基于改進NSGA-Ⅱ的主軸承組合結構協調匹配設計方法研究

趙鑫，劉曉勇，蘇鐵熊，任日娜，郭亞新

(1.中北大學機電工程學院，山西 太原 030051；2.中北大學能源動力工程學院，山西 太原 030051；3.中北大學機械工程學院，山西 太原 030051；4.蜂巢能源科技有限公司，河北 保定 071000)

在我國碳達峰和節能減排的發展背景下，高功率密度是新時期動力發展的必然趨勢[1]。相比于傳統柴油機，高功率密度柴油機具有高緊湊性、高燃燒壓力及高轉速等特點[2-5]。主軸承組合結構作為柴油機最重要的主承力結構之一，隨著柴油機功率密度的提升，其所受各項工作載荷大幅增加，導致曲軸與主軸承耦合變形增加，軸承副邊緣接觸應力增加。此外，由于主軸承組合結構設計空間的限制，高工作載荷下其典型零部件的部分區域易產生強度失效。這些可靠性問題直接影響著柴油機主軸承組合結構的工作狀況。

為了提高主軸承組合結構的可靠性，研究人員以強度、剛度等作為目標，對主軸承組合結構的協調性設計開展了大量的研究。吳斌輝[6]建立了曲軸、機體的有限元模型，分析了主軸承在預緊工況、過盈工況、潤滑油膜載荷工況下的剛度情況，并歸納了不同參數對主軸承截面失圓度和多個主軸承整體協調變形的影響規律。但該研究僅針對剛度進行研究,沒有考慮強度及接觸強度等可靠性，并且研究中僅考慮了主軸承單個部件的變形，沒考慮各部件間的變形協調。關志偉、蘇鐵熊等[7]以某V型柴油機作為研究對象，揭示了預緊工況和最大主軸承載荷工況下典型設計參數對主軸承組合結構強度和剛度的影響規律，并提出了該機型的改進結構。雖然該研究討論了主軸承組合結構多方面可靠性的影響規律，但僅依據影響規律通過參數優選初步地提出了改進方案，沒有形成系統科學的主軸承組合結構協調匹配設計方法。

針對上述問題，本研究以主軸承組合結構的強度、剛度、接觸強度及質量作為匹配目標，制定各匹配目標的協調性評價準則，基于改進的NSGA-Ⅱ算法進行主軸承組合的協調匹配設計，以期形成科學完善的主軸承組合結構協調匹配設計方法，為復雜結構的協調性設計提供理論依據。

1 主軸承組合結構協調性評價準則

主軸承組合結構的協調匹配設計是指基于協調性評價準則，通過引入多目標優化理論對組合結構各方面協調性進行優化匹配的設計方法，使主軸承組合結構在外界載荷的作用下呈現強度協調(機體和主軸承蓋強度安全系數提高)、變形協調(主軸瓦變形減小)、接觸強度協調(考察接觸面接觸強度安全系數高)且質量協調(質量可控)的綜合最優狀態。

基于研究人員前期對組合結構響應協調評價體系的研究[8]，歸納主軸承組合結構的協調性評價準則如下。

1.1 強度協調性評價準則

強度協調性是指主軸承組合結構協調匹配設計中強度可靠性的好壞程度。主軸承組合結構強度可靠性的主要考察部件是機體與主軸承蓋。強度協調性的評價準則為：1)各部件強度安全系數高于許用最小安全系數的限值，即強度可靠性滿足設計要求；2)在強度可靠性滿足設計要求的前提下，考察部件強度安全系數，其值越高，組合結構強度協調性越優。強度協調性采用強度協調性系數作為評價指標，強度協調性系數可通過部件的強度協調因子體現。

1.1.1 強度協調因子

強度協調因子表征的是部件的強度裕度，采用部件的最小安全系數與安全系數限值比值的對數進行定義。當組合結構第i個部件的強度協調因子ξi>0時，該部件的強度可靠性滿足設計要求。強度協調因子越大，該部件的強度裕度越優。強度協調因子ξi的數學表達為

(1)

式中：S,D,M分別為結構、載荷和材料性能參數(以下未經特別說明，S,D,M的代表含義不變)；FOSi為組合結構中第i個部件的最小安全系數；FOSref,i為第i個部件安全系數限值，為常數。

1.1.2 強度協調性系數

強度協調性系數是主軸承組合結構強度協調性的評價指標，采用各部件強度協調因子的加權和進行定義。強度協調性系數越大，組合結構整體強度協調性越優。強度協調性系數Δξ的數學表達為

(2)

1.2 變形協調性評價準則

變形協調性是指主軸承組合結構協調匹配設計中剛度可靠性的好壞程度。主軸承組合結構靜剛度主要關注主軸瓦的失圓變形。變形協調性的評價準則為：1)各部件的最大變形量低于該部件最大變形量的限值，即部件的剛度可靠性滿足設計要求；2)在剛度可靠性滿足設計要求的前提下，考察部件最大變形量，其值越小，組合結構變形協調性越優。變形協調性采用變形協調性系數作為評價指標，變形協調性系數可通過各部件的變形協調因子計算得到。

1.2.1 變形協調因子

變形協調因子是表征部件剛度裕度的物理量，采用部件的最大變形量限值與最大變形量比值的對數進行定義。當組合結構第i個部件的變形協調因子φi>0時，部件的剛度可靠性滿足設計要求。部件變形協調因子越大，其剛度裕度越優。部件變形協調因子φi的數學表達為

(3)

式中：δi為組合結構中第i個部件最大變形量；δref,i為組合結構中第i個部件最大變形量限值，為常數。

1.2.2 變形協調性系數

變形協調性系數是主軸承組合結構整體變形協調性優劣的評價指標，采用各部件變形協調因子的加權和進行定義。該系數越大，組合結構整體的變形協調性越優。變形協調性系數Δφ的數學表達為

(4)

1.3 接觸強度協調性評價準則

接觸強度協調性是指主軸承組合結構協調匹配設計中接觸強度可靠性的好壞程度，其重點考察的接觸面為機體與主軸承蓋端面。接觸強度協調性評價準則為：1)接觸面的最大接觸壓力低于接觸部件材料的許用最大接觸壓力，即接觸強度可靠性滿足設計要求；2)在接觸強度可靠性滿足設計要求的前提下，考察接觸面的接觸強度安全系數，其值越高，組合結構接觸強度協調性越優。接觸強度協調性可采用接觸強度協調性系數進行評價，接觸強度協調性系數可通過各接觸面的接觸協調因子體現。

1.3.1 接觸協調因子

接觸協調因子表征的是各接觸面的接觸強度裕度，采用接觸面材料的許用最大接觸壓力與接觸面最大接觸壓力比值的對數進行定義。當主軸承組合結構第j個接觸面的接觸協調因子γj>0時，表明該接觸面的接觸強度可靠性滿足設計要求。接觸協調因子越大，接觸強度裕度越優。接觸協調因子γj的數學表達為

(5)

式中：σj為第j個接觸面的最大接觸壓力；σref,j為第j個接觸面材料的許用最大接觸壓力。

1.3.2 接觸強度協調性系數

接觸強度協調性系數是主軸承組合結構整體接觸強度協調性好壞的評價指標，采用各接觸面接觸協調因子的加權和進行定義。接觸強度協調性系數越大，組合結構整體的接觸強度協調性越優。接觸強度協調性系數Δγ的數學表達為

(6)

1.4 質量協調性評價準則

質量協調性是指主軸承組合結構協調匹配設計中輕量化設計表現的好壞程度。質量協調性的評價準則為：1)主軸承組合結構的質量低于其質量限值(本研究中為78.76 kg)，即質量滿足設計要求；2)在質量滿足設計要求的前提下，組合結構質量越低，其質量協調性越優。

質量協調性系數是主軸承組合結構質量協調性好壞的評價指標，采用主軸承組合結構單隔板模型質量限值與實際質量比值的對數進行定義。當質量協調性系數Δψ>0時，質量滿足設計要求。質量協調性系數越大，質量協調性越優。質量協調性系數Δψ的數學表達為

(7)

式中：mref為主軸承組合結構單隔板模型質量的限值；m′為優化后主軸承組合結構單隔板模型的質量。

1.5 總體協調性評價準則

總體協調性是指主軸承組合結構協調匹配設計中強度協調性、變形協調性、接觸強度協調性和質量協調性4項考察要素的總體協調程度，采用組合結構總體協調性系數進行評判?？傮w協調性的評價準則為：1)各考察要素的協調性系數大于0，即考察要素的設計具備協調性；2)在各考察要素具備協調性的前提下，組合結構總體協調性系數越大，各考察要素間的總體協調性越優。總體協調性系數采用各考察要素協調性系數的加權和進行定義，其數學表達為

Δ=κ1Δξ+κ2Δφ+κ3Δγ+κ4Δψ。

(8)

式中：Δ為組合結構總體協調性系數；κ1，κ2，κ3，κ4分別為強度協調性、變形協調性、接觸強度協調性及質量協調性在主軸承組合結構協調匹配設計中所占的權重。

1.6 權重的確定

在主軸承組合結構協調性評價體系中，各項權重的分配是否合理對協調性評價結果有著的重要影響。基于層次分析法對協調評價體系中的權重進行計算[9-10]。建立的層次結構模型見圖1。

圖1 主軸承組合結構協調性層次結構圖

采用九級標度法對各考察要素及其評價指標的優先級進行量化。構造各層級判斷矩陣，求解特征向量并進行一致性檢驗。主軸承組合結構協調性評價體系中的各項權重如表1和表2所示。

表1 主軸承組合結構考察要素的權重

表2 主軸承組合結構協調性評價指標的權重

表2 (續)

2 模型的建立

2.1 有限元模型的建立

采用Abaqus軟件進行有限元仿真分析。主軸承組合結構主要包含的部件為機體、主軸承蓋、主軸瓦、橫拉螺栓、豎拉螺栓及曲軸(見圖2)。

圖2 主軸承組合結構示意

位移邊界條件：對主軸承組合結構單隔板模型的兩側對稱面施加對稱位移約束；機體、主軸承蓋、主軸瓦及曲軸之間的接觸均采用“面對面”接觸方式；機體與主軸承蓋側壁采用間隙裝配，初始間隙量為0.1 mm；主軸瓦與主軸承孔采用過盈裝配，初始過盈量為0.16 mm。

力邊界條件：主軸承組合結構主要承受三方面載荷，分別為螺栓載荷(橫拉螺栓98 kN，豎拉螺栓200 kN)、過盈載荷和來自曲軸的主軸承載荷(豎直方向-78 365 N，水平方向-195 769 N)。

采用四面體網格進行網格劃分。對于組合結構的接觸面及可能產生應力集中的危險區域進行網格細化處理。經網格無關性驗證，確定該模型的網格數量為202 538。

2.2 優化數學模型的建立

2.2.1 設計變量的確定

根據研究人員對主軸承組合結構可靠性的研究成果[11]，以典型的結構尺寸參數、裝配參數及載荷參數等作為設計變量，根據實際工程中設計參數取值的限值，確定設計變量的取值范圍，如表3所示。構造設計變量向量X，其可表示為

X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)T。

(9)

表3 設計變量及其取值范圍

2.2.2 目標函數的確定

1) 強度協調性目標函數

根據強度協調性評價準則，以機體和主軸承蓋的強度協調因子作為強度協調性目標函數。提取機體、主軸承蓋強度危險區域的第一主應力，如圖3和圖4所示。

圖3 機體強度危險區域示意 圖4 主軸承蓋強度危險區域示意

機體的材料為鑄鋁，其抗拉極限為250 MPa；主軸承蓋的材料為鋼，其抗拉極限為980 MPa。取最小安全系數的限值FOSref為1.2。根據強度協調因子的定義，強度協調性目標函數可表示為

(10)

(11)

式中：F1和F2分別為機體和主軸承蓋的強度協調性目標函數；σJ和σZ為機體強度和主軸承蓋強度危險區域的第一主應力。

2) 變形協調性目標函數

將主軸瓦的變形協調因子作為變形協調性目標函數。根據變形協調因子的定義，δref,i為組合結構中第i個最大變形量的限值，即主軸瓦與曲軸之間的最小裝配間隙，為0.11 mm。δi為主軸瓦最大徑向變形量[12]，將已知參數代入式(3)，可得

(12)

式中：φW為主軸瓦最大徑向變形量。

3) 接觸強度協調性目標函數

接觸強度協調性重點考察的接觸面為機體與主軸承蓋端面，如圖5所示。以該接觸面的接觸協調因子作為接觸強度協調性目標函數。機體材料許用接觸壓力為380 MPa，根據接觸協調因子的定義，可得

(13)

式中：pJZ為機體與主軸承蓋端面的最大接觸壓力。

圖5 接觸強度協調性考察接觸面示意

4) 質量協調性目標函數

主軸承組合結構單隔板模型質量的限值為78.76 kg。以質量協調性系數作為目標函數，可表示為

(14)

式中：m′為組合結構單隔板模型的質量。

2.2.3 約束條件的確定

1) 強度約束條件

主軸承組合結構的強度設計要求為各部件的強度安全系數不低于1.2。機體、主軸承蓋、主軸瓦及橫、豎螺栓材料的抗拉極限分別為250 MPa，980 MPa，430 MPa和1 200 MPa。根據強度協調因子的定義，提取各部件強度危險區域的第一主應力，主軸承組合結構各部件的強度約束條件如下：

(15)

式中：g1(X)至g5(X)分別為機體、主軸承蓋、主軸瓦、橫拉螺栓及豎拉螺栓的強度約束條件；σJ，σZ，σW，σH，σV分別為機體、主軸承蓋、主軸瓦、橫拉螺栓及豎拉螺栓強度危險區域的第一主應力。

2) 剛度約束條件

主軸承組合結構的剛度設計要求為各部件的最大變形量低于該部件最大變形量的限值。根據研究人員對主軸承組合結構各部件剛度可靠性的研究成果，主軸瓦、機體、主軸承蓋、橫拉螺栓及豎拉螺栓的最大變形量的限值分別為0.11 mm，0.48 mm，0.30 mm，0.78 mm及1.00 mm。提取各部件變形較大區域的最大變形量，主軸承組合結構各部件的剛度約束條件如下

(16)

式中：g6(X)至g10(X)分別為機體、主軸承蓋、主軸瓦及橫、豎拉螺栓的剛度約束條件；φW為主軸瓦的最大徑向變形量；φJ，φZ，φH，φV分別為機體、主軸承蓋及橫、豎拉螺栓變形較大區域的最大變形量。

3) 接觸強度約束條件

主軸承組合結構的接觸強度設計要求為接觸面的最大接觸壓力低于接觸部件材料的許用最大接觸壓力。機體材料的許用最大接觸壓力為380 MPa。根據接觸協調因子的定義，提取各接觸面的最大接觸壓力，接觸強度約束條件可表示為

(17)

式中：g11(X)至g13(X)分別為機體與主軸承蓋接觸面、機體與主軸瓦接觸面、機體與橫拉螺栓接觸面的接觸強度約束條件；pJZ為機體與主軸承蓋端面的最大接觸壓力；pJW為機體與主軸瓦接觸面的最大接觸壓力；pJH為機體與橫拉螺栓接觸面的最大接觸壓力。

4) 質量約束條件

主軸承組合結構輕量化設計要求為組合結構單隔板模型質量低于78.76 kg。根據質量協調因子的定義，質量約束條件可表示為

(18)

式中：m′為組合結構單隔板模型的質量。

綜上，以主軸承組合結構的典型設計參數為設計變量，以各協調性重點考察部件或接觸面的協調因子為目標函數，以各部件或接觸面滿足強度、剛度、接觸強度及質量的設計要求為約束條件，主軸承組合結構協調匹配設計的數學模型如下：

MaximizeF1(X)～F5(X)，
X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)T，
Subject tog1(X)～g14(X)成立。

3 改進NSGA-Ⅱ算法

3.1 基于FSCS-ART算法的種群初始化方法

為了增加種群的多樣性，保證優化解的良好分布，基于FSCS-ART算法[13-14]對種群初始化方法進行改進。具體方法如下：首先按照均勻分布原則隨機生成k個候選個體，創建候選個體集C={c1,c2,…ck}，并計算每個候選個體ci(i∈[1,k])與初始化種群S={s1,s2,…sq}中的所有個體的最短距離。其中，q表示當前初始化種群中已存在q個個體。選擇最短距離中最大的候選個體作為下一個初始化個體，其數學表達為

(19)

式中：distij(ci,sj)為ci和sj兩個體在設計變量超維空間的距離。基于FSCS-ART算法改進的種群初始化偽代碼如表4所示。

表4 基于FSCS-ART算法的種群初始化偽代碼

表4 (續)

為了盡可能地使初始化個體在設計變量空間中均勻分布，取q=1，即初始化種群中只有一個隨機生成的個體。此外，為了控制種群初始化的計算規模，一般取候選種群個體的數量為10，即k=10。

3.2 基于混合自適應策略的遺傳方式研究

針對傳統NSGA-Ⅱ算法計算效率偏低的問題，在傳統NSGA-Ⅱ算法的基礎上引入了混合自適應遺傳策略，其核心思想為：將種群的進化過程依據設定的分期條件(進化代數)分為前期和后期。算法計算前期，為了避免優化陷入局部最優解，種群以傳統NSGA-Ⅱ算法的交叉、變異方式進化；算法計算后期，以基于距離的自適應交叉、變異概率進化。構造適應度函數如下：

(20)

式中：Fit(X)為種群個體的適應度；dis(X)為個體映射的目標函數距離超維空間坐標原點的距離。將當前進化代中dis(X)的最大值作為D的取值。dis(X)可通過下式求解：

(21)

式中：f(X)為目標函數；n為多目標優化中目標函數的數量。

根據個體適應度的計算，可以對自適應交叉和變異的概率進行計算：

(22)

(23)

式中：pc和pm分別為自適應交叉和變異的概率；k1,k2,k3為常數，與傳統NSGA-Ⅱ算法中的交叉、變異概率有關；fc為兩待交叉個體中適應度較大個體的適應度值；fm為待變異的個體的適應度值；fmax為種群個體的最大適應度；favg為種群個體的平均適應度。基于混合自適應策略的交叉、變異概率計算方法的偽代碼見表5。

表5 基于混合自適應策略的遺傳概率計算偽代碼

3.3 算法參數的設定

改進NSGA-Ⅱ算法采用二進制交叉方式和多項式變異方式。設置主軸承組合結構協調性多目標優化的種群數量為12，進化代數為50，初始交叉概率為0.9，初始變異概率為0.1。根據對主軸承組合結構協調性多目標優化的經驗計算，設置區別優化算法進化前期與算法進化后期的進化代數閾值為24。

4 結果與討論

4.1 數學模型的求解

主軸承組合結構協調匹配設計采用Matlab軟件和Abaqus軟件進行聯合仿真。改進NSGA-Ⅱ算法在Matlab軟件中通過編寫程序代碼實現。主軸承組合結構的有限元仿真過程是基于對Abaqus軟件的二次開發，將整個有限元分析過程及計算結果的后處理以Python程序的形式呈現。

采用Matlab軟件和Abaqus軟件聯合仿真的數據傳遞過程為：通過以Matlab程序實現的改進NSGA-Ⅱ優化算法對父代設計變量進行交叉、變異后，將子代設計變量傳遞到主軸承組合結構局部參數化有限元模型的Python程序中對模型進行重建。調用Abaqus內核進行分析，計算目標函數數值。將計算結果反饋至Matlab中，采用改進NSGA-Ⅱ算法對計算結果進行評價與分析，并生成新的設計變量。Matlab軟件和Abaqus軟件的數據交互如圖6所示。

圖6 Matlab和Abaqus的數據交互流程

4.2 協調匹配設計結果

依據Pareto優化理論分析，主軸承組合結構協調匹配設計的Pareto優化解不存在單一的最優解，取而代之的是搜索空間中對應目標向量元素不能再被同時改進的解的集合。通過Matlab軟件和Abaqus軟件的聯合仿真求解得到的Pareto最優解為包含10組最優解的解集，如表6所示。

表6 主軸承組合結構協調匹配設計結果

將每一組Pareto最優解用一組封閉的折線來表示。折線的端點越靠近五邊形頂點，其對應的目標越優，如圖7所示。

依據考察要素權重分析，優化目標優先級從大到小依次為變形協調性、強度協調性、接觸強度協調性及質量協調性。從表6和圖7中可以看出，變形協調性目標函數最優的匹配方案為方案5和方案6，但二者之間的差距很小，在實際工程問題中基本可以忽略不計。對比方案5和方案6的其他優化目標可以發現，對于強度、接觸強度及質量目標函數，方案6均優于方案5，故認為實際工程問題中匹配方案6更加合理。因此，以方案6作為最終的主軸承組合結構協調匹配設計方案。對比優化前后設計變量的數值，結果如表7所示。

圖7 Pareto最優解對應的優化目標雷達圖

表7 優化前后設計變量取值對比

依據主軸承組合結構協調性評價準則，計算優化前后主軸承組合結構各部件及接觸面的協調因子，計算優化前后各考察要素的協調性系數及組合結構總體協調性系數，如表8所示。主軸承組合結構的有限元仿真分析中曲軸采用的是簡化模型，故不考慮曲軸的強度協調性、變形協調性及接觸強度協調性。

對于主軸承組合結構協調匹配設計重點關注的部件及接觸面，優化后機體強度協調因子和主軸承蓋強度協調因子分別提升了48.72%和10.15%；主軸瓦的變形協調因子提升了45.56%；機體與主軸承蓋端面的接觸協調因子提高了12.75%。對于非重點關注的部件和接觸面，其各協調因子有不同程度的增減變化，但均滿足主軸承組合結構的設計要求。

考察要素方面，優化后組合結構的強度協調性系數提升了16.63%，變形協調性系數提升了19.06%，接觸強度協調性系數提升了3.99%。盡管優化后總體質量略有上升，但其漲幅不足1%，滿足輕量化設計要求?？傮w協調性方面，優化后總體協調性系數提升了14.49%，表明優化后主軸承組合結構總體協調性更優。

綜上所述，經協調匹配設計后主軸承組合結構總體協調性更優，分別實現了強度協調(機體、主軸承蓋強度安全系數提高)、變形協調(主軸瓦變形減小)、接觸強度協調(機體與主軸承蓋接觸面的接觸強度安全系數高)及質量協調(質量可控)的設計目標，證明了所提出的主軸承組合結構協調匹配設計方法的有效性。

表8 優化前后主軸承組合結構協調性對比

4.3 改進NSGA-Ⅱ算法性能驗證

4.3.1 改進初始化方式的性能驗證

主軸承組合結構協調匹配設計數學模型的設計變量較多，不方便直觀地對比采用傳統的和改進的初始化方式生成個體分布的差異性。故采用僅有兩個設計變量的驗證模型，其取值范圍均為[0，100]，設種群規模為100，分別采用基于隨機分布的傳統初始化方式和基于FSCS-ART算法的改進初始化方式對種群個體進行初始化，種群個體分布見圖8。左圖為采用基于FSCS-ART算法的種群初始化方式生成的種群個體，其既沒有明顯的空隙，又沒有相互緊貼甚至重疊。右圖為采用傳統初始化方式生成的種群個體，其出現了不同程度的“聚集”現象，設計變量平面內出現了明顯的“空白”，種群個體分布不均勻。

圖8 采用不同初始化方式的種群個體分布

參考ART算法生成的測試用例分布均勻程度的度量指標[15]，初始化種群個體的分布性可以采用如下指標進行評判：

1) 分散度

式中：ei∈E；dis(a,b)表示個體a和個體b之間的距離；neighbour(p,E)表示集合E中距離p個體最近的個體；|E|表示集合E中的個體數量；MDispersion表示集合E中任意個體具有的最大圓形平面(平面中有且僅有該個體)。MDispersion的值越小，則可認為集合E中個體間具有近似相等的距離，即分布越均勻。

2) 最近相鄰個體的平均距離Mavg

式中：ei∈E。(MDispersion-Mavg)的值越小，集合E中的個體分布越均勻。

基于FSCS-ART算法的種群初始化方式和基于隨機分布的種群初始化方式生成種群個體的MDispersion分別為5.787 4和6.432 9，二者的Mavg分別為5.636 3和5.141 3。改進初始化方式生成個體的(MDispersion-Mavg)值明顯更小，表明采用該方法生成的種群個體的分布更加均勻。

4.3.2 改進遺傳方式的性能驗證

分別采用改進NSGA-Ⅱ算法和傳統NSGA-Ⅱ算法求解主軸承組合結構協調匹配設計數學模型，計算每代種群個體的平均適應度與最大適應度，結果如圖9所示。

圖9 改進NSGA-Ⅱ算法與傳統NSGA-Ⅱ算法計算得到的種群個體適應度對比

采用兩種方法計算得到的種群個體適應度在算法前期均迅速升高，算法后期適應度增加的趨勢變得平緩。這一現象說明了設置區分進化前、后期的進化代數閾值為24的合理性。

對比改進NSGA-Ⅱ算法與傳統NSGA-Ⅱ算法計算得到的種群個體平均適應度曲線可以發現，二者在進化前期的平均適應度變化趨勢基本相同，但進化后期由于自適應交叉、變異概率的影響，采用改進NSGA-Ⅱ算法計算得到的個體平均適應度明顯更快地貼近最大適應度曲線，表明算法后期改進NSGA-Ⅱ具有更好的解的收斂效率。此外，當算法進化到第50代時，采用改進NSGA-Ⅱ算法計算得到的種群個體平均適應度與種群最大適應度的差距更小，表明改進NSGA-Ⅱ算法計算得到的優化解具有更高的適應度。

5 結論

a) 協調匹配設計后，主軸承組合結構的強度協調性、變形協調性和接觸強度協調性分別提升了16.63%，19.06%和3.99%，總體協調性提升了14.49%，說明了主軸承組合結構協調匹配設計方法的有效性；

b) 與傳統初始化方法相比，采用基于FSCS-ART算法的改進初始化方式生成的種群個體分布更加均勻，表明基于FSCS-ART算法的改進初始化方法具有先進性；

c) 與傳統遺傳方式相比，基于混合自適應策略的遺傳方式具有更好的解的收斂效率，其優化解具有更高的適應度，說明了改進遺傳方式的先進性。