基本不等式的應用技巧

袁加順

(云南省大理州祥云縣第一中學 672100)

基本不等式是高中階段學習的一個重要的不等式，也是高考常考的考點，應用較為廣泛.常用于求范圍、最值與證明等. 在應用基本不等式思考問題時，要關注一正、二定、三相等這三個條件是否滿足，缺一不可.如果應用好這三個條件，掌握一些解題技巧，用基本不等式求最值等很多問題就能迎刃而解.

1 轉化技巧

把方程或者等式利用基本不等式放縮為不等式，從而達到求解問題的目的.

例1已知正實數a，b滿足ab=a+b+3，則a+b的取值范圍是( ).

A．[9,+∞) B．[6,+∞)

C．(0,9] D．(0,6)

化簡,得(a+b+2)(a+b-6)≥0.

因為a>0,b>0，所以a+b≥6，故選B.

點評題目需要求a+b的取值范圍，只有把積ab用基本不等式轉化為和a+b的形式，也就是把等式轉化為不等式，問題就可以解決了.

2 乘1技巧

例2已知x+2y=xy(x>0,y>0),則2x+y的最小值為____.

解析由x+2y=xy(x>0,y>0),

點評同一道題目，如果用到幾次基本不等式，條件必須要統一，否則就不能使用，如果用乘1法，用一次基本不等式就能解決問題.

3 配湊技巧

3.1 配系數

有時候求解兩個式子之積的最大值時，需要這兩個式子之和為常數，但很多時候其和并不是常數，需要對其中某些系數進行調整，使得其和為常數.

例3當x∈(0,2)時，求函數f(x)=x(4-2x)的最大值.

當且僅當2x=4-2x,即x=1時取等號.所以函數f(x)=x(4-2x)的最大值為2.

點評由x∈(0,2)可知4-2x>0，要滿足和為定值，只有通過湊系數進行轉化才可以用基本不等式求解.

3.2 配項

3.3 配次方

解析2y2=2x2(3-x2)(3-x2)

當且僅當2x2=3-x2，即x=±1時取等號.

所以函數y=x(3-x2)的值域為[-2,2].

3.4 復雜的配湊技巧

點評若分子的次數高于分母的次數，則可考慮裂項，變為和的形式，然后“拼湊定積”.

4 消元技巧

消元法是不等式中的兩元問題，用一個字母表示另一個字母，再構造為基本不等式的標準型.

解析已知m>0,n>-1,且m+n=1，

所以n=1-m<1.

所以2-m>0.

所以x>1,y>1.

可得xy-x-y=0.

5 放縮技巧

有些代數式根據式子的結構特征經過拆、拼放縮后，再用基本不等式求最值.

故選B.