一道有關向量求最值問題的探究

王春陽

(江蘇省金湖中學 211600)

1 問題呈現、分析與解決

下面給出學生以及我的幾種做法.

注對于上面的“猜”法并不是所有情況都可以使用.

圖3

注1從代數角度看，這種方法巧妙地將含有兩個變量的式子變成只有一個變量，這要歸功于x+y中,x,y前面的系數相同，那如果它們前面的系數不同，其他所給條件不變，此法是否還適用？

注2從幾何角度看，只需要找到圓弧上到直線AB距離最遠的點即可，同樣的，對于x+y中x,y前面的系數不同，其他所給條件不變，是否還是尋找圓弧上距離直線最遠的點？

圖4

從而(x+y)2=1+3xy.

又1=x2+y2-xy≥xy(當且僅當x=y時取等號),從而(x+y)2=1+3xy≤4.

故x+y的最大值為2，此時x=y=1.

2 問題的延伸

我們對條件中的系數做變化，題目變為：

圖5

如果我們用猜的方式來看這道題，是不能很明顯地猜出來，那么這種方法就有很大的局限性.下面用剩下的幾種方法試一下.

由柯西不等式可得

由此例我們可以推廣：當改變條件和問題中同一變量前的系數時，問題可以化歸到只改變條件或問題的此變量前的系數.那么我們可以類比，如果同時改變條件和問題中兩個變量前的參數時，例如：

那么如果改變題目中其他我們沒有涉及的條件呢？

3 問題本質的探究(數學模型的簡化)

在研究了改變條件即前系數幾種方法的可行性之后，我們來研究題目本身，從建系的角度去分析題目，如圖6,我們將OA,OB隱藏，那么你會發現圖中只剩下一段120°的圓弧，以及動點C，定點O，那么我們可以進一步將題目模型簡化為：一段函數(兩個端點)，函數上一動點，以及函數圖象外一點(定點或是動點).我們先從最簡單的模型開始，假設認為函數圖象外一點為定點，此定點設為二維空間xOy中的原點，即點O，至于這一段函數，我們主要研究高中初等函數，函數的兩個端點記為A,B.

圖6

(1)如果函數f(t)是一次函數，且此函數不過原點，那么x+y為定值1.

(3)如果函數f(t)為指數函數，設f(t)=ex，

對于數學問題的解決，如同剝洋蔥一樣，一層層地接近蔥芯，慢慢地接近問題的本質，對于上面問題的探討過程，我們從題目本身引申出很多解決問題的方法，從方法中找到一些方法的局限性和復雜程度，由此引發了我們對問題的延伸，引發我們改變題目中的條件或是問題，會對之前的方法有著怎樣影響的思考，從中我們學習到了化歸的思想，不僅僅是化歸算式，而且還化歸了題目.在此基礎上，又引發了我們對題目本身的探討，簡化了題目的數學模型，拓廣到一般情況，找到了題目的本質，至此我們對整個題目的看法有了質的飛躍.