基于達布變換的帶三角勢的Gross Pitaevskii方程的孤子解

劉淑麗，張金玉，李春暉，王曉麗

(齊魯工業大學(山東省科學院) 數學與統計學院，山東 濟南 250353)

非線性薛定諤方程形式為

iφt+φxx+2|φ|2φ=0,

(1)

這是一個重要的可積方程[1]，與光纖通信等物理中的非線性問題有密切的聯系[2]。Gross Pitaevskii(GP)方程是一類帶勢函數項的非線性薛定諤方程，經常被用來模擬玻色-愛因斯坦凝聚中波函數的演化[3], GP方程的孤子解對玻色-愛因斯坦凝聚特性及其他物理問題的研究有十分重要的意義[4-6]。求孤子解有各種各樣的有效方法，如逆散射法[7]、貝克隆變換[8]、Hirota雙線性法[9]、達布變換[10]等。其中達布變換是通過給定非線性演化方程的一個“種子”解，進而尋找該方程另外一個顯示解的有效方法，被廣泛地應用于AKNS系統(1+1)維孤子方程[11]、2n維Lax可積系統[12]等。達布變換是法國數學家達布在1882年研究一維薛定諤方程的特征值問題時發現的，其基本思想是通過與可積方程的Lax對相聯系的線性偏微分方程的解來構造可積方程的解。本文基于達布變換，考慮了一個帶三角勢的屬于AKNS系統(1+1)維的孤子方程，即玻色-愛因斯坦凝聚態中一類帶三角勢的GP方程

iφt+φxx+2|φ|2φ+2[sin(ωt)+cos(αt)]φ=0,

(2)

其中φ(x,t)是關于空間變量x和時間變量t的復包絡波函數，下標表示偏導數，參數ω、α是任意非零實常數。第二項和第三項分別表示色散和非線性效應，第四項描述了玻色-愛因斯坦凝聚中的外諧波阱勢。

1 達布變換

容易求得方程(2)的Lax對為

Φx=UΦ,Φt=VΦ，

(3)

其中

(4)

(5)

定理1設方程(2)的n次達布變換為

Φ(n)=Dn(λ)Φ,

(6)

其中達布矩陣Dn(λ)=λnE+λn-1Sn-1+…+λS1+S0，E為二階單位矩陣，Si=Si(x,t)(i=1,2,…,n-1)為一個關于x,t的二階方陣。這里Φ為Lax對(3)的特征函數，Φ(n)為Lax對

(7)

的特征函數。其中，U(n)、V(n)與U、V具有相同的形式，并用一個新的勢能函數φ(n)代替φ，即

(8)

(9)

則方程(2)的n孤子解表達式為

φ(n)=φ+2i(Sn-1)12,

(10)

其中(Sn-1)12表示矩陣Sn-1的第一行第二列元素，φ為方程(2)的一個“種子”解。

證明：將式(8)中U(n)及達布變換(6)代入新Lax對(7),比較λn的系數可以得到

P(n)=P+i[J,Sn-1],

(11)

由式(8)中P(n)和式(4)中P的表達式，我們可以推導出方程(2)的n孤子解表達式

φ(n)=φ+2i(Sn-1)12。

(12)

定理2設特征函數Φ(j)=(fj,gj)T滿足代數方程

Dn(λ)|λ=λjΦ(j)=Dn(λ;λ1,λ2,…,λ2n)|λ=λj(fj,gj)T=0,(j=1,2,…,2n)，

(13)

則定理1中的函數矩陣Sn-1可以表示為[13]，

(14)

其中

2 孤子解

D1(λ;λ1,λ2)|λ=λjΦ(j)=D1(λ;λ1,λ2)|λ=λj(fj,gj)T=0,(j=1,2)。

(15)

這里一次達布變換

(16)

由定理2知，

由定理1知，方程(2)的單孤子解為

(17)

D2(λ;λ1,λ2,λ3,λ4)|λ=λjΦ(j)=D2(λ;λ1,λ2,λ3,λ4)|λ=λj(fj,gj)T=0,(j=1,2,3,4)。

(18)

這里二次達布變換

(19)

由定理2知，

同樣，由定理1，我們可以得到方程(2)的雙孤子解為

(20)

其中

3 解的性質

取“種子”解φ=0，則Lax對(3)為

(21)

通過線性譜問題(21)的解，易得關于譜參數λj(j=1,2,…,2n)的特征函數

Φ(j)=(fj,gj)T,fj=e-iρj,gj=eiρj,

(22)

其中

3.1 單孤子解的性質

φ(1)=2b1eiγ1sech(2b1x+8a1b1t),

(23)

(24)

且有

|φ(1)|2=4b12sech2(2b1x+8a1b1t),

(25)

取參數a1=b1=1，畫出方程(2)的單孤子解圖像，如圖1所示。我們可以看到，圖1模擬了一個亮的單孤立波，且孤立波的振幅沒有變化。

圖1 單孤子解x-t-|φ|2圖像Fig.1 Images of a single soliton solution x-t-|φ|2

3.2 雙孤子解的性質

(26)

其中

且有

(27)

取值后畫出方程(2)的雙孤子解圖像。如圖2所示，兩個孤波碰撞時產生能量，在碰撞后，波的形狀和振幅保持不變。

為了進一步探討特征函數中光譜參數和自由參數對孤波的影響，另取兩組值，可以得到下列雙孤子解圖像，如圖3、圖4所示。對比圖2～4可得，兩波的傳播方向與參數a1、a2的取值相關，二者的差值越大，兩波的夾角越大；波的高度與b1、b2的取值相關，b1、b2值越大，波越高。

注：a1=-1,a2=2,b1=b2=α=ω=1。圖2 雙孤子解x-t-|φ|2及密度圖Fig.2 Images of double soliton solutions x-t-|φ|2 and a density map

注：a1=-1,a2=2,b1=0.5,b2=0.6,α=ω=1。圖3 雙孤子解x-t-|φ|2及密度圖Fig.3 Images of double soliton solutions x-t-|φ|2 and a density map

注：a1=1.2,a2=1.5,b1=b2=α=ω=1。圖4 雙孤子解x-t-|φ|2及密度圖Fig.4 Images of double soliton solutions x-t-|φ|2 and a density map

4 結論

本文研究了一類帶三角勢的GP方程，基于達布變換給出了該方程n孤子解的表達式，并著重對單孤子解和雙孤子解進行了數值模擬。通過圖像可以明顯看出，單孤子解為亮孤子解，在傳播過程中保持形狀不變；雙孤子解中兩個波碰撞時產生能量，兩波碰撞后保持原來的幅度、形狀和速度不變，且兩波的傳播方向與參數a1、a2的取值相關，二者的差值越大，兩波的夾角越大；波的高度與b1、b2的取值相關，b1、b2值越大，波越高。本文中研究的GP方程可被廣泛應用于等離子體物理、非線性光學等領域，尤其是可以用來模擬玻色-愛因斯坦凝聚波函數的演化。本文通過選取不同的參數探討了對孤子傳播的影響，有助于我們更好地理解非線性波的行為，對玻色-愛因斯坦凝聚特性及其他物理問題的研究具有十分重要的意義。