追溯“源頭” 撥開云霧見“真身”
——例析“與圓相關的最值問題”

陳 龍

(湖北省水果湖高級中學 430071)

源題1已知圓C:(x-4)2+(y-3)2=25，求過點M(2,1)的直線l被圓C截得的最短弦長和最長弦長.

解析因為(2-4)2+(1-3)2=8<25，

所以點M在圓C內.

圖1

變式已知C:(x-1)2+(y-2)2=25，直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，求直線l被圓C截得的弦長的最大值和最小值.

源題2已知點P(x,y)是圓C:(x-3)2+(y-3)2=4任一點，求點P到直線l:2x+y+6=0距離的最大值和最小值.

圖2

點評此題屬于考查直線與圓相離時圓上點到直線距離的最值問題.最大值為d+R，最小值為d-r.

變式1由直線l:y=x+1上的一動點P向圓C:(x-3)2+y2=1引切線切于點D，求切線PD長的最小值.

圖3 圖4

變式2 已知點P為直線y=x+1上的一動點，過點P作圓C:(x-3)2+y2=1的切線PA，PB，A,B為切點，求cos∠APB的最小值.

解析由圖4知cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC,

源題3已知實數x，y滿足x2+y2-4x+1=0.

(2)求n=y-x的最大值和最小值；

(3)求t=x2+y2的最大值和最小值.

解析(1)因為點P(x,y)滿足圓C:(x-2)2+y2=3方程，即點P在圓C上.

圖5 圖6

(注：利用點C到直線y=kx距離等于半徑求出相切時的k值)

圖7

點評此類題屬于考查直線與圓相切時相關的最值問題.處理時要考慮所求式子的幾何意義.

變式2若實數x,y滿足x2+y2+2x-4y=0，求x-2y的最大值．

解析(x+1)2+(y-2)2=5，

所以當cos(θ+φ)=1時，(x-2y)max=5-5=0.故x-2y的最大值為0．

點評本題是典型的用圓的參數方程解決的題型，利用圓的參數方程將所求式轉化為三角函數求最值，利用輔助角公式即得最大值，此法在后續圓錐曲線的學習中會有所推廣.

變式3平面上有兩點A(-1，0)，B(1，0)，P為圓x2+y2-6x-8y+21=0上的一點，試求S=|AP|2+|BP|2最小值．

解析把已知圓的一般方程化為標準方程,得

(x-3)2+(y-4)2=4.

設點P的坐標為(x0,y0),則

S=|AP|2+|BP|2

要使S=|AP|2+|BP|2最小,需|OP|最小,即使圓上的點到原點的距離最小.

容易知道|OP|min=|OC|-r=5-2=3.

所以Smin=2(32+1)=20．

點評設P(x,y)，使要求的式子轉化為求圓上的點到原點的距離問題，利用數形結合法求最值，實質上是利用初中學過的“連接兩點的線段中，直線段最短”這一性質．

變式4過直線y=1上一點P(x,y)作圓(x+1)2+(y+1)2=1的切線，求切線長的最小值．

以上列舉了幾道“源題”和若干變式題目，說明了一些看似復雜的題目的真身依然是我們熟悉的知識點.

圓的知識在初中與高中都要學習，是一典型的知識交匯點．現在的數學高考非常重視初高中知識的銜接問題，所以同學們在處理與圓有關的小題時，一定要數形結合，多聯想一下與之有關的平面幾何知識，以免“小題大作”．由于圓的對稱性，在與圓有關的最值問題中，應把握兩個“思想”：幾何思想和代數思想．所謂幾何思想，即利用圓心，將最值問題轉化為與圓心有關的問題．所謂代數思想，即利用圓的參數方程．同時，由于最值問題從代數意義上講和函數的最值聯系緊密，因此在解題過程中靈活地應用函數、不等式等代數思想使問題代數化、簡單化也是需要注意的．