由2022年八省聯考第8題引發的研究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

1 題目呈現

題目(2022年八省聯考第8題) 設a，b都是正數，e為自然對數的底數，若aea+1+b

A.ab>eB.b>ea+1C.ab

學生普遍反映本題無從下手，很難建立題設與問題間的關系.根據2021年全國高考乙卷第12題的結構、命題點位、解題方法，考生有大概的思路：構造，再利用單調性作答，但是很難具體實施解題思路.

2 試題解答

解析由aea+1+b

aea+1

①

提取公因式,得aea+1

②

③

④

⑤

⑥

⑦

因為a，b都是正數，

⑧

⑨

3 解答說明

本題還有其他構造方法，只是構造更加巧妙，對學生要求能力更高，尤其是等價轉化的能力，抽象概括的能力！

另解1 設φ(x)=xlnx-x，則

φ′(x)=lnx+1-1=lnx.

由前文知b>e，所以φ′(x)>0.

所以φ(x)=xlnx-x在(e,+∞)上單調遞增.

又φ(ea+1)=ea+1lnea+1-ea+1=(a+1)ea+1-ea+1=aea+1,由aea+1+b

所以φ(ea+1)<φ(b).所以b>ea+1.

另解2 設λ(x)=lnx+x(x>0)，

則λ(x)在(0,+∞)上單調遞增.

由aea+1+b0,得

0

取自然對數,得

lnaea+1

化簡,得lna+a+1

移項,得lna+a

所以λ(a)<λ(lnb-1).

因此a

解得b>ea+1.

4 追根溯源

關于構造思想，教材在不同章節均有一些思想滲透，我們要深入領悟.對導數而言，在人教A版選修2-2的第32頁安排了以下經典證明習題：

(1)ex>1+x(x≠0).

(2)lnx

這兩個習題給我們提供了學習構造法的平臺，從代數的角度可以分別構造函數f(x)=ex-x-1(x≠0)，h(x)=lnx-x(x>0)，g(x)=x-ex(x>0)，再利用這些函數的單調性證明不等式.

也可以依托函數y=ex，y=1+x，y=x，y=lnx，在同一直角坐標系中，通過圖象直觀感知不等式的正確性.事實上，基于這兩個不等式結構和條件，我們可以構造大量的不等式，例如：

(3)ex≥1+x((1)式擴大定義域).

(4)ex-1>x(將(1)中x換成x-1).

(6)2lnn

5 常見構造模式

(1)已知f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，構造函數h(x)=f(x)g(x).

(7)已知f′(x)+f(x)>0，構造函數h(x)=exf(x).

(8)已知xf′(x)+f(x)>0，構造函數h(x)=xf(x).

(9)已知xf′(x)+nf(x)>0，構造函數h(x)=xnf(x).

顯然，以上條件不等式中不等號變為小于號，不影響函數構造.

6 高考鏈接

A.a

C.b

于是f(0)=0，g(0)=0，h(0)=0，f(0.01)=a，g(0.01)=b，h(0.01)=c.

分別求導，得

所以g′(x)

結合導數的幾何意義,得b

故選B.

例2 (2015年全國高考Ⅱ卷理科第12題)設函數f′(x)是奇函數f(x)(x∈R)的導函數，f(-1)=0，當x>0時，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( ).

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1，+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0，1)∪(1，+∞)

因為當x>0時，xf′(x)-f(x)<0,故當x>0時，g′(x)<0.

所以g(x)在(0,+∞)單調遞減.

又因為函數f(x)(x∈R)是奇函數，

故函數g(x)是偶函數.

所以g(x)在(-∞,0)上單調遞減.

又g(-1)=g(1)=0,

當00,則f(x)>0;

當x<-1時，g(x)<0,則f(x)>0.

綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1).

故選A．