基于問題和需求的高三數學二輪微專題復習簡單幾何體外接球問題（第一課時）教學設計

李婭敏

一、基于問題，確定主題

高三多次月考中，對于球體（五校聯考5（15題）、五校聯考4（12題）、五校聯考3（11題）、五校聯考2（15題））的考察，學生得分不理想.通過對學生作了回訪，學生丟分的主要原因是：空間想象不夠，無法畫出幾何體與其外接球的直觀圖;無法確定球心的位置;找不到等量關系進而不能求出半徑.本節課將針這一問題作《簡單幾何體外接球問題》的小專題復習.

二、基于考綱，明確目標

1.高考考試大綱對《球》的要求：

① 認識球的結構特征.

② 能畫出球的三視圖，能識別三視圖所表示的立體模型，

③ 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

2. 近5年高考中關于球的考查情況：

3.課時教學目標

根據學生情況，結合考試大綱及高考真題，特制定本節課的教學目標是：

① 能說出“補形法”對應的多面體的大致結構特征，能用“補形法”解決一些特殊簡單幾何體的外接球問題，了解“補形法”的缺陷和易錯和遺漏;

② 能提煉出“截面法”解決外接球問題的基本思路，能構造平面圖形建立與半徑有關的等量關系;

③ 能提煉出“坐標法”解決外接球的問題的解題思路.

三、基于教材，理解考綱

引入? 【2017年全國Ⅱ卷文15】長方體的長、寬、高分別為，，，其頂點都在球的表面上，則球的表面積為 ? ? .

設計意圖：追根溯源【必修2第28頁的練習】一個正方體的頂點都在同一球面上，它的棱長是，求球的體積.基于教材與真題引入問題.

問題1、長方體外接球球心為什么是體對角線的交點？

設計意圖：回歸球心概念，明確球心到多面體的各個頂點的距離相等，均為半徑.

問題2、解決多面體外接球問題的關鍵是什么？

設計意圖：為了讓學生明確解決這類問題的關鍵是“心徑”——即球心在哪里？半徑是多少？

問題3、若將長方體轉化為其它多面體，你如何確定其外接球的球心和半徑呢？

例題? 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD且PA=AD=，AB=2，求該四棱錐的外接球的體積.

問題4：如何確定該四棱錐的外接球球心的位置？

設計意圖：引出補形法、總結采用補形法求多面體外接球的多面體的幾何特征。

四、基于變式，解法探討

變式1. 在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是邊長為的等邊三角形，AB=2，求該四棱錐的外接球的表面積.

設計意圖：突出補形法的局限性和截面法，坐標法的普遍性，總結提煉截面法和坐標法的解題要點.

五、基于提煉、反思提升

在解決簡單幾何體的外接球問題時應從以下三個方面入手

① 對于特殊的簡單幾何體利用補形法直接解決;

② 對于不能補形的一般簡單幾何體采用截面法，通過4個步驟確定球心，進而計算半徑;

③ 對于空間想象不是很強的同學可以選擇用坐標法完成.

六、基于強化，反饋鞏固

當堂練習：在四棱錐P-ABCD中，二面角P-AD-B大小為120°，且△APD是邊長為的等邊三角形，底面ABCD是矩形，AB=2，請利用至少兩種方法球該四棱錐的外接球的體積.

設計意圖：鞏固截面法及坐標法的應用.

課后強化：

已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，求此棱錐外接球的體積.（請用至少兩種解法完成此題，并給出兩個變式）

設計意圖：鞏固補形法、截面法及坐標法的應用，讓學生改變條件自己變式，將本節課的方法融進去，實現一題多變多解.

請在長方體中畫出常見的簡單的幾何體（用彩色筆標識），歸納可以用補形的方法把多面體外接球轉化為長方體外接球的多面體有什么幾何特征.

設計意圖：鞏固補形法，讓學生操作實踐，總結補形法求多面體外接球的解題要點.