論數形結合思想在高中數學解題中的優勢與應用

陶政國

(甘肅省慶陽市華池縣第一中學 745600)

在高中數學的學習過程中，數與形是學習數學的主要內容，在解數學題過程中，要將數與形結合應用，這也就產生了數形結合思想.數形結合思想是高中數學學習中的一種重要思維模式，通過數形結合思想將數學問題進一步簡單化，可以最終解決問題.在教育教學進行有效改革之后，學生掌握數學基礎知識，對解數學題中應用到的各種思維方法進行分析和掌握，能夠更好地應用這些思維模式解決數學問題，可以有效解決數學中的一些抽象知識，簡化數學知識的學習.

1 數形結合思想的應用優勢

數形結合包括數學語言、集合、邏輯語言和函數等，在解題中可以充分應用圖形對抽象的數學問題簡單化，該種方法在高中數學學習中應用比較普遍，可以使得抽象的數學知識具體化.

一是可以提高解題效率.高中數學的學習難度進一步加深，而且有著很強的抽象性和邏輯性，在進行數學題目的講解過程中，如果有效應用數形結合的教學方法，可以將抽象的數學題目通過數形結合表示出來，可以使得題目的解答更加客觀，也能夠將需要講解的知識點及時傳達給學生.

二是促進學生的發展.數學問題的解答主要是通過直觀的圖形對數學問題進行解剖，學生在解決數學問題時，會結合圖形解決數學問題，在學習方法方面加強優化，培養學生有效的邏輯思維能力.

在對數形結合方法進行有效應用時，還需要遵循一定的原則.等價原則和雙向原則是最基本的兩種原則，等價原則指的是解題中要有代替性的思維，建立的圖形要與題目對應.雙向原則注重的是將抽象的題目進行轉變，利用數形將抽象的題目具體化，要將數的基本思想和形的直觀性結合起來，將復雜的數學問題簡單化.

2 數形結合思想在高中數學解題中的應用

2.1 在高中函數中的應用

函數的學習是高中數學中的難點和重點，函數題型很容易出錯，如果在解函數題時采用常規的解題思路和方法，整體的解題效率會降低，而且速度也較慢.因此，解決函數題目時，就需要應用到數形結合思想，要將題目中的問題與圖形有效結合起來，可以通過圖形將題目中的問題具體化，也能夠抓住題目中的解題要點.函數中的解題思路是主要抓住函數的運動軌跡和變化規律分析函數中的數量關系，能夠快速解決函數問題.

例1直線y=-2x+2與x軸和y軸相交于A，B兩點，點C則在y軸的負半軸，而且OC=OB，求AC的解析式.

分析先根據坐標軸上點的坐標特征求出A(1，0)，B(0，2)，再利用C在y軸的負半軸上，且OC=OB得到C(0，-2)，然后利用待定系數法求直線AC的解析式．

解析當y=0時，-2x+2=0，解得x=1，則A(1，0).當x=0時，y=2，則B(0，2).

因為點C在y軸的負半軸上，且OC=OB，所以C(0，-2).

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A(1，0)，C(0，-2)代入，

得出直線AC的解析式為y=x-2.

在該函數的解題中，需要應用數形結合的思想，同時要對題目的條件充分理解，這樣學生才可以找出解題的突破口，將數形結合的規律應用到其中，快速解出題目.

2.2 在集合問題中的應用

在高中數學學習中，集合的學習也是比較重要的一個章節，考試內容中也會出現相關的集合題目，多是針對集合的交、并問題出題目，解該類問題時也是需要注重應用數形結合方法，可以將題目匯總的數學問題直接轉化為圖形的方式，使得對題目的理解更加簡單.

例2A={x|-1

解析A={x|-1

在解答該類數學問題時，需要應用到數軸進行題目的簡化，對題目內容進行理解，將題目中的內容一一列舉出來，這樣就有了清晰明確的條件，實現對數學題目的簡化，可以高效解決數學問題，集合問題在高中數學中也是一個重要的內容，需要重點學習，有效掌握，應用范圍比較廣泛.

2.3 在解析幾何中的應用

高中解析幾何的學習中，主要是學習點、線、面組成的數學問題，解析幾何的學習對很多學生來講都有一定的難度，因為解析幾何中包含空間幾何的內容，有三視圖和直觀圖，在解析幾何的學習中，也會有空間幾何的面積和體積計算，解析幾何的難度也加大了.在空間幾何的學習中，首先需要具備一定的空間思維能力，這樣才可以借助圖形解答幾何問題.在解空間幾何題目時，可以將空間幾何理解成多個平面圖形重疊而成，要將幾何圖形準確畫出來，才可以充分了解空間圖形的特點，從中找出有利于解題的條件.數形結合的解題方法可以將條件之間的關系呈現出來，使得解題思路更加明確，也能夠快速解出題目.

例3當三個平面兩兩垂直，它們的三條交線交于點O，空間一點P到三個平面的距離分別為3，4，5，則OP長為多少.

解析假設構造的長方體棱長分別是a，b，c，點P到三個平面的距離即為長方體的共頂點的三條棱的長，則

a2+b2+c2=32+42+52=50.

因為OP是長方體的對角線，

2.4 在排列組合中的應用

在解排列組合數學題目時，應用“數形結合”思想可以使得題目解答更加容易，需要從題目中給出的條件畫出對應的圖形，題目的解答會比較簡單.

例4A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射f：A→B，使對任意屬于A的x，都有x+f(x)+xf(x)是奇數，則這樣的映射有( )個.

解析由題意分析知，要使x+f(x)+xf(x)是奇數，則x與f(x)要么同是奇數，要么一奇一偶，不能同時為偶數.

當x為奇數時，f(x)奇偶均可，所以為52.

當x為偶數時，f(x)必為奇數，所以為22.

根據映射定義，A中三個元素都要取到，所以這是分步，應用乘法原理，可得52×2=50.

2.5 在位置中的應用

通常兩個點就可以畫出一條線，三個點就可以畫出一個面.點、線、面之間存在某種關系.而且點與直線的關系，也有點在線上、點在線外兩種情況，但是直線和平面之間存在很多種關系，如線線相交和線面相交的關系.又如，當一條直線上的兩個點都在平面內，線與平面之間存在什么關系.這就需要根據題目中的條件畫出圖形，再結合學習到的有關直線和平面的相關理論，就可以快速進行回答.這也是應用數形結合的思想，再加上一些公理，才能夠快速理解題目，得出重要的結論.

例5若直線y=x-2與圓x2+y2=r2相切，

(1)求r;

(2)與兩坐標軸都相切且過(1，2)的圓的方程是什么？

解析已知圓心在原點(0,0)上，所以該題就是求原點到直線的距離，套用公式

根據題意可知，圓心到x，y軸距離相等，也就是圓心坐標的絕對值相等.

又因為經過的點(1,2)在第一象限，所以圓心也在第一象限，設圓心坐標為(a，a)，圓的方程為

(x-a)2+(y-a)2=a2，

將(1,2)代入可得(1-a)2+(2-a)2=a2，

解得a=1或a=5.

所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=1或(x-5)2+(y-5)2=25.

綜上所述，解答高中數學題時，要靈活應用“數形結合”的思想，因為該種思想在數學問題中應用十分重要，可以使得數學題目更加簡單化，將題目中的條件都可以通過圖形表示出來，就可以直接從圖形中得出答案，該種方法的應用可以培養學生的數學素養，讓學生獲得更多的數學解題方法，促進學生思維的發展.