注重過程 突出實質 發展素養
——“重復的奧妙”的教學實踐與思考

浙江東陽市吳寧第五小學（322100） 葛敏輝

浙江東陽市外國語小學（322100） 馬金亞

一、課前思考

“重復的奧妙”是北師大版教材二年級下冊的綜合實踐活動課，主要是引導學生通過觀察、表征、思考和交流，體會“重復”的規律（情境圖如圖1）。那么，這節綜合實踐活動課究竟要帶給學生什么？教師又該怎么教呢？

圖1

（一）學習主題——體會重復

主題情境圖中蘊含了多個簡單重復的現象，如小朋友們是一個女生一個男生交替重復排列的，燈籠是一個大一個小交替重復排列的，彩旗是兩面紅色一面藍色交替重復排列的……豐富的規律有助于學生體會數學與現實生活的聯系，感受規律存在的廣泛性，為培養學生學會“用數學的眼光觀察世界”提供了一份好素材。

（二）核心任務——表示規律

這是一堂綜合實踐活動課，重點是引導學生發現生活中的數學規律，從而鍛煉他們的數學能力。因此，教學時應該放大“發現”和“表達”的過程，留足時間給學生對某一條規律進行思考和分析，并能在找出規律的基礎上想辦法表示規律，培養學生的抽象能力和符號意識。教材的編排也很明晰地呈現了這一要求（如圖2）。

圖2

（三）教學價值——發展素養

教材為什么要把課題取名為“重復的奧秘”，而不叫“找規律”呢？這兩者有什么區別？對于學生來說，這一內容的教學價值究竟是什么？事實上，“規律”并不是數學獨有的，生活中無處不有，因此“規律”對于學生來說并不陌生。“找規律”僅僅強調對一個“客觀存在的不變”的發現，這對于二年級的學生來說并沒有很大的意義，因為這并不能很好地促進他們數學素養的提升，也不能幫助他們感悟規律的價值和數學之美。而強調“重復的奧秘”更多的是關注“規律”的本質是一種數學模式的存在，同時這一模式里藏著“有序、有用、有美”的特征。“有序”體現在模式的不斷重復上，“有用”體現在利用有限的序列可以推測未知的事物，“有美”體現在這樣的模式重復能給人以美觀、可測、安心的感受。由此可見，這一內容的教學價值在于發展學生的數學思維，培養學生的數學情感。要落實這一目標，應注重學生對規律的抽象和數學化表達，以及對規律本質的提煉和應用。

二、教學過程

（一）情境引入，認識重復

師（出示主題情境圖，如圖1）：六一兒童節快到了，大家都在積極準備節目，老師先帶你們去聯歡會上瞧一瞧！你看到了什么？

生1：我看到了有很多花，有很多小朋友，有燈籠……

生2：燈籠是一個大一個小、一個大一個小這樣掛著的。小朋友是一位女同學一位男同學，又一位女同學一位男同學這樣排起來的……（引導學生表述“有規律的排列”）

師：大家還發現了什么？

生3：有規律，都是會重復的。

師：像這樣的重復規律還能找出來嗎？

【思考：本環節是利用學生熟悉的生活情境，充分調動他們的學習積極性，并通過“你看到了什么”“還發現了什么”“還能找出來嗎”三個關鍵問題為下一階段的抽象和拓展奠定了基礎。從情境到語言的轉化，學生經歷了發現和表達，捕捉初步的重復表象。】

（二）多元表征，體悟本質

1.表示規律，對比關聯

師（出示燈籠圖，如圖3）：剛才大家說燈籠也有重復的規律。請用喜歡的方式把它表示出來。

圖3

生1：我是畫圖表示的。這個表示大燈籠，這個表示小燈籠，一大一小為一組重復排列。

生2：我是用文字表示的。“大”表示大燈籠，“小”表示小燈籠，兩個一組重復排列。

生3：我是用圖形表示的。五角星表示大燈籠，圓圈表示小燈籠，兩個一組重復排列。

生4：我是用字母表示的。A 表示大燈籠，B 表示小燈籠。

生5：我是用數字表示的。1 表示大燈籠，2 表示小燈籠。

呈現學生的作品：

圖4

師：誰來評論一下這些表示方法？

生6：我覺得畫圖太麻煩了。

師：生1，你后來為什么不繼續畫燈籠，而是換成了圓圈？

生1：畫燈籠有些麻煩，所以我就用圓圈來表示燈籠。大圓表示大燈籠，小圓表示小燈籠。

生2：我也覺得畫燈籠太麻煩，所以我用文字來表示，這樣方便一些。

生7：用字母和數字來表示也是比較簡便的。

師：這些方法形式上都不一樣，有沒有相同的地方呢？

生8：它們的相同點就是都能表示大燈籠和小燈籠的規律。

生9：它們都是兩個一組，不斷重復。

師：學數學是要學會用簡潔的方法來表示規律。大家很厲害，想到了用文字、圖形、字母、數字這些好方法，為你們點贊。

【思考：讓學生用自己的方式來表示看到的數學現象，重在促進學生找出規律。通過比較多種表征方式，學生發現規律的本質是兩個不同特征事物的重復，并體驗到數學化表征的優越性。從學生的作品中可以發現，其實學生的抽象水平是有差異的，如用字母和數字兩種形式表征的學生，他們把表示小燈籠的符號寫小一點，說明他們還沒有擺脫形狀屬性的干擾。大小不是規律的本質屬性，“AB”式才是本質。而用文字和圖形表示的學生，顯然已經脫離了形狀因素，突顯規律的模式及其不斷重復的屬性。】

2.嘗試應用，體現模式

師（出示圖5）：這里還有很多重復的現象，說說它們分別表示什么？

圖5

生1：第一組表示的是花盆，因為花盆的擺放是2個2個變化的。

生2：第二組表示的是彩旗的規律，因為彩旗是兩紅一藍為一組不斷重復排列的。

生3：第二組也可以表示氣球的規律。氣球也是按這樣的規律重復排列的。

師：怎么會有不同的看法？

生4：如果表示彩旗，正方形表示紅色的彩旗，三角形表示藍色的彩旗。如果表示氣球，正方形表示黃色的氣球，三角形表示紅色的氣球。它們的規律是一樣的。

師：只要規律一樣，就可以用同樣的方法來記錄。

生5：第三組表示的可能是燈籠，也可能是小朋友，因為它們都是兩個一組，且不斷重復。

師：這些重復的規律有什么共同點嗎？

生6：它們的共同點是把一個規律不斷重復下去。

【思考：這一環節意在幫助更多的學生鞏固符號化的能力。學生在這過程中，重點是經歷從抽象表達出的模式中找到現實的模型，由此提高模式的解讀能力，提高關聯“符號”與“情境”的能力，也進一步體驗到同一個圖示可以表示不同的現實模型。最后學生抽象出不同規律的表征背后有著一個共同的特點，那就是模式的重復。雖然學生說規律不斷重復，其實他們說的規律是指模式，學生已經在這個過程中建立了模式的意識。】

3.拓展應用，感受價值

師：聯歡會中有這么多重復的現象，生活中有沒有呢？為什么生活中有這么多重復？重復有什么好處呢？

生1：重復可以讓我們的生活更美。

師：你是指重復排列會給人一種美感，對嗎？

生1：是的。

師：生1說重復很美。其他人覺得重復有什么好處？

生2：重復可以幫助我們推測下一個是什么。比如春季過后是夏季，周五過后是周六。

師：重復可以推測，所以生活中有很多重復。看來重復很有用，那么你能自己創造一個重復嗎？

【思考：這個環節重在拓展和創造，使學生帶著在情境中找重復規律的經驗，進一步將重復的奧秘對應到日常生活中，這既能加強數學與生活的聯系，又能拓寬學生的視野。重復的模式從發現到表達，再到關聯、創造，在這個過程中，學生不僅得到了數學思維能力的提升，還經歷了數學有用、數學很美的深度體驗。這樣的過程有助于學生豐富數學活動經驗，提升數學核心素養。】

三、課后啟示

第一，數學綜合實踐活動課要有“數學味”。類似“重復的奧妙”這樣的綜合實踐活動課在每一冊數學書里都有編排，由于它沒有顯性的知識點，因此教師教學時往往會“重形式輕實質”，以致課堂有了“活動味”卻少了“數學味”。那么如何體現“數學味”呢？關鍵是要挖掘體驗點、思考點，將其轉化為具有挑戰性的數學任務，從而驅動學生進行觀察、操作、比較、抽象、歸納、推理等活動，在體驗中感悟，在思考中提升。如“重復的奧妙”教學不應停留在“規律”的討論，而應在“重復”的發現、表達、關聯和創造的過程中促進學生思考，使學生在思考中感受到生活現象可以用數學眼光來觀察、可以用數學方式來表達，體驗到“規律現象”的本質是“模式的不斷重復”，進而體驗到數學與生活的聯系、數學化的重要性以及數學的價值。

第二，多元表征要加強關聯，更要突出本質。在“重復的奧妙”的教學中，學生自主表征重復的現象是必不可少的環節，這對于學生數學能力的培養很有意義，但這并不代表學生已經深度理解了數學本質。抽象化的經歷雖然可以很好地促進學生數學觀察和數學表達，但很多學生只是停留在“照樣子表示”的層面，即只是在形式上表示現實的規律現象。這些形式雖然有了抽象化的體現，但會帶上大小、數量、顏色等非本質屬性。因此，要剝離這些非本質屬性、突出本質才是這類課的重要目標。要深入地理解現象背后的本質屬性，還需要加強關聯，使學生在關聯中認知“重復”的模型，在比較中揭示“重復”的本質屬性。比如在表征燈籠時，有的在表示方法中沒有體現燈籠的大小這個特點，這時可以引導學生對比和思辨，進一步體驗到不體現大小的形象特點也能表示重復的規律。又如，燈籠圖片里呈現了4 組一大一小，但有些學生表示的是3組、5 組，教師可追問：“數量不一致可以嗎？”這樣的討論會加深學生對“重復”本質的理解，即“AB”式的存在及不斷重復。無論形式如何，其本質始終如一。由此可見，在組織多元表征時，一定要加強對比和關聯，以便幫助學生透過直觀表象形成抽象理解，深度把握概念的本質。