)這些數(shù)量關系，你能解決什么問題？”引發(fā)學生調(diào)用已有認知經(jīng)驗，提出問題并嘗試解決問題。學生有兩種思路：第一種是“將1個梨看成2個桃”，對應得到“4個桃一共400克”，先求出“1個桃是100克”，再順勢得到“1個梨是200克”，列式計算為“400÷（2+2）=100（克），100×2=200（克）”，解題的關鍵是“將梨都看成了等量的桃”;第二種是“將2個桃看成1個梨”，對應得到“2個梨一共400克”，先求出“1個梨200克”，再順勢得到“1個桃是100克”，列式計算為“400÷（1+1）=200（克），200÷2=100（克）”，解題的關鍵是“將桃都看成了等量的梨”。最后，引領學生比較兩種思考過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系是理解具體問題的關鍵，等量代換是處理數(shù)量關系的依據(jù)，至于怎么使用數(shù)量關系，也就是“都看成梨”或“都看成桃”，變換方向可以不一樣。可以看出，引領學生經(jīng)歷思維過程的異同體驗，有助于學生初步感受假設的方向和方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，為后續(xù)學習奠定策略認知的基礎。

2.策略分析

首先，出示“720毫升果汁”的前置條件，以及多組不同的備選條件，分別是“倒入9個同樣的小杯，正好倒?jié)M”“倒入3個相同的大杯，正好倒?jié)M”和“倒入6個小杯和1個大杯，正好倒?jié)M”，鼓勵學生自主搭配和選擇條件，并對問題對象進行判斷。接著，學生自由匯報，有的選擇“倒入9個同樣的小杯，正好倒?jié)M”這個條件，列式為“720÷9=80（毫升）”，順利解決了小杯容量的問題;有的選擇“倒入3個相同的大杯，正好倒?jié)M”這個條件，列式為“720÷3=240（毫升）”，順利解決了大杯容量的問題;有的選擇“倒入6個小杯和1個大杯，正好倒?jié)M”這個條件，發(fā)現(xiàn)解決問題有困難——認知沖突的出現(xiàn)，極大提升了學生的關注度。然后，教師順勢提出問題“為什么不能同時解決大小杯容量的問題？”“如果想要解決，你有什么好的建議？”和“大小杯容量之間可能有怎樣的關系？”，引導學生感知“單獨倒入”關系簡單，“同時倒入”關系復雜，要想求解同時出現(xiàn)的兩個未知量，知道它們之間的數(shù)量關系是關鍵，至于是“倍比關系”或“和差關系”，這并不是問題的重點。可以看出，認知沖突有效驅(qū)動了分析，辨析的內(nèi)容直指假設策略的兩大關鍵，一是“條件和問題之間要有聯(lián)系”，二是“條件和條件之間要有聯(lián)系”，至于條件之間的聯(lián)系和運算環(huán)境是什么，姑且看作是假設策略的學習類型，它并不是假設策略認知的數(shù)學本質(zhì)。

顯然，“策略調(diào)用”側(cè)重數(shù)量的“關系運用”，演繹了算法多樣;“策略分析”側(cè)重數(shù)量的“關系聯(lián)結(jié)”，考量了認知沖突中的需求一致。這樣處理，既固化了問題解決的一般路徑，又深化了數(shù)量關系的核心地位。

二、構造認知模型，凸顯關系內(nèi)涵

認知模型是一種結(jié)構化的共性理解和數(shù)學構造。就假設策略的學習而言，認知模型以未知量為節(jié)點，以數(shù)量關系為紐帶，以新的、簡單的和方便問題解決的結(jié)構為取向，過程著重關系的內(nèi)涵理解、新舊對比和價值感悟。

1.策略生動

首先，出示補充條件“小杯的容量是大杯的[13]”，學生通過解答問題“怎樣理解題中數(shù)量之間的關系？”，獲得“6個小杯的容量+1個大杯的容量=720毫升”和“大杯的容量是小杯的3倍”的關系，為自主探究做好認知準備;其次，創(chuàng)設一個探究活動，要求學生在活動單上記錄過程，可以畫一畫、寫一寫和算一算，并嘗試用一句話概括方法和組內(nèi)交流;最后，在匯報成果環(huán)節(jié)，鼓勵學生當“小先生”，充分展示自我的探究過程和小組的討論結(jié)果。這樣做，一方面內(nèi)化了“數(shù)量關系怎么理？”的策略性定位，比如畫示意圖實現(xiàn)數(shù)量關系的直觀理解，畫線段圖實現(xiàn)數(shù)量關系的抽象表征，而列方程實現(xiàn)數(shù)量關系抽象層面的合情推理;另一方面深化了“數(shù)量關系怎么用？”的階段性定位，比如原有數(shù)量關系的理解和運用，現(xiàn)有數(shù)量關系的構造和實踐，檢驗數(shù)量關系的確認和操作，促使數(shù)量關系的內(nèi)涵理解形成認知回路。

2.策略深刻

策略學習需要問題解決，但是又不止于問題解決，還需要將個性思維中的共性方法進行梳理、提煉和內(nèi)化（如圖1）。仔細觀察后不難發(fā)現(xiàn)，假設策略的數(shù)學內(nèi)涵具有鮮明特征。首先，從未知量的個數(shù)角度來看，以往的“一個未知量”變成現(xiàn)在的“兩個未知量”，未知量的增多，情境的相對復雜，激發(fā)了學生假設策略的認知內(nèi)需。其次，從未知量的關系角度來看，以往的“條件不相關”變成現(xiàn)在的“條件正相關”，數(shù)量關聯(lián)支撐了假設策略的具體實施。最后，從未知量的代換角度來看，無論是“全部倒入小杯”，還是“全部倒入大杯”，等量代換的數(shù)學思想一脈相承，未知量由多變少的操作路徑異曲同工，思維的有效整合凸顯了假設策略的數(shù)學本質(zhì)。就這樣，在變與不變的過程體驗和思辨中，方法感知演變成了策略架構，同時策略價值的感悟也變得可視化、結(jié)構化和一體化。

顯然，“策略生動”側(cè)重個性的“思維表達”，演繹了“快思考”的過程生動;“策略深刻”側(cè)重共性的“思維沉淀”，呈現(xiàn)了“慢思考”的過程深刻。這樣處理，既尊重了學習主體的感性基礎，又促進了知識發(fā)展的理性建構。

三、遷移認知經(jīng)驗，具化關系路徑

認知經(jīng)驗就生長階段而言，一般可分兩個層次。第一個層次是“無案可循”的形式加工，它側(cè)重對現(xiàn)有情境中重復出現(xiàn)方法的抽象和概括;第二個層次是“有案可依”的實質(zhì)加工，它側(cè)重已有經(jīng)驗對后續(xù)行為的約束和引導。

1.策略強化

首先，將教材的例題進行適當改編，變成“720毫升果汁倒入4個小杯、2個中杯和1個大杯，正好都倒?jié)M”和“小杯的容量是中杯的[12]，大杯的容量是中杯的2倍”，與此同時，提出“小杯、中杯和大杯的容量各是多少毫升？”的問題。接著，創(chuàng)設自主探究的活動，鼓勵學生遷移已有經(jīng)驗，積極思考并記錄過程。活動開始之前進行師生交流 “你準備假設將果汁全部倒入哪種杯子？”“其他杯子也可以嗎？”，滲透“想清楚再做事”的基本原則，為學生思維品質(zhì)的提升添磚加瓦。教師要引導學生有序匯報，以“假設全部倒入中杯”為例，根據(jù)“大杯的容量是中杯的2倍”，可以將“1個大杯等量代換成2個中杯”，根據(jù)“小杯的容量是中杯的[12]”，可以將“4個小杯等量代換成2個中杯”，再算上原來的2個中杯，這樣就假設成“6個中杯的容量一共是720毫升”，有了這個簡單的數(shù)量關系，很快算出“1個中杯的容量是720÷6=120（毫升）”，進而求出“1個大杯的容量是120×2=240（毫升）”和“1個小杯的容量是120÷2=60（毫升）”;當然，也可以“假設全部倒入大杯”或者“假設全部倒入小杯”（如圖2）。最后，引導學生觀察、對比和思考，從整體上把握策略實踐的要點和路徑，從局部上感受“直接關系”比“間接關系”更方便等量代換，促使策略的思維從“可以做”進階為“可優(yōu)化”。

2.策略回顧

如果把“策略強化”看成“怎么做”，那么“策略回顧”就是“怎么看”。因此，在這里主要鼓勵學生從假設策略的視角出發(fā)，整理以往學習中使用假設策略的案例，挖掘出諸如“計算除數(shù)是兩位數(shù)的除法，把除數(shù)當作整十數(shù)試商”“把接近整百或整十的數(shù)看作整百或整十數(shù)，估算出大致的結(jié)果”和“已知兩個數(shù)的和與差，假設兩個數(shù)同樣多，分別求出這兩個數(shù)”等，這些都是基于自主認知的定性確認。這樣的回顧，一方面使得策略的意識從模糊變得清晰，感知策略運用的基礎性和廣泛性;另一方面也豐富了假設策略的內(nèi)涵，不僅可以像例題那樣，使數(shù)量關系變簡單，還可以像試商和估算那樣，使運算過程變簡潔，從而感知策略運用的價值性和統(tǒng)一性。

顯然，“策略強化”側(cè)重策略的“自我調(diào)節(jié)”，具化了關系處理的既定路線;“策略回顧”側(cè)重策略的“自我認同”，聯(lián)結(jié)了立體多元的隱形認知。這樣處理，既驅(qū)動了策略規(guī)則的外化有術，又滲透了策略視角的內(nèi)化有道。

四、內(nèi)化認知策略，提升關系素養(yǎng)

認知策略是學習主體加工信息的方法。就本課而言，在學生歷經(jīng)方法的滲透、示范、嘗試和回顧等四個階段后，還可以繼續(xù)引導學生感受不同情境的其他問題，或者相同情境的不同角度，以內(nèi)化策略、發(fā)展思維和提升素養(yǎng)。

1.策略同化

首先，動態(tài)出示“2個大筐和3個小筐一共裝了99千克蘋果”和“大筐所裝的量是小筐的3倍”的條件，要求學生選擇一種假設方向，自主解決“大筐、小筐蘋果千克數(shù)”的問題。學生的匯報井然有序：第一種是“假設蘋果全部裝入小筐”，根據(jù)“2個大筐”和“大筐所裝的質(zhì)量是小筐的3倍”這兩個條件，可以很快地將“2個大筐假設成6個小筐”，此時“99千克”對應的就是“9個小筐（其中6個是假的，3個是真的）”，然后順勢算出“每個小筐所裝蘋果的千克數(shù)是99÷9=11（千克）”，則“每個大筐所裝蘋果的千克數(shù)是11×3=33（千克）”;第二種是“假設蘋果全部裝入大筐”，根據(jù)“3個小筐”和“大筐所裝的質(zhì)量是小筐的3倍”這兩個條件，可以很快地將“3個小筐假設成1個大筐”，此時“99千克”對應的就是“3個大筐（其中1個是假的，2個是真的）”，然后順勢算出“每個大筐蘋果的千克數(shù)是99÷3=33（千克）”，則“每個小筐蘋果的千克數(shù)是33÷3=11（千克）”。可以看出，這里的問題結(jié)構與例題相似，策略同化的特征明顯。接著，將情境稍做變化，把“2個大筐和3個小筐”改編成“3個大筐和2個小筐”，其他條件和問題都不變，讓學生嘗試解決。有趣的是，出現(xiàn)“假設蘋果全部裝入小筐”的人數(shù)遠遠大于“假設蘋果全部裝入大筐”的人數(shù)。究其原因，前者的假設方向是“順勢而為”，計算僅在整數(shù)范圍內(nèi)運行，過程比較簡單;后者的假設方向是“逆流而上”，計算涉及分數(shù)范圍和方程形式，過程比較復雜和曲折。這樣就引發(fā)了學生感知“假設方向”的互通性、必要性和選擇性，強化了假設策略的靈活運用。最后，動態(tài)出示“三層貨架上的洗手液，每層總質(zhì)量相等，從上往下看，第一層有1大瓶、2個中瓶和5個小瓶，第二層有3個中瓶和5個小瓶，第三層有1個大瓶和8個小瓶，還知道1個小瓶有200克，要求1個大瓶和1個中瓶各有多少克”。可以看出，這里的問題結(jié)構稍有變化，處理方式稍有不同，但關系化繁為簡的策略取向沒有變，等量代換的思想支撐也沒有變，所以它仍然隸屬策略同化的范疇。

2.策略順應

假設策略對于學生今后的學習影響較大，如果學生能有感性體驗，也許就能為學習的持續(xù)性注入生長因子。基于這樣的思考，將課堂初始“梨和桃”的問題情境加以改造，用兩個未知數(shù)分別表示梨和桃的數(shù)量，即假設1個梨的質(zhì)量是x克，1個桃的質(zhì)量是y克，然后根據(jù)數(shù)量關系，分別列出方程，即“x=2y”和“x+2y=400”，并將它們聯(lián)立成方程組，最后鼓勵學生口算解決問題，體會外在形式的組織變化并沒有改變等量代換和關系化簡的內(nèi)在事實。可以看出，學生對原有認知進行修改和重構后，能夠勝任新環(huán)境的學習需求，從而實現(xiàn)策略順應的無限精彩。

顯然，“策略同化”側(cè)重認知的“必要鞏固”，提升了策略實踐的操作水準;“策略順應”側(cè)重認知的“可能應用”，架構了策略體驗的價值魅力。這樣處理，既夯實了策略學習的關鍵技能，又孕育了策略素養(yǎng)的必備品格。

[本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點課題《基于問題鏈驅(qū)動的小學生數(shù)學化學習的研究》（課題批準文號：C-b/2020/02/26）和江蘇省中小學教學研究第十三期重點課題《深度學習下小學數(shù)學游戲的開發(fā)與應用研究》（課題批準文號：2019JK13-ZB48）階段性成果。]

（責編 金 鈴）