求范圍中不可忽視的取等問題

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

數學中的取等問題是指根據已知條件求范圍時等號能否成立問題，求解此類問題需要我們做到嚴謹細致，思考問題要全面，否則就會出現“差之毫厘謬以千里”，下面我們舉例說明.

1 集合包含關系中的取等問題

例1已知p：x2-8x-20≤0，q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的必要而不充分條件，求實數m的取值范圍.

解析由題意知，命題：若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.

p：x2-8x-20≤0?-2≤x≤10，記A={x|-2≤x≤10}.

q:x2-2x+1-m2≤0(m>0)?1-m≤x≤1+m，B={x|1-m≤x≤1+m}.

因為p是q的充分不必要條件，

所以AB.

所以m≥9.

所以實數m的取值范圍是[9,+∞).

點評由于AB，很多同學誤以為m≠9.事實上，當m=9時，B={x|-8≤x≤10}，滿足AB，此時兩集合中x的范圍右邊取等，但是左邊不相等.下面的變式問題就看得更清楚.

變式設p:|x-1|≤a2，q:x2-2ax+a2-1≤0，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍為____.

解析由題意知，命題：若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.

p：|x-1|≤a2?-a2+1≤x≤a2+1，記A={x|-a2+1≤x≤a2+1}.

q:x2-2ax+a2-1≤0?a-1≤x≤a+1，B={x|a-1≤x≤a+1}.

因為p是q的充分不必要條件，

所以AB.

所以0≤a<1.

所以實數a的取值范圍是[0,1).

2 函數單調性取等問題

A．(0,1] B．[1,+∞)

C．(-3,3] D．[1,2e)

進一步f(x1)-2x1>f(x2)-2x2.

令函數g(x)=f(x)-2x，

可知g(x)為(0,+∞)上單調遞增.

故當x>0時，g′(x)=f′(x)-2≥0恒成立.

分離參數,得a≥-x2+2x.

故a≥(-x2+2x)max=1.

點評函數f(x)在(a,b)內單調遞增(減)，則當x∈(a,b)時，f′(x)≥0(≤0)恒成立(等號不恒成立).

3 最值不可取的取等問題

分離參數,得a>xlnx-x3.

令g(x)=xlnx-x3,x∈(1,+∞)，

則g′(x)=1+lnx-3x2.

令h(x)=1+lnx-3x2，則

故函數h(x)在(1,+∞)上單調遞減.

于是h(x)

即g′(x)<0.

所以函數g(x)在(1,+∞)上單調遞減.

于是g(x)

從而a≥-1.

即a的取值范圍為[-1,+∞).

點評題中由于g(x)在(1,+∞)上單調遞減，其在x=1的最大值g(1)=-1不可取，因此盡管a>xlnx-x3中沒有等號，但是最后a的取值范圍包含-1.

解得a≥-2.

4 函數零點取等問題

例4 若函數f(x)=log0.5(x2+2ax+5a)在區間(-∞,-2)上單調遞增，則實數a的取值范圍為( ).

A．(-∞,2] B．(-4,2]

C．[-4,2] D．(-4,2)

解析根據復合函數的單調性可知y=x2+2ax+5a在區間(-∞,-2)上單調遞減.

故-a≥-2，解得a≤2.

另一方面，當x∈(-∞,-2)時，

x2+2ax+5a>0恒成立.

由于y=x2+2ax+5a在區間(-∞,-2)上單調遞減，故(-2)2-4a+5a≥0，解得a≥-4.

故實數a的取值范圍為[-4,2].

例5 已知函數f(x)=2mx2-x-1在區間(-2,2)上恰有一個零點，求實數m的取值范圍.

解法1 (1)當m=0時，函數f(x)=-x-1在區間(-2,2)上恰有一個零點-1，符合題意；

(2)當m≠0時，要使函數f(x)=2mx2-x-1在區間(-2,2)上恰有一個零點，則

但是上述解法是錯誤的，原因在于所給區間為開區間(-2,2)，當m≠0時，還需要補充如下情況：

圖1

5 不等式中的取等問題

例6 已知函數f(x)=|lgx|，若0

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解析易知f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，故0

由f(a)=f(b)，得|lga|=|lgb|.

即-lga=lgb，即ab=1.

故選A.

上述做法是錯誤的，原因在于雖然注意到了利用基本不等式求最值時需要做到“一正二定三相等”，其中等號不成立的情況被簡單地理解為將等號去掉就是最終的范圍.

正確解法如下：

一般來說，利用基本不等式求范圍時，如果等號不成立，則得到的范圍是不精確的！

例7 已知a,b滿足-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3，求3a-b的取值范圍．

解析因為-1≤a+b≤1,1≤a-b≤3,

所以0≤2a≤4.即0≤a≤2.

因為-1≤a+b≤1,-3≤b-a≤-1,

所以-4≤2b≤0.

即-2≤b≤0.

所以0≤3a≤6,0≤-b≤2.

所以0≤3a-b≤8.

此解法的錯誤原因是因為a與b是兩個相互聯系，相互制約的量，而不是各自獨立的，當a+b取到最大值或最小值時，a-b不一定能取到最值，所以用以上方法可能擴大變量的范圍．

避免出錯的方法是通過待定系數法“整體代入”，正解如下:

設3a-b=x(a+b)+y(a-b)

=(x+y)a+(x-y)b,

由-1≤a+b≤1，1≤a-b≤3,得

-1+2≤(a+b)+2(a-b)≤1+3×2.

即1≤3a-b≤7．

從以上問題可以看出，在數學問題的求解過程中，我們務必要做到嚴謹細致，這樣方能做到“運籌帷幄之中，決勝于千里之外”！