探索求極限方法在數學分析中的應用

朱 炎

(河南省鄭州技師學院 450000)

1 極限思想在概念中的應用

極限思想貫穿了整個數學分析過程，也是解決數學問題必不可少的方法之一，可以巧妙地解決各類問題.因此，在具體應用前，必須掌握極限的概念和具體思想內容.由上可知，極限的概念是動態變化的，會根據具體變量和過程發生變化，以函數為例，如果定義函數在某點連續，就是當自變量增量趨于零時，那么函數值的增量趨近于零，如果是對導函數進行定義，就是當自變量增量趨于零時，函數增量和自變量增量比的極限值.極限思想就是要在解決數學問題過程中，先確定未知量的近似值，然后根據近似值的具體趨向，確定量的具體數值.因此，掌握良好的極限求解方法是數學分析的關鍵環節，在參考現有的例題內容后，從公式、定義、法則、性質這幾個角度出發，確定具體的求極限方法.

2 極限理論在數學分析中的作用

極限的定義并不是一成不變的，需要根據不同類型變量、過程進行確定，而受到變量和過程多元化特點的影響，極限的形式和定義也并不固定.在這樣的情況下，只需要了解常見、重要的極限形式，以此為中心進行拓展，就可以掌握其他極限形式，進而科學地展開數學分析活動.極限思想貫穿了數學分析過程的始末，這一點在很多數學著作中都有所體現，在實際應用過程中，借助這一思想將變量和常量、有限和無限之間的統一關系直觀地表現出來，也是唯物辯證法對立統一規律在數學分析中的具體實現.

數學分析的主要作用在于解決初等數學無法解決的問題，如，瞬時速度、曲邊形面積、曲邊形體積等內容，有賴于微積分的發展，極限思想得到了完善，相應的概念體系規范化、系統化，目前已經成為了數學求解中的主要內容.作為數學分析的重要組成部分，在很多數學問題上都可以利用極限思想進行分析.由此可見，極限理論在數學分析中占有著重要位置.從實際應用情況來看，極限思想引出了連續函數、導數、定積分、多元函數偏導數等重要概念，數學分析之所以可以解決初等數學無法解決的問題，正是因為其采用了極限思想方法.

3 極限理論在數學分析中的應用

4 求極限方法在數學分析中的具體應用

4.1 利用定義求極限

根據前文分析，對極限的定義有了一定的認識，前文中主要介紹的是數列極限的概念，在對極限進行定義的過程中，還可能應用到函數知識，具體分為兩種定義方式，分別為：函數f(x)在x0某一去心鄰域內和在|x|大于某一正數時，兩者均有任意給定正數ε,總存在正數δ.前者需要讓0<|x-x0|<δ中所有x對應的函數f(x)滿足|f(x)-A|<ε，此時A就是函數f(x)在x→x0時的極限值；后者需要讓|x|>δ中所有x對應的函數f(x)滿足|f(x)-A|<ε，此時A就是函數f(x)在x→x0時的極限值.

4.2 利用法則求極限

需要注意的是，在應用四則運算法則前，必須要保證每個因子均存在極限，或者變形后存在極限，同時分母極限不能夠為零.任何一個條件不滿足都不能夠應用這種計算方式.

4.3 利用公式求極限

需要注意的是在利用這兩個重要極限公式的過程中，必須要慎重觀察函數形式是否符合未定式形式，如果不符合，則證明求解過程中存在錯誤，或者該極限思路并不適用于這一數學分析過程.

在利用泰勒公式求解的過程中，先利用這一公式將函數展開，然后再利用普通的求極限方式進行計算分析.實際上，泰勒公式對一些較為復雜的求極限過程具有化簡作用.在實際應用過程中，函數f(x)需要在x=0時，存在n+1階連續導數，在此基礎上，可以進一步展開處理.

解析按照泰勒公式，對該函數進行化簡，就可以得到ax和a-x的具體數值，進而按照具體的簡化步驟進行求解.

4.4 利用性質求極限

除了上述幾個方法之外，利用性質也可以求解極限，主要分為無窮小量性質法、函數連續性法.以無窮小量性質法求解為例，在該性質中有三點性質和極限有關，只要符合這三點性質，就可以利用無窮小量的性質解決相關的極限問題.(1)有限無窮小量的代數和為無窮小；(2)無窮小量與有界函數的乘積為無窮小；(3)有限無窮小量的乘積為無窮小.

4.5 其他求解方法

除了上述幾個方面之外，也可以利用微分中值定理、積分中值定理完成極限求解.這兩個定理內容也較為相似，都需要函數f(x)在閉區間[a，b]內連續，但微分需要其在開區間(a，b)內可導，則至少存在一點ξ∈(a，b)，而積分則需要函數g(x)在區間[a，b]內不變號且可積，至少存在一點ξ∈(a，b).定積分法也是求解極限的一種模式，主要是利用定積分的定義進行極限求解，將定積分劃分成和式極限的形式，完成求解過程.反之亦然，在求解和式極限的過程中也可以將其轉化為定積分的形式.綜合來看，微分中值定理、積分中值定理，實際應用中可以提高解題效率，簡化解題步驟，解題準確率也會得到大幅度提高.

綜上所述，數學分析中求極限的方法眾多，但每個方法都具有一定的局限性，在實際使用過程中需要充分考慮到使用前提和具體條件，正確完成計算求解.通過對求極限方法的歸納分析，明確不同方法的求解條件、內在條件，以及不同方法之間的內在聯系，讓求極限方法在數學分析中得到靈活的應用.