一道直線過定點問題的探究

高繼浩

(四川省名山中學 625100)

1 試題呈現

(1)求曲線C的方程；

(2)過點F作兩條互相垂直的直線l1,l2,l1交曲線C于A,B兩點,l2交曲線C于S,T兩點,線段AB的中點為M,線段ST的中點為N.證明：直線MN過定點,并求出該定點坐標.

(2)直線MN過定點(3,0).

2 結論推廣

試題中點F為雙曲線的右焦點,對第(2)問進行一般化推廣得到：

將右焦點變為x軸上異于坐標原點的一點,則命題1進一步推廣為：

當直線l1,l2的斜率都存在時,將垂直關系變為斜率之積為定值λ,則命題2再推廣為：

當直線l1或l2的斜率不存在時,易知命題2成立,當直線l1,l2的斜率都存在時,命題3更具一般性,故只證命題3.

證明(1)若λ≠0,設直線l1的方程為

y=k(x-t),

聯立直線l1與雙曲線的方程,消去y得

(b2-a2k2)x2+2a2tk2x-a2(b2+t2k2)=0.

則b2-a2k2≠0,Δ>0,且

易知λ≠k2.

故直線MN的斜率為0.

①若λ≠-k2,則

故直線MN的方程為

②若λ=-k2,則

故直線MN的方程為

(2)若λ=0,則直線l1,l2中有一條斜率為0,另一條斜率不為0,即M,N兩點中其中一個坐標為(0,0),此時直線MN過定點(0,0),顯然命題成立.

綜上,命題得證.

3 類比引申

受文[1][2]啟發,筆者將命題2和命題3引申到了橢圓和拋物線中.

命題4、命題5的證明方法分別同命題2、命題3,略.

證明顯然λ≠0,設直線l1的方程為y=k(x-t),

聯立直線l1與拋物線的方程,消去y得

k2x2-2(tk2+p)x+t2k2=0.

則Δ>0,且

同理可得

易知λ≠k2.

若λ≠-k2,則

故直線MN的方程為

若λ=-k2,則

故直線MN的方程為

綜上,命題得證.