促進算理理解的教學策略初探

浙江臺州市仙居縣皤灘鄉中心小學（317319） 方中真

數的運算是小學數學課程的重頭戲。縱觀小學數學課程，整數、小數、分數的計算貫穿始終，是主軸，其他數學知識多是依托并圍繞這根主軸鋪展開。理解算理無疑是數的運算教學中最重要的一環。學生只有對算理洞若觀火，才能掌握運算的精要，運算時才能得心應手、揮灑自如。下面筆者結合教學實踐來談談促成算理理解的幾點策略。

一、立足起點，追根溯源，在運算中回顧算理

1.理一理，摸底算理根基

學習永遠是在舊知上添磚加瓦，換言之，吸納新知必須站在舊知的平臺上，如此才能增長新的知識和經驗，學習算理概莫能外。例如，四年級“小數加法和減法”一課，貌似簡單，似乎只要謹記“小數點對齊”這一鐵律，重復操練即可。但實際教學效果往往令人大失所望，即使經過反復訓練，也不能杜絕學生對錯小數點。事實表明，即便是簡單的計算，無視已有經驗的承接，學生也會理解不透。于是，筆者在教學前先對舊知進行了梳理回顧。

【案例1】小數加減法教學片段

教師先出示計算式“475+2”，提問：“2 和哪個數字相加？為什么必須加到5 上？”讓學生回想“數位相同的數字才能相加減”的規則；再改編題目為“4.75+0.2”，讓學生繼續計算；然后針對學生得出的結果“477”和“4.95”，引導學生辨析：“如何設法求證結果是4.95呢？”學生有的通過賦予現實意義法，添加單位“元”或者“米”來思考，有的則根據小數的特性，在0.2 末尾補加一個0，改變其計數單位以便在形式上對齊數位，還有的直接遵照規則“數位相同才能相加”，因為都是十分位，所以“2”直接加到“7”上。教師對小數加法的算理進行多維度的解釋后，再對照“475+2”和“4.75+0.2”的豎式提問：“‘475+2’豎式中的‘2’和‘5’對齊，實際上就是末尾數字對齊，而到了‘4.75+0.2’中，則變成小數點對齊，計算規則發生了轉變，是否有什么不變的主線貫穿始終？”在學習小數加減法之前，學生對整數加減法運用了好長時間，對“末位對齊”這一定律深信不疑，甚至奉為金科玉律，對整數中“數位相同才能直接運算”也有所領悟，但“末位對齊”也讓學生產生了思維定式。因此，教師在教學中要舉出反例，讓學生重新樹立“數位相同才能保證對齊”的正確觀點。上例中，立足于學生對整數加法的起點，將整數運算中的“末位對齊才能保證數位對齊”轉化為小數加減法中的“小數點對齊才能保證數位對齊”的新規，對比提煉出維系兩者的同一主線——數位對齊。

2.退一步，回歸算理起源

數的概念和運算，都是算理的起源，算理是從計數和運算需要中生成和歸納出的理論。如整數加減法的算理就是起源于數目增減的意義；小數的乘除法也是起源于小數擴大和縮小的意義；分數加減法的起源則是分數單位個數的增減；四則混合運算則需要各種運算定律和法則作為支撐。在計算教學中回歸算理起源，往往能收到出奇制勝的效果。

【案例2】同分母分數的加減法教學片段

教師出示問題情境一：1厘米、2厘米、3厘米、4厘米……1 分米、2 分米、3 分米、4 分米……在這些數據中任選兩個，編寫一道加法計算題，并算出結果。

問題情境二：

在上面的兩行數中任選兩個，編寫一道計算題，并算出結果。

對五年級的學生而言，計算類似3 厘米加2 厘米的問題，太過簡單，但是正是有了這樣淺顯的積累，才能為后面的計算打下基礎。其間教師放手讓學生自行摸索，并引導學生領悟計數單位相同才能直接加減，如計數單位不相同則要化為相同后才能計算。

凡事在當下找不到出路，就回歸本源。如在小數加減法計算中，若學生對小數點對齊這一法則不能完全接受，那就回歸本質——看看整數加減法的運算法則是怎么回事。整數加減法可以看作是小數加減法的前身，從數型上看，小數只是比整數多了一個小數點。在整數加減法中要求數位對齊，只要將末位（個位）數字對齊，然后從右至左依次對齊。但是，在小數加減法中，兩個小數的末位數字不一定處于同一個數位，所以無法繼續運用末位數字對齊這一規則。但是其根本要旨是不變的，即數位對齊，只不過換了一個標準，小數加減法里，個位和十分位是相對固定的，分居小數點兩側，只要將小數點對齊，個位和十分位自然對齊，而這兩個數位分別是整數部分和小數部分的起點。說到底，小數加減法中的小數點對齊和整數加減法中的末位數字對齊，都是先讓個位對齊，然后讓數位依次對齊。

分數加減法中，率先學習的是同分母分數的加減法，為何只有分母相同才能直接相加減？這就要回溯到分數加減法的本源，但這個本源“分數單位的累加”本身也不好理解，不得已再向上溯源，回歸到計量單位（如厘米和分米）的疊加，只有長度單位相同才能直接將數據相加（如3 厘米+4 厘米=7 厘米），類比遷移到分數，也就是只有分數單位相同，才能將分子直接相加減（如）。

二、借助表象支撐，多維度理解算理

運算的算理是抽象的，也是理性的。根據小學生的心理特征，教學時先借助表象，建立直觀算理模型，再引入公式也是可行的。

1.借助直觀教具演示算理

【案例3】除數是整十數的除法筆算教學片段

除數是整十數的除法，受到除數是一位數除法的影響，學生常常出現以下錯誤：

如何讓學生明白商4 的位置所反映的算理？教師不妨采用小棒來全面揭露整個算理的運作過程（如圖1和圖2）。

例1：92÷30=

圖1

例2：140÷30=

圖2

除數是整十數的除法，商的位置的確定是一個難點，可讓學生試著列豎式，并通過圈畫的方法確定商的大小以及商寫在哪一位上。學生有了直觀圖的支持，就會對照理解豎式中每個數的含義，以及每一步運算的來歷與始末。一位數除法與小數加減法相似，起始課看似簡單，后期課程的難度卻超乎想象，因此只有在起始課中對算理進行直觀演示并深刻揭示，才能幫助學生搭建完整穩固的算理表象，降低后續學習的難度。

2.借助情境支撐理解算理

算法的建構如果賦予具體情境，往往可以變得直觀形象。

【案例4】除數是兩位數的除法（試商、調商）教學片段

（1）創設問題情境

圖3

花費153 元買同一款足球，分別可以買幾個？怎樣列式？

（2）計算“153÷21”并交流。

教師提問：

①如何試商？有什么發現？

②根據生活經驗解釋出現這種情況的原因。

（3）計算“153÷32，153÷38”并交流。

教師提問：

①如何試商？有什么發現？

②根據生活經驗解釋出現這種情況的原因。

③對比“153÷21”和“153÷32”，它們有什么共同點？為何初次試商會偏大？

④對比“153÷32”和“153÷38”，它們有什么差別？為什么除數都是三十幾？為什么“153÷32”初次試商會偏大，“153÷38”初次試商會偏小？

將除數四舍五入成整十數是口算試商的基本步驟，但“四舍”往往會導致試商偏大，“五入”則會導致試商偏小。借助購物這一生活情境可以直觀地反映試商的過程和意義。“153÷32”中因為將單價縮小至30，因此買5 個足球的實際費用低于實價，實付160 元變成了估價150 元，資金153 元小于實價160 元而大于估價150 元，所以買5 個超支，只能買4 個，商要下調成4。通過兩組算式“153÷21、153÷32”“153÷32、153÷38”的對比，更能揭示調商的原因。

試商一直是多位數除法的教學難點，受到一位數除法的影響，遇到除數是整十數的除法，學生不知道如何對待除數末尾（個位）的0，只針對非零數字進行除法運算，尤其是當遇到前面的非零數字相除剛好符合某句乘法口訣時，也就是剛好整除時，就會得意忘形，胡亂寫商，將商寫到十位上，并在后面加一個零，無緣無故地將商擴大10 倍，這是受乘法“直接將因數末尾的0 轉移到積的后面”的負遷移作用的影響，而誤將除數末尾的0 也轉移到商的末尾。這種錯誤是不理解除法算理引起的，只有直觀地操作演示才能讓學生看清商的本質。除法計算與其他運算的根本區別在于，加、減、乘的得數都可以一錘定音，但是除法計算由于存在余數問題，不可能每一步都符合乘法口訣，因此有一個試商的過程。雖然任何一個數位上的商都不可能逃離0~9 這10 個數字，但是未必就要逐一嘗試，而應最大限度地縮小試商范圍，爭取試兩三次就敲定。為此，借助直觀、情境化的合理推測是可行之法，如先將除數估計為整十數，再按乘法口訣來暫定“臨時商”，然后一步步調整，最后確定“準確商”。

三、打通知識間的壁壘，突出主線，促成理解

通過創設情境，借助直觀教具建立表象，可清除學生已有經驗中的無關因素。在這一基礎上，教師還應該通過類比其他知識，找到異同點和邏輯關聯，細化算理，實現學生對算理的理解從形式化走向智能化。

1.展示思路

【案例5】十幾減9的退位減法教學片段

根據“有15串糖葫蘆，賣了9串，還剩幾串？”可列式“15-9”。教師提問：“可采用什么方法解決問題？先獨立思考，再交流。”學生擺小棒推演，展示不同算法。

方法一：從15根小棒中扣減9根，剩下6根。

方法二：想加算減，聯想9+6=15，于是反推15-9=6。

方法三：破十法，15-9=10-9+5=6。

方法四：分批連減，15-9=15-5-4=6。

四種方法顯露出學生的思維路徑：“數小棒”直接運用減法意義，“想加算減”則是運用逆運算概念，“破十法”和“分批連減”則是應用了拆分數字的方法。上述方法中，“破十法”和“分批連減”的理解是難點，需要圖形輔助。“破十法”是退位減法的直觀雛形，也是退位減法的理論依據，意義重大。因此，教師需要重點演示“破十法”的詳解過程，借助學具推演，在學生的展示和交流中詮釋算理。

2.溝通反思

課堂中教師要及時指導學生進行新舊運算的對比，找出異同點，并用專業的學科語言陳述，實現算法和算理的融合，讓學生達到心領神會的境界。如“小數乘整數”和“整數乘法”進行比較，“小數乘小數”和“小數乘整數”進行比較，從而引導學生掌握“小數乘法”中小數點的確定規則；“小數除小數”與“小數除整數”做比較，復習整理時，再將小數乘除法進行橫向對比。可以說，學生對算理的掌握，就是在不斷的比較中達成的。