二項式定理題型剖析

胡貴平

(甘肅省白銀市第一中學(xué) 730900)

二項式定理是高考高頻考點，題型多為選擇題、填空題，著重考查二項式定理的性質(zhì)， 主要包括求某項的系數(shù)、系數(shù)的和差及最值；求某些項、中間項及有理項；利用二項展開式求近似值、求有關(guān)整除余數(shù)問題及不等式證明；解決與其它數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用．熟悉二項式定理題型就顯得非常重要了.

1 求系數(shù)

1.1 求某項的系數(shù)通項分析法

例1在 (x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù)為( ).

A.160 B.240 C.360 D.800

解析由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5，(x+1)5(x+2)5展開式中x的系數(shù)為兩個因式相乘而得到，

即第一個因式的常數(shù)項和一次項分別乘以第二個因式的一次項與常數(shù)項，它為

其x的系數(shù)為

1.2 求某項的系數(shù)的和差賦值法

在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或-1.

A．1 B．-1 C．0 D．2

解析(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4) .

實際上，a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4分別為已知式在x=1，x=-1的值．

令x=1，得

令x=-1，得

所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2

=1.

1.3 特殊系數(shù)最值對稱法

求二項式系數(shù)最小的項，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù)變化情況，結(jié)合二項式系數(shù)性質(zhì)的對稱性，與首末兩端等距的兩項，二項式系數(shù)相同求解．

例3在二項式(x-1)11的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)是____.

從而可知最小項的系數(shù)為

1.4 一般系數(shù)最值不等式法

例4(1+2x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項．

解得n=8．

所以(1+2x)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為

設(shè)第r+1項系數(shù)最大，則有

解得5≤r≤6．

所以r=5或r=6(r∈{0,1,2,…,8})．

所以系數(shù)最大的項為

T6=1792x5，

T7=1792x6．

2 求項

2.1 求中間項

求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時中間一項的二項式系數(shù)最大.

所以展開式的中間項為

2.2 求有理項

當(dāng)一個代數(shù)式各個字母的指數(shù)都是整數(shù)時，就是有理項．求二項展開式中的有理項，必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性求解．

解析因為

所以當(dāng)r=0,3,6,9時，所對應(yīng)的項是有理項.

故展開式中有理項有4項．

3 利用展開式

3.1 近似問題截項法

用二項展開式作近似計算，注意底數(shù)的變形，以及考查對精確度有影響的某些項．

例7求(2.999)10的近似值(精確到0.001).

解析(2.999)10=(3-0.001)10

=310-10×39×0.001+45×38×0.0012-120×37×0.0013+210×36×0.0014-…

=59049-196.83+0.295245-0.00026244+…

≈58852.465．

所以(2.999)10的近似值為58852.465.

3.2 整除(或余數(shù))問題展開法

用二項式定理解決整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項式的形式再展開，經(jīng)常采用“配湊法”“消去法”結(jié)合整除的性質(zhì)．

例8109192除以100的余數(shù)是____．

解析9192=(90+1)92

由此可見，除后兩項外均能被100整除．

所以109192除以100的余數(shù)是81.

3.3 不等式證明二項法

在有二項式的冪不等式中,要善于把其中某個數(shù)式變形、分解、引進(jìn)參數(shù)等來構(gòu)造新二項式而使得不等式兩邊在二項式展開后有緊密的聯(lián)系．

例9求證： 3n>2n-1·(n+2)(n∈N，且n≥2)．

證明左式=(2+1)n

注意到：

①2n+n·2n-1=2n-1(2+n)

=2n-1(n+2)；

②n≥2，右式至少三項；

故可以得到3n>2n-1·(n+2)(n∈N，且n≥2)．