智慧課堂視角下數學直觀想象能力的培養

連麗萍 劉 燕

(福建省福州華僑中學 350004)

直觀想象是數學六大核心素養之一，是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.直觀想象能力是數學的一項基本的重要能力.諸多數學能力中，直觀想象能力在生活中的運用較為廣泛，且與物理、化學、美術等學科學習的關系較為密切.培養學生直觀想象能力，為學生創造一個開放的文化氛圍、一個較完善的教育環境，使教師把更多的注意力放在教學的最優化、資源的整合、培養學生主動學習研究、終生求知的能力上，促進學生提高自身素質.將二者結合在一起，有助于提升學生的數學直觀想象能力，提升學生的數學核心素養.

在實際課堂教學中，教師們要借助智慧課堂，利用信息技術多種方式，有效地開展課堂教學活動，化抽象為具體，讓學生在智慧的教學環境中，從圖形獲得感性的認識，從而培養學生直觀想象能力.

1 幾何畫板在數學教學中的應用

例1(2021年福建省廈門市中考數學二檢試卷)四邊形ABCD是正方形，⊙O經過A，D兩點且與BC邊相切于點E，動點P在射線BC上且在點C的右側，動點Q與點O位于射線BC的同側，點M是BQ的中點，連接CM，PQ．

(1)如圖1，若點M在⊙O上，且CE=CM．求證：CM是⊙O的切線；

圖1 圖2

分析第(2)問要求直接寫出m的取值范圍，這“直接”卻難倒不少學生.很明顯，m的取值范圍與點M有關，因此先要明確M的運動軌跡，不少同學以為M的運動軌跡是一段弧.這就需要我們先分析什么帶動M的運動.在求解(1)、(2)問時，可得EM是△BCQ的中位線，又△CPQ為等邊三角形，從而得到M的軌跡是過E點，且平行于直線CQ的直線在圓O內的部分.△CPQ的大小是由動點P在射線BC上的移動而變化的，因此是點P的變化引起了CQ的變化，從而引起了EM的變化，因此只要求出EM的取值范圍，就能求出m的取值范圍.原理都明確后，學生還是不太容易想到M的動態變化，這時候老師就可以借助幾何畫板向學生直觀展示M的變化，化抽象為直觀.

圖3 圖4

借助圖形可以使問題的解決思路很快地顯現出來，有利于揭示問題的本質.在進行復雜的邏輯推理或數學運算時，需要利用直觀想象來梳理思路，尋找方向，將復雜問題簡單化.

圖5

例2學習《函數y=Asin(ωx+φ)的圖象》這一課時，要研究函數y=sinx與y=Asin(ωx+φ)之間的圖象變換關系，特別是ω對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響，學生感覺比較抽象，而且改變參數的值，就要畫出相應的圖像，比較費時間.可以讓學生自己動手操作幾何畫板軟件，通過三角函數圖象的各種動態變換的演示，學生通過觀察圖象，由抽象到具體，由模糊到清晰，發現規律，培養了學生的觀察和思考能力，培養了數學直觀想象能力.

圖6

我國著名數學家華羅庚對數與形的關系有如下生動的描述：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，這道題借助幾何畫板，將數與形很好的融合，可以提高學生數形結合的能力.借助直觀想象可以降低解決問題的門檻，使抽象的問題顯性化、復雜的問題簡單化.

2 希沃白板在數學教學中的應用

例3在學習長方體展開圖時，雖然可以讓學生通過拆開紙盒的方式獲得長方體展開圖，但發現學生幾乎沒有發現222型和33型的展開圖，因此可以借助希沃白板動態演示這兩種展開圖，并且可以調節時間，讓學生在較慢的演示過程中感受到原來還可以有這兩種情形啊.從而培養了學生的空間想象能力.

圖7 圖8 圖9

3 投影儀、視頻在數學教學中的應用

圖10 圖11

例4在學習黃金矩形時，要教學生折疊黃金矩形，學生照著書上的圖片和文字，折疊有困難，特別是第三步：折出內側矩形的對角線AB，并把AB折到下圖中所示AD處.而教師在講臺上示范折紙，由于紙張不夠大，坐在后排的同學不能清楚地看到老師的動作和紙的變化.這時就可以借助投影儀，把老師動作同步投影在屏幕上，或者老師事先錄好折紙視頻，調慢動作，學生通過觀看視頻，就能讓書上抽象的文字和靜態的圖片直觀動態地演示.

4 CAD在數學教學中的應用

例5某幾何體的三視圖均為如圖所示的五個小正方形構成，則該幾何體與其外接球的表面積之比為( ).

圖12

分析這題首先要根據幾何體的三視圖還原得到幾何體，進一步求出幾何體的表面積及外接球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.可是難點就在于還原得到的幾何體學生不好想象，教師不易用語言表達.這時可以借助CAD軟件展示還原圖，而且還能通過翻轉幾何體，讓學生直觀感知，從而培養學生的空間想象能力.

圖13

例6新教材高一下學期必修二立體幾何的課后習題，在透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌入一些水，固定容器底邊BC于地面，再將容器傾斜.隨著傾斜程度的不同，有下面幾個命題哪些是真命題：____.

(1)有水的部分始終呈棱柱形；

(2)沒有水的部分始終呈棱柱形；

(3)水面EFGH所在的四邊形的面積為定值；

(4)棱A1D1始終與水面所在平面平行；

此類問題對學生的空間想象能力提出了很高的要求，解題過程大有“只可意會不可言傳”的感覺，利用CAD軟件我們可以動態多角度展示長方體的傾斜過程(如圖)，讓學生可以直觀地感受在這個過程，水面的變化，從而對以上命題進行判斷.利用CAD這個信息技術手段，可以很好地幫助學生培養直觀想象能力，提升數學核心素養.

圖14

5 GGB在數學教學中的應用

例7線面平行的性質定理

由于立體幾何的結論很多采用直觀感受的合情推理，并沒有要求嚴格的推理論證的過程，因此在線面平行的性質定理中，想讓學生按照課本所示，把嚴格的定理證明過程書寫出來是相當有難度的.因此，在嚴格證明之前利用GGB軟件輔助，如圖先直觀展示線面平行，當平面外直線a和該平面α平行，過該直線的平面β與原平面α有交線b，再通過旋轉不同的角度，學生可以很直觀地得到結論a∥b.利用信息技術可以提高上課效率，給學生的想象插上翅膀，為后續證明做好鋪墊.

圖15

在數學教學實踐中，為培養學生的直觀想象能力，提升學生的數學核心素養，一方面，教師應引導學生學好基礎知識，深入理解數學概念、定理，并注重積累學習經驗、解題技巧，另一方面，教師應做好教學工作總結，優選經典例題，通過借助信息技術手段，激活直觀想象意識；引導操作實踐活動，培養直觀想象能力；借助直觀作圖解題，提升直觀想象思維的策略，有效促進學生數學直觀想象能力的提升.