數(shù)值計算在求解帶電體電勢教學(xué)中的應(yīng)用

何 沛 張 鑫

（ 1.銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244061 2.池州學(xué)院，安徽 池州 247000 ）

一、前言

電勢作為電學(xué)中最基礎(chǔ)的物理量之一， 其求解方法有兩種： 一種是根據(jù)帶電體在空間所產(chǎn)生的電場強度，通過電勢的定義，直接積分獲得空間任意一點的電勢。 若取無窮遠處為電勢零點，則空間任意點P 的電勢為[1]，

由于電場是矢量， 該積分計算需要將電場沿坐標(biāo)軸進行分解， 將其在各坐標(biāo)軸上的分量進行積分運算，計算過程比較復(fù)雜。

另一種求解電勢方法為根據(jù)電勢疊加原理，將連續(xù)帶電體分割成很多電荷元，每個電荷元在空間P點產(chǎn)生的電勢為[2,3]，

其中r 為電荷元到P 點之間距離，則帶電體在P點處所產(chǎn)生的電勢為：

對于規(guī)則均勻帶電體，式(2)中的積分計算易于求解。 但對非均勻帶電體則需要采用數(shù)值計算方法。

如圖1 所示的均勻帶電圓環(huán)，其半徑為R，帶電量為Q，圓環(huán)電荷線密度為λ。 現(xiàn)計算帶電圓環(huán)在圓環(huán)中心O 點，以及圓環(huán)內(nèi)任意一點p（x,y）處產(chǎn)生的電勢。

圖1 均勻帶電圓環(huán)示意圖

對于圓環(huán)中心O 點的電勢， 因圓環(huán)上所有點到達O 的點距離均為帶電圓環(huán)的半徑R，即式(2)中的r等于R，

上述積分計算比較簡便， 但對圓環(huán)內(nèi)任意一點處產(chǎn)生的電勢計算， 根據(jù)連續(xù)帶電體在空間產(chǎn)生電勢計算公式(2)，可得P（xp,yp）處的電勢

若該帶電圓環(huán)所帶的電荷在圓環(huán)上并非均勻分布，則式(2)積分將變得更加復(fù)雜。 因此需要采用數(shù)值計算進行求解近似解。下文將對帶電圓環(huán)在圓環(huán)內(nèi)任意一點產(chǎn)生的電勢為例，介紹數(shù)值求解過程，并將數(shù)值解與解析解比較分析。

二、均勻帶電圓環(huán)電勢解析解與數(shù)值解比較分析

（一）電勢解析求解

P（xp，yp）點處的電勢式(4)解析解求解如下，荷元在p 點處產(chǎn)生的電勢之和。 基于此，首先將連續(xù)帶電體作離散處理， 用離散分布的電荷替代連續(xù)帶電體。將帶電圓環(huán)分為N 等份，每個等份點上分布帶電量為電荷， 則P 點電勢為N 個帶電量為的點電荷在p 點產(chǎn)生的電勢疊加，即。當(dāng)N 取值很大時， 該電勢可近似代替均勻帶電圓環(huán)在p 點產(chǎn)生的電勢。

根據(jù)輔助角三角變換公式，以及二倍角公式，代入（5）得：

若帶電圓環(huán)帶電均勻，則式(7)可以進一步化簡，由于帶電圓環(huán)帶電均勻即電荷分布具有對稱性，為了計算方便，可以選取Op 為x 軸，則圓環(huán)內(nèi)任意一點p(xp，0)所產(chǎn)生的電勢，

如圖2 顯示的是N=4 時， 整個圓環(huán)被4 等份，等分點分別為A1（xA1，yA1），A2（xA2，yA2），B1（xB1，yB1），B2（xB2，yB2），每個等分點上的電荷量為Q/4，每個等分點P 到達點的距離分別用rA1、rA2、rB1、rB2表示， 每個等分點上的電荷在p 點處產(chǎn)生的電勢分別用φA1、φA2、φB1、φB2，則p 點的電勢為各等分點在P 點產(chǎn)生的電勢之和，可得點P 的電勢為，通過上述的同樣推導(dǎo)過程可得式(7)的等效式，

圖2 帶電圓環(huán)等效四等分點

根據(jù)積分公式以及第一類非完全橢圓積分公式[4]

當(dāng)N 取值很大時， 上述解可近似代替均勻帶電圓環(huán)在P 點產(chǎn)生的電勢。

如圖3 所示的是帶電量為Q， 半徑為R=1 的均勻帶電圓環(huán)在點p (0.2,0) 處產(chǎn)生的電勢數(shù)值計算結(jié)果。 x 軸對應(yīng)的是圓環(huán)的等分?jǐn)?shù)，y 軸對應(yīng)的是p 點的電勢φp與Q/4πε0的比值。 解析解p 點的電勢與Q/4πε0的比值為1.010，282，3。 通過圖3 可以看出，隨著圓環(huán)等分?jǐn)?shù)N 的增加，p 點的電勢與Q/4πε0的比值數(shù)值解逐漸收斂于1.010，3。

圖3 不同N 值對應(yīng)的點電勢計算值

所有單位取國際標(biāo)準(zhǔn)單位制， 當(dāng)xp=0.2m，yp=0m，R=1m 通過查表計算可得，

（二）電勢數(shù)值求解

下面介紹均勻帶電圓環(huán)所產(chǎn)生電勢的數(shù)值解法。 根據(jù)電勢疊加原理可知，p 點的電勢等于所有電

三、復(fù)雜非規(guī)則帶電面板電勢數(shù)值計算

如圖4 所示的平面帶電體。 假設(shè)其電荷面密度為σ=1C/m2。求解空間點P(0.5,0.25,1)處產(chǎn)生的電勢。基于上述數(shù)值計算思想， 需要將連續(xù)的面電荷離散到有限網(wǎng)格面上， 并將該網(wǎng)格面電荷集中在網(wǎng)格中心以點電荷代替該網(wǎng)格面電荷所產(chǎn)生的電勢， 最后進行疊加計算得到數(shù)值解。 具體如下：

圖4 非規(guī)則均勻帶電體及網(wǎng)格劃分

對帶電體進行網(wǎng)格劃分，結(jié)果如圖4 所示，計算出每個三角形重心到P 點的距離， 根據(jù)點電荷在空間一點產(chǎn)生電勢φp=q/4πε0r，累加計算可得P 點電勢的數(shù)值解

四、開孔平行電極板間電勢數(shù)值計算及分析

開孔電極板在靜電除塵[5]中具有重要的應(yīng)用且靜電區(qū)內(nèi)的電場直接影響靜電除塵效率[6]，因此多孔電極板間的電場電勢研究對多孔極板的設(shè)計具有指導(dǎo)意義。 下面利用上述介紹的數(shù)值計算方法研究不同結(jié)構(gòu)的電極板間電勢分布情況。

多孔極板幾何結(jié)構(gòu)如圖5 所示， 九孔直徑均為10mm，極板幾何尺寸為100mm×100mm。 兩極板之間的距離為10mm。 兩極板均勻帶電，電荷面密度分別為σ，-σ。

圖5 多孔平行板電極結(jié)構(gòu)

采用三角形網(wǎng)格對極板劃分并采用電勢疊加計算得YZ 面電勢分布如圖7 所示。

改變圖6 極板的孔徑大小,數(shù)值計算兩極板間的等勢線，其分布如圖7 所示。

圖6 多孔平行板電極YZ 面等勢線分布圖

圖7 平行板電極YZ 面等勢線分布圖

由圖7 可知隨著極板上孔徑的減小， 兩極板之間的等勢線與無開孔平行板之間等勢線差距逐漸減小。 取z 軸為2mm 處的電勢值進行比較結(jié)果如圖8所示。

圖8 平行板電極YZ 面在Z=2mm 處的電勢

由圖8 可知在Y=0mm 處，各電勢相差較大。 無孔平行板在該處的， 其它孔徑在該處的數(shù)值如表1 所示。

表1 不同孔徑在Y=0mm,Z=2mm 處電勢

由圖8 可知， 有限大平行板間的電勢呈現(xiàn)中間強兩側(cè)弱的分布。 取無孔平行板Y=0mm, Z=2mm 處電勢的90%作為上限和下限值， 可以得到在離平板中心約80%的區(qū)間內(nèi)具有較好的均勻性， 且在以平板為中心的60%區(qū)間內(nèi)，電勢僅有約4%的下降。 而在平板兩端的邊界區(qū)電勢的下降可達中心電勢的50%。 由此可知在有限大平行板的實際使用中，邊界區(qū)電勢均勻性較差， 應(yīng)盡可能使用中心區(qū)域60%-80%面積。

對于極板開孔大小對電勢分布的影響如表1 所示，隨著電極板開孔直徑的減小，兩極板間的電勢與無孔平行極板之間的電勢變化減少， 在孔直徑為8mm 時， 其產(chǎn)生的電勢與無孔平行板電極產(chǎn)生的電勢相差27.6%。在孔直徑為2mm 時，其產(chǎn)生的電勢與無孔平行板電極產(chǎn)生的電勢僅相差2.7%。 由此看出平行板上的小孔徑開孔對極板間電勢分布影響較小。 上述結(jié)果也可以用在對電極板上開孔布置朗繆爾探針[7]測量兩極板間的等離子體相關(guān)參數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計中。 為開孔電極板間的電勢分布計算提供數(shù)值解法。

五、結(jié)論

本文通過對均勻帶電圓環(huán)內(nèi)任意一點的電勢計算為例，介紹其數(shù)值計算方法，并對其結(jié)果與解析解進行比較分析。 在此基礎(chǔ)上介紹了數(shù)值方法計算復(fù)雜結(jié)構(gòu)帶電體在空間產(chǎn)生的電勢，這為加深學(xué)生對數(shù)值計算意義的理解具有重要的意義。 其次文中采用數(shù)值方法研究了不同開孔數(shù)量和孔徑大小對多孔平行板的電勢分布影響，得到在多孔且小孔徑的條件下只會有限的改變不開孔時平行板空間電勢分布的結(jié)論。 這一結(jié)論也為采用朗繆爾探針測量極板間等離子體參數(shù)裝置的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供一定的理論指導(dǎo)。