多想少算視角下2020年高考數學試題分析

楊小兵

(四川省簡陽市實驗中學 641400)

1 利用特殊化

解決問題的一般策略是從簡單到復雜、從特殊到一般、從已知到未知，特殊化策略是處理選擇題和填空題最常用的簡便方法，也是解決問題的基本策略.波利亞認為：“特殊化是從對象的一個給定集合，轉而考慮包含在這集合內較小的集合”.在幾何中，特殊化就是讓直線、平面處于一些特殊的位置或臨界情況，例如：直線的平行、直線的垂直、直線和圓相切等；在代數中，特殊化就是讓變量取一些特殊的值，使問題變得簡單明了.

例1(2020年全國Ⅰ卷理第11題)若⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0

C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0

解析當|PM|·|AB|最小時，只需要各自最小即可，所以猜想：當PM⊥l時,|PM|·|AB|最小.

因為PM⊥l,則|PM|最小，設PM與AB的交點為C，則由三角形面積可知

則有|PM|最小時|AB|也最小.

又因為AB∥l,則kAB=-2，排除A，C.

易求直線AB方程為x-2y+1=0.

例2 (2020年浙江卷第9題)已知a,b∈R且ab≠0，對于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0，則( ).

A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0

解析當a=1,b=-1時，(x-1)(x+1)(x-1)≥0在x≥0時恒成立.

當a=-1,b=-1時有(x+1)2(x+3)≥0在x≥0時恒成立.

當a=-1,b=1時有(x+1)2(x-1)≥0在x≥0時不一定成立，故選C.

評注牛頓指出：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”，例1通過猜想對圖形位置進行了特殊化；例2對字母數據進行了特殊化，避免了直接對字母進行分類討論，都對解題過程進行了極大簡化.

2 利用“二級結論”

二級結論是指教材中現有結論之外的結論，它是通過教材中的一些定理、公理進行推導所得到的結論，一般是經驗性的利于考試解題的結論.例如：拋物線的焦點弦長公式、橢圓焦半徑公式、橢圓焦點三角形的面積、對數—平均值不等式、三角形面積的坐標表示、若奇函數存在最大值和最小值，則其之和為0等.這些二級結論不應該去死記硬背，而是應該在理解或者解題的基礎上去記憶.

A.1 B.2 C.4 D.8

代入數據解得b=2.

所以a=1，選擇A.

解得雙曲線離心率為2.

3 利用模型

數學模型是為了某種目的，用字母、數字及數學符號建立起來的函數、方程、等式或不等式以及圖表、圖象等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式.常見的數學模型包括：向量恒等式模型、三點共線模型、面積模型、點到直線的距離模型、指數模型、對數模型、均值不等式模型等.

由向量恒等式，有

例6 (2020年全國Ⅲ卷文第16題)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為____．

4 利用數形結合

數和形是數學研究的兩部分，它們既有區別又有聯系，不能將它們視作孤立存在，華羅庚指出：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微；數形結合千般好，隔離分家萬事休.”由此可見：“形”具有直觀性，而“數”具有抽象性，只有將兩者結合才能達到事半功倍的效果.

例7 (2020年全國Ⅰ卷理第10題)如圖1，已知A,B,C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為( ).

圖1

A.64π B.48π C.36π D.32π

解析設圓O1半徑為r，球的半徑為R，由題意得πr2=4π.解得r=2.

因為△ABC為等邊三角形，由正弦定理，得

根據球的截面性質,OO1⊥平面ABC.

所以球O的表面積S=4πR2=64π.故選A.

5 利用觀察

圖2

k=1時，g(x)=f(x)-|x2-2x|恰有4個零點，畫出函數圖象(如圖3)可知：此時并不滿足題意排除C，選擇D.

圖3

評注觀察是尋找解決數學問題思路的基本方法和策略.在審題的過程中要觀察題目所給條件、代數式的結構、選項的組成情況，如果能善于觀察并選擇合適方法，將會極大提高解題效率和正確率.本題正是通過觀察選項的組成情況，對參數進行賦值從而極大地優化了解題過程.

6 利用函數性質

克萊因曾說：“函數是數學的靈魂”，函數是高中學習的重點，高考的熱點.對于函數性質的考查更是順理成章，高考中常考查的函數性質包括：函數的圖象、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、有界性、凹凸性等.

例9 (2020年新高考山東卷第8題)若定義在R的奇函數f(x)在(-∞,0)單調遞減，且f(2)=0，則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是( ).

A．[-1,1]∪[3,+∞)

B．[-3,-1]∪[0,1]

C．[-1,0]∪[1,+∞)

D．[-1,0]∪[1,3]

解析由奇函數的性質可知：奇函數在關于原點對稱的區間上單調性相同，并且滿足f(-x)=-f(x).

根據題意可知f(x)在(0,+∞)上單調遞增并且f(-2)=0,f(0)=0，畫出示意圖如圖4所示，選擇D.

圖4

例10(2020年全國Ⅰ卷理第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

解析根據題意有2a+log2a=22b+log2b.

令f(x)=2x+log2x,

易證f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

則有2a+log2a=22b+log2b<22b+log22b.

則f(a)

所以a<2b.故選B.

評注例10作為理科壓軸選擇題，不偏不怪、題干簡練、設問巧妙、解法多樣，是一道好題，熟練掌握函數的基本性質并且學會選擇與應用非常重要.

7 利用換元

又因為e1·e2≤|e1|·|e2|=1

評注換元法是解題中常用的方法，其實質是轉化進行等量代換，使一個復雜、困難的問題變得簡單容易處理.換元的關鍵在于確定替換的部分和引入新參數的范圍，常見的換元包括：整體換元、局部換元、三角換元、均值換元等.

8 利用補體法

補體或者造形的本質是從宏觀的角度看待和處理立體幾何問題.補體法根據已知條件將一個幾何體補成一個比較熟悉的幾何體(例如：正方體、長方體、椎體、柱體、球體等)，使其原來不易發掘或不易表示的點、線、面之間的關系可以更加直觀地呈現.補體這一過程需要充分發揮考生的空間想象力和創造力，具有創造的成分.

圖5

解析將三棱錐P-ABC的平面展開圖還原為三棱錐P-ABC，然后補成一個斜四棱柱ABOC-DB1O1C1,其中D,E,F,P為同一個點，所以在△DCB中，由余弦定理有

CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos30°.

則CD=1.

9 構造函數

例13 (2020年全國Ⅱ卷文第12題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0

B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0

D.ln|x-y|<0

解析由題可得2x-3-x<2y-3-y.

易證該函數在R上為增函數.

所以f(x)

則有x

那么y-x>0,y-x+1>1.

所以ln(y-x+1)>ln1=0，故選A.

評注構造函數的關鍵是根據題目條件去尋找相同或相似的式子，然后利用函數的單調性、最值、極值進行解決.

10 利用設而不求

與拋物線方程聯立，得3x2-10x+3=0.

評注本題根據題意設出兩點坐標但是并沒有直接將其計算出來，而是利用根與系數的關系進行整體代換，避免了大量繁瑣的計算.在解決直線與拋物線相交的弦長問題時，如果該直線過焦點，那么可直接利用弦長公式：|AB|=x1+x2+p.

11 利用極限

例15(2020年浙江卷第22題(節選))已知1

解析由已知，得f′(x)=ex-1，故f′(x)在(0,+∞)上單調遞增，則f′(x)>f′(0)=0.

所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

x→+∞時，f(x)→+∞；

x→0+時，f(x)→1-a<0.

所以在(0,+∞)上存在x0使得f(x0)=0.

即f(x)在(0,+∞)上有唯一零點.

評注極限策略是利用極限思想來分析問題和解決問題.利用極限思想是對問題進行極端化，特別是在判斷函數圖象、證明函數極值點、判斷函數零點時可以起到化繁為簡的作用.

12 利用高等數學工具

高等數學工具是指利用高等數學中的定理、公式進行解題.常用的高等數學工具包括：洛必達法則、泰勒展開式、琴生不等式、條件極值、隱函數偏導數、拉格朗日乘數法等.

例16 (2020年新高考山東卷第22題(節選))已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1，求a的取值范圍.

所以ex-1≥x，lnx≤x-1.

則f(x)≥1恒成立可以轉化為(a-1)x+lna≥0恒成立.

評注泰勒公式的本質就是利用多項式函數去逼近一個給定的函數.不等式ex≥x+1,lnx≤x-1是壓軸題中常用的放縮結論，值得重點掌握.

多想少算策略作為基本的高考命題策略，在2020年高考(12套)試卷中得到了充分的體現，其種類遠不止這些，文中案例僅僅想起到拋磚引玉的作用.新時代要求教師應該是教育教學的研究者，對于這些能優化解題的策略，讓學生取得數學思維上的突破，值得深入研究.