一種抑制圖像階梯效應(yīng)的改進(jìn)全變分去噪方法

周 國 棟

(中南大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 湖南 長沙 410083) (湖南廣播電視大學(xué)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)學(xué)院 湖南 長沙 410004)

0 引 言

在圖像存儲(chǔ)和處理過程中，不可避免地含有噪聲，去除噪聲、提高圖像質(zhì)量是圖像處理流程中非常重要的預(yù)處理環(huán)節(jié)。但是噪聲和圖像邊緣都屬于高頻信號(hào)，去噪的同時(shí)很容易破壞邊緣信息。總變分約束去噪方法利用圖像本身的梯度信息，產(chǎn)生各向異性的去噪效果，去噪的同時(shí)還能有效保護(hù)邊緣和細(xì)節(jié)[1]。因此，受到眾多研究者的關(guān)注。

但是，總變分去噪方法有一個(gè)缺陷，就是在圖像平滑區(qū)域會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)，出現(xiàn)虛假邊緣，給后續(xù)的分析、識(shí)別等處理工作帶來干擾。針對(duì)總變分去噪的階梯效應(yīng)問題，很多研究者提出了優(yōu)化改進(jìn)方法，主要思路都是優(yōu)化正則項(xiàng)，具體辦法是增大領(lǐng)域的擴(kuò)散范圍，以減少階梯效應(yīng)。比如利用高階微分[2]；重疊組[3]；非局部梯度[4]、高斯曲率[5]、趨勢保真項(xiàng)[6]、方向鄰域[7]等方法。

以上方法的實(shí)質(zhì)都是利用更大的領(lǐng)域信息來重構(gòu)像素點(diǎn)，以減少局部平滑區(qū)域梯度趨近零而帶來的階梯效應(yīng)。但增大領(lǐng)域范圍，可能會(huì)導(dǎo)致圖像邊緣像素不沿切線方向擴(kuò)散，從而帶來模糊或者虛影。

從當(dāng)前研究來看，試圖通過一種統(tǒng)一的方法來解決階梯效應(yīng)和邊緣保護(hù)的問題，效果往往不理想。因此，本文轉(zhuǎn)換思路，采用一種混合正則項(xiàng)的方法來去噪，在梯度小的平滑區(qū)域，增大領(lǐng)域范圍，在梯度大的邊緣區(qū)域，縮小領(lǐng)域范圍。

1 混合全變分去噪模型

噪聲模型的表達(dá)式可以寫成I=u+n。其中：u代表原始圖像；n代表附加噪聲；I代表污染后的圖像。實(shí)際應(yīng)用中，噪聲多為高斯噪聲[8]，因此本文只考慮高斯噪聲的去除。

綜合現(xiàn)有總變分去噪原理，本文提出新的去噪模型的表達(dá)式如下：

(1)

式中:第一項(xiàng)為正則項(xiàng)，用來約束重構(gòu)圖像u的梯度和(總變分)最小，從而最接近自然圖像；第二項(xiàng)為保真項(xiàng)，用來約束重構(gòu)圖像要接近原始圖像I，從而不至于失真；λ為拉格朗日算子，其歐拉-拉格朗日方程如式(2)所示。

λ(u-I)-div(φ(▽u))=0

(2)

式中:div、▽分別為散度和梯度。針對(duì)φ(·)函數(shù)的改進(jìn)是研究最多的地方，目前主流有兩種，分別是1范數(shù)|▽u|和2范數(shù)‖▽u‖2。1范數(shù)的擴(kuò)散范圍小，可以很好地保護(hù)圖像邊緣，但是在平滑區(qū)域會(huì)引起階梯效應(yīng)；2范數(shù)的領(lǐng)域范圍較大，可以較好地抑制平滑區(qū)域的階梯效應(yīng)，但是會(huì)帶來圖像邊緣的模糊。

φ(·)函數(shù)的兩種形式各有利弊，又互相沖突，本文試圖把兩者結(jié)合起來，在平滑的區(qū)域使用2范數(shù)，在邊緣區(qū)域使用1范數(shù)，就可以實(shí)現(xiàn)在去噪的同時(shí)，做到抑制階梯效應(yīng)和保護(hù)圖像邊緣的效果。具體可以描述如下：

(3)

式中：T是閾值，當(dāng)像素的梯度大于該值時(shí)，可以認(rèn)定為邊緣，否則認(rèn)定為平滑區(qū)域。接下來的任務(wù)是如何確定梯度閾值T。T的取值跟圖像的梯度均值有關(guān)，而噪聲屬于高頻信號(hào)，會(huì)增加整個(gè)圖像的梯度值，因此，準(zhǔn)確估計(jì)出圖像的噪聲水平，并研究其與T的關(guān)系至關(guān)重要。

2 改進(jìn)噪聲估計(jì)方法

2.1 小波變換的噪聲估計(jì)方法

圖像可以被分解為低頻和高頻部分，低頻部分保留著圖像的大部分信息，而高頻部分則主要包含噪聲。因此，噪聲水平可以利用小波變換的高頻子帶系數(shù)來進(jìn)行預(yù)測。Donoho等[9]給出的高斯噪聲估計(jì)方法如下:

(4)

式中:σesti表示預(yù)測的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；Y(i,j)表示小波變換的HH子帶系數(shù)；Median()為Y(i,j)絕對(duì)值的中值，變換用的小波為D4編碼。

2.2 改進(jìn)噪聲估計(jì)方法設(shè)計(jì)

在使用Donoho方法預(yù)測噪聲水平時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象：噪聲方差越大，預(yù)測值越精確，偏差越小；噪聲方差越小，預(yù)測值偏差越大。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 Donoho方法噪聲預(yù)測結(jié)果

其變化曲線如圖1所示。

圖1 噪聲標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)測值與誤差關(guān)系曲線

預(yù)測誤差隨著噪聲的增強(qiáng)而逐漸減小，其原因是小波變換提取的HH子帶不只有噪聲，還包含了圖像本身的邊緣信息。噪聲小時(shí)，邊緣占比大，導(dǎo)致預(yù)測誤差大，隨著噪聲不斷增強(qiáng)，圖像邊緣占比越來越小，預(yù)測值也逐漸收斂到真實(shí)值。因此，可以改進(jìn)Donoho算法，以更準(zhǔn)確獲得污染較輕圖像的噪聲預(yù)測。

從圖1的曲線可以看出，誤差曲線形狀接近指數(shù)函數(shù)，可以用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行擬合。因此，擬合方程可以描述為：

(5)

式中:σDon表示Donoho算法預(yù)測的噪聲值；σreal表示真實(shí)的噪聲值。通過對(duì)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，得到了擬合指數(shù)函數(shù)的參數(shù)值：

C=18.12k=-2.29

(6)

最后，根據(jù)式(4)-式(6)，得到改進(jìn)的Donoho預(yù)測算法，記作IDon。

(7)

2.3 改進(jìn)噪聲估計(jì)方法實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證IDon算法的適用性，選取前述實(shí)驗(yàn)圖像以外的圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，選取Airport(512×512)、Sailboat(512×384)、Parrot(512×384)、Boat(256×256)等四種不同類別和尺寸圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。分別給這些圖像添加標(biāo)準(zhǔn)差為2、10和18 dB的噪聲，然后用Don和IDon算法分別進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如表2所示。可以看出，IDon算法預(yù)測的噪聲誤差有很明顯的下降。

表2 IDon和Don預(yù)測誤差性能對(duì)比

3 基于IDon的改進(jìn)全變分去噪方法

為了綜合1范數(shù)和2范數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)出新的總變分模型，也就是式(1)。接下來研究該公式的迭代算法。

目前解決總變分代價(jià)函數(shù)的最小值問題，主流方法是交替方向乘子(ADMM)法，為了讓式(1)具有更好的凸性，在迭代過程中能快速收斂，本文將式(1)進(jìn)行適當(dāng)改造，添加兩個(gè)輔助變量，分離出為φ函數(shù)，得到式(8)。

(8)

迭代過程是交替進(jìn)行的，先計(jì)算wi+1，再計(jì)算zi+1，最后計(jì)算ui+1。具體過程如下。

首先是wi+1，因?yàn)棣蘸瘮?shù)可能有兩個(gè)結(jié)果，因此wi+1有兩種可能情況。

當(dāng)φ=2時(shí)，表達(dá)式為:

(9)

當(dāng)φ=1時(shí)，表達(dá)式為:

(10)

同樣地，z的迭代公式如下:

(11)

最后是u的迭代計(jì)算:

(12)

為減小大型矩陣相乘的計(jì)算量，利用傅里葉變換對(duì)式(12)進(jìn)行簡化，得到u的迭代公式如下：

(13)

式中：F-1為傅里葉反變換運(yùn)算；G、Z、D、W分別表示g、z、▽、w的傅里葉變換矩陣。

其處理流程如下。

1) 初始化參數(shù)，取α=β=1，xmax=107，迭代次數(shù)n=1，最小誤差ξ=10-4。

2) 預(yù)測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σimproved。

3) 計(jì)算閾值T。

5) 如果|▽u|≥T，按照式(10)計(jì)算wi+1；否則，按照式(9)計(jì)算wi+1。

6) 按照式(11)計(jì)算zi+1。

7) 按照式(13)計(jì)算ui+1。

9) 如果β

4 實(shí) 驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)分兩部分來完成，首先是閾值T的確定。方案是通過4幅有代表性的圖像分別進(jìn)行閾值測試，得到不同噪聲水平下的最佳閾值序列，并進(jìn)行擬合，最后由4條擬合曲線求均值，得到最終閾值。

第二部分實(shí)驗(yàn)是驗(yàn)證本文方法的去噪效果，實(shí)驗(yàn)采用對(duì)比驗(yàn)證法，通過與常見的去噪方法進(jìn)行對(duì)比，包括傳統(tǒng)全變分方法(TV)、三維塊匹配去噪算法(BM3D)[10]、非局部平均去噪(NL-Means)[11]方法等，得到最終的數(shù)據(jù)。

4.1 閾值的確定

以Lena為例，首先在圖像上添加標(biāo)準(zhǔn)差(σ)為20的高斯噪聲，然后使用標(biāo)準(zhǔn)差為0～100、間隔為1的閾值數(shù)列，使用本文的去噪方法分別進(jìn)行去噪，并計(jì)算去噪后圖像的峰值信噪比(PNSR)。最終得到的閾值和峰值信噪比關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 閾值T和PNSR關(guān)系曲線

可以看出，當(dāng)閾值在24.1時(shí)，PNSR獲得最大值，去噪效果最好。

按照以上方法，分別添加不同級(jí)別的噪聲(標(biāo)準(zhǔn)差分別為4、8、12、16、20、24、28、32)，并獲取對(duì)應(yīng)噪聲估計(jì)值和最佳閾值，繪制出4個(gè)圖像(Boat、Bridge、Lena、Peppers)的不同點(diǎn)位圖，觀察該圖像近似為直線，因此擬合出直線方程，公式為：

T=kiσ+bi

(14)

擬合后的參數(shù)如表3所示，各個(gè)擬合圖如圖3所示。

表3 擬合直線參數(shù)表

圖3 最優(yōu)閾值T和估計(jì)噪聲擬合直線

最后對(duì)ki和bi取算術(shù)平均值，得到最終結(jié)果：

(15)

T=1.157σimproved

(16)

4.2 去噪性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文方法在其他圖像上的去噪效果，使用另外的三幅圖像(Barbara、Baboon、Lake)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。分別添加均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為10、20、30和40的高斯噪聲。再分別用傳統(tǒng)全變分方法(TV)、BM3D、非局部平均去噪(NL-Means)方法等進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)果如表4所示，Barbara的去噪效果對(duì)比如圖4所示，Lake的去噪效果對(duì)比如圖5所示。

表4 去噪實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)照表

圖4 Barbara去噪效果對(duì)比

圖5 Lake去噪效果對(duì)比

從去噪效果看，傳統(tǒng)TV算法去噪后有較明顯的局部階梯效應(yīng)，NLM算法沒有有效區(qū)分噪聲和圖像，因此去噪效果一般，BM3D從整體來看有較好的去噪效果，某些圖像的去噪表現(xiàn)上是最好的，但是BM3D在眼部細(xì)節(jié)上丟失了細(xì)節(jié)，導(dǎo)致了模糊。本文方法整體上表現(xiàn)突出，在邊緣區(qū)域和平滑區(qū)域都處理較好，對(duì)階梯效應(yīng)的抑制較好。

5 結(jié) 語

分析了全變分圖像去噪的原理、階梯效應(yīng)的形成原因。針對(duì)現(xiàn)有方法不能有效解決邊緣保護(hù)與平滑區(qū)域階梯效應(yīng)的矛盾問題，提出一種利用局部梯度閾值有效調(diào)和現(xiàn)有矛盾的混合式解決辦法。并提出噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的預(yù)測改進(jìn)算法，進(jìn)而提出局部梯度閾值的確定方法，最后給出完整的去噪算法步驟。實(shí)驗(yàn)證明：1) 本文方法與傳統(tǒng)TV去噪算法相比，性能有了較大提升，峰值信噪比平均提高了1.74 dB。2) 與同類優(yōu)秀的去噪算法相比，本文方法在保護(hù)邊緣和抑制階梯效應(yīng)上，有較好的表現(xiàn)。