求三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的幾種題型

田素偉

(上海市泥城中學 201300)

常考常新的三角函數(shù)問題，一直是高考的一個重點，近年來，數(shù)學高考中出現(xiàn)了一些重視基礎，考查能力的新型試題，特別是在三角函數(shù)中含參數(shù)的問題更是精彩紛呈，如何求這類三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍？下面就常見的幾種題型分別舉例說明.

1 構造函數(shù)解不等式

例1已知實數(shù)a滿足sina2+sina>a2+a，則a的取值范圍是____.

解析將sina2+sina>a2+a變形為

sina2-a2>-(sina-a).

構造函數(shù)f(x)=sinx-x，

所以sina2-a2>-(sina-a)可化為

f(a2)>-f(a).

又因為f(-x)=sin(-x)-(-x)=-(sinx-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù).

所以f(-a)=-f(a).

所以f(a2)>f(-a).

由f′(x)=cosx-1≤0知，f(x)在R上為減函數(shù).所以a2<-a.解得-1

所以a的取值范圍是-1

評析本題是通過觀察題中式子特征構造函數(shù)f(x)=sinx-x，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式.

解析把eα-eβ=cosα-2cosβ變形為

eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ，

所以eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ可化為

f(α)=f(β)-cosβ.

因為f(x)=ex-cosx,則f′(x)=ex+sinx>0.

所以f(β)-f(α)=cosβ>0.

所以f(β)>f(α).所以β>α.

2 雙變量問題先確定主變量

解析由f(x)=x2021+x，顯然f(x)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.

因為f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立，

即f(msinθ)>f(m-1)恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

設t=sinθ,則t∈[0,1].

所以msinθ>m-1可化為mt>m-1.

所以mt-m+1>0.

這里有兩個變量m和t，因為t的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關于t的函數(shù).

設f(t)=mt-m+1,

(1)當m=0時,此時f(t)=1>0符合題意;

(2)當m≠0時,函數(shù)f(t)=mt-m+1是關于t的一次函數(shù),

解得m<1且m≠0.

綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1).

評析本題利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為關于兩個變量m和t的不等式，因為t的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關于t的函數(shù),一般情況下含兩個變量m和t的不等式，如果其中一個變量的取值范圍能確定，那么就以這個變量為主變量，另外一個變量作為參數(shù).

3 利用函數(shù)單調(diào)性求解

評析本題是含參數(shù)的三角不等式的恒成立問題，不等式的恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.一般方法是不等式同解變形為a>f(x)或者af(x)恒成立(有解)?a>fmax(x)(a>fmin(x))；a

4 利用換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題

因為t=cosx+sinx，所以t2=(cosx+sinx)2.

所以sin2x=t2-1.

不等式2sin2x-a(sinx+cosx)≤0可化為

2(t2-1)-at≤0.

所以本題可轉(zhuǎn)化為

評析本題通過換元把三角問題轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的不等式恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

5 數(shù)形結合求解

圖1