巧用平面幾何性質 妙解圓錐曲線問題

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學 528315)

解析幾何是用代數方法研究幾何問題，解析法偏重于相關量的數量關系研究，由于代數運算復雜，對運算能力要求較高，往往使很多學生對解析幾何題望而生畏.事實上，解析幾何問題的本質仍是幾何問題，若能充分把握解析幾何中圖形的特征，挖掘圖形相應的幾何性質，恰當地運用平面幾何的相關知識進行求解，往往能簡化運算，優化解題過程，能起到四兩撥千斤的功效.

本文以幾道考題為例，展示一個平面幾何性質在圓錐曲線問題中的巧妙應用.

1 示例呈現與解析

題目已知拋物線C:y2=4x的焦點是F，準線是l.

(1)寫出點F的坐標和l的方程；

(2)如圖1，已知點P(9,6)，若過點F的直線交拋物線C于不同兩點A,B(均與點P不重合)，直線PA,PB分別交l于點M,N，求證：MF⊥NF.

圖1

解析(1)由題意得點F的坐標(1,0)，l的方程為x=-1.

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2)(y1≠±6,y2≠±6)，AB直線方程為x=ty+1，

y2-4ty-4=0.

于是y1+y2=4t,y1y2=-4.

將y1+y2=4t,y1y2=-4代入，得

kFM×kFN=-1.

故MF⊥NF.

2 一個優美平幾性質

從上述證明可以看出，示例的問題(2)用解析法證得結論，但運算量稍大，那么有沒有更為簡單的方法來解決呢？經探索，找到了一個極為簡潔的證法.

先給出一個優美的平面幾何性質作為引理：

引理若圓錐曲線C的離心率為e，焦點F所對應的準線為l，曲線C的弦AB所在的直線交準線l于點P.當點P在弦AB內時，FP平分∠AFB；當點P在弦AB外時，FP平分∠AFB的外角.

證明如圖2，設點A,B在準線l上的射影分別為點A′,B′，連接AA′，BB′，則

圖2

AA′⊥l，BB′⊥l.

于是可得AA′∥BB′.

由圓錐曲線的統一定義，有

由AA′∥BB′，易得△APA′∽△BPB′.

由三角形的內(外)角平分線定理的逆定理，可得FP平分∠AFB(或FP平分∠AFB的外角，取決于點P在弦AB內還是外).

故引理得證.

示例問題(2)的證法2 如圖3，連接PF，并延長交l于點G.

圖3

由引理，可得FM平分∠AFG，FN平分∠BFG，且有∠AFG+∠BFG=180°.

故可得2(∠MFG+∠NFG)=180°.

即得∠MFG+∠NFG=90°.

所以∠MFN=90°.

于是有MF⊥NF.

證法2從平面幾何的角度思考，借助引理，簡化了推理和運算過程，具有直觀、簡捷、明快的特點，方法新穎獨到.

證法2所用的引理在解析幾何中有著廣泛的應用，下面舉例說明.

3 性質在解析幾何中的應用

解析由題可知雙曲線C的方程為

則雙曲線C的右準線為

如圖4，設雙曲線C的右準線l與弦AB交于點P.

圖4

由引理，PF平分∠AFB，可得

∠BFA=2∠PFA.

即得∠PFA=∠BAF.

所以∠BFA=2∠BAF.

(1)求橢圓C的方程；

(2)因為FE⊥MT，由垂徑定理，易得FE是∠MFT的平分線.

設橢圓C的弦AM交橢圓C的右準線d:x=4于點P，右準線d:x=4與x軸交于點Q，如圖5.

圖5

由引理，可知FP平分∠MFA的外角，

即FP平分∠MFT.

所以點P在直線FE上.

由NB⊥x軸，PQ⊥x軸，可得

△EFB∽△PFQ.

可得△NAB～△PAQ.

故有NB=2EB.

例3如圖6，設拋物線E與橢圓Γ有共同的焦點F，且f為焦點F所對應的共同準線，過橢圓Γ上一點M作橢圓的切線，且切線交拋物線E于A,B兩點，則FM平分∠AFB.

圖6

證明如圖7,在拋物線E中，由引理，可知FK平分FA與FB夾角的外角.

圖7

即FK平分∠BFG.

所以有∠BFK=∠KFG.

在橢圓Γ中，由引理，可知FK平分FC與FD夾角的外角，即FK平分∠DFH.

所以有∠DFK=∠KFH.

而∠BFD=∠DFK-∠BFK，

∠GFH=∠KFH-∠KFG，

故有∠BFD=∠GFH.

又因為∠GFH=∠AFC，

所以∠AFC=∠BFD.

于是當點C,D重合變成切點M時(如圖6)，即有∠AFM=∠BFM.

所以FM平分∠AFB.

4 小結反思

從上面例子可以看出，解答解析幾何問題時善用平面幾何知識，常常可以避開繁難的代數運算，簡化解題過程，很好地揭示這些問題的幾何本質，別樣精彩.其中挖掘試題背后的有關幾何性質是關鍵，這需要熟練掌握一些常見平面幾何圖形的性質，并將其與解析幾何的特征量相結合，尋找問題解決的切入點與突破口.因此對于解析幾何問題，要緊扣其中關鍵的幾何要素，用平面幾何知識去化解解析幾何問題的難度，將解析法與平面幾何法相結合，做到相輔相成、相得益彰，從而得到解決問題的最優解法，這不僅是解決解析幾何問題的法寶，也是減少解析幾何運算量的有效途徑，還有助于打破學生學習過程中容易形成的思維定勢，培養學生的發散思維，更好地提高解題能力.

5 練習鞏固

最后提供一題作為練習，以加深體會該性質在圓錐曲線中的應用.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線AP交直線BQ于點M，直線BP交直線AQ于點N，則∠MFN是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.