阿貝爾判別法的推廣

杜先云 任秋道

(1.四川省成都信息工程學院數學學院 610225;2.四川省綿陽師范學院數理學院 621000)

1 級數收斂的判定

目前《數學分析》與《高等數學》的教材中，給出了級數收斂與發散的定義，以及收斂級數的一些性質，判斷正項級數收斂的比較多，而判斷一般級數收斂的方法，只有柯西收斂原理，方法很少.本文給出二種判斷一般級數收斂的方法，同時推廣阿貝爾定理.

定理1 設{xn}為一個有界數列.?ε>0，存在N∈Z+，當n>N時有 |xn-xn-1|<ε,則數列{xn}收斂.

M=max{nk+1-nk|k=1,2,3,……}<∞.(1)

|xn-xnk0|=|xn-xn-1+xn-1-xn-2+…+xnk0+1-xnk0|≤|xn-xn-1|+|xn-1-xn-2|+…+|xnk0+1-xnk0|

于是，|xn-a|≤|xn-xnk0|+|xnk0-a|<ε.

根據數列收斂的定義，數列{xn}收斂.證畢.

bn=xn-xn-1→0，(n→∞).

利用定理1可得結論.證畢.

|Sn|=|Sn1+Sn2+…+Snk0+(bnk0+1+bnk0+2+…+bn)|

2 阿貝爾定理的推廣

阿貝爾引理 設ai,bi(i=1,2,…,n)為兩組實數.如果令σk=b1+b2+…+bk(k=1,2,…,n)，那么有部分和公式

證畢.

證明因為ai(i=1,2,…,n)為單調數組，不妨{ai}為單調遞減數組，則有

ai-ai+1≥0，i=1,2,…,n-1.

|a1-an|≤|a1|+|an|≤2M.

又因為|σk|≤A(1≤k≤n)，所以

≤(a1-a2)|σ1|+(a2-a3)|σ2|+…+(an-1-an)|σn-1|+|an||σn|

≤(a1-a2)A+(a2-a3)A+…+(an-1-an)A+|an|A

≤[(a1-a2)+(a2-a3)+…+(an-1-an)]A+MA

=(a1-an)A+MA

≤(|a1|+|an|)A+MA

=2MA+MA

=3MA.

對于{ai}為單調遞增數組，結論類似，故結論成立.證畢.

在數集{1,2,…,n}上作一一映射f，即f(i)=j(i=1,2,…,n)，并且相應地f(ai)=aj，f(bi)=bj(i=1,2,…,n)，使得f(a1),f(a2),…,f(an)單調.根據阿貝爾引理的公式(3)，可得

這是因為我們去掉級數前m項，不影響級數的斂散性.