關系重構：認知從“復雜”走向“簡單”
——以“用假設的策略解決實際問題”教學為例

江蘇如皋市外國語學校（226500） 丁 洪 張林林

“用假設的策略解決實際問題”是蘇教版教材六年級上冊安排的“策略學習”專題活動，它也是運用策略解決實際問題的種子課。從關系的數量看，一般要解決幾個未知量就需要幾組數量關系，少則無法確定結果，多則出現條件剩余。從關系的勾連看，未知量之間要有關聯，關系可以是直接的或間接的，未知量之間可以靈活轉化和統一表征。從關系的變化看，關聯的數量進行等量代換和有機整合之后，內容上出現了“新數量”，形式上出現了“新等式”，盡管關系對應為“假狀態”，但所求結論仍然為“真結果”。可以說，關系從復雜存在到簡單重構是一個“慢”的漸進過程，教師除了要在認識上拎得清，還要在行動上把得準。

一、制造認知沖突，激發關系需求

認知沖突是學習主體在信息加工過程中產生的一種不平衡的心理狀態。究其原因，主要是個體的認知結構在新舊銜接時的不一致、不和諧所致。教師如能巧妙設計認知沖突，則可以聚焦關鍵、激發需求和引發學習。

1.策略調用

首先，動態出示兩個天平，第一個天平左邊擺放1 個梨，右邊擺放2 個桃；第二個天平左邊擺放1個梨和2 個桃，右邊擺放1 個400 克的砝碼。接著，學生通過解決問題“仔細觀察擺放的過程，你知道了哪些數量關系？”，獲得“1 個梨的質量=2 個桃的質量”和“1個梨的質量+2個桃的質量=400克”的結論。這樣運用技術手段將靜態關系予以動態呈現，有助于學生實時聚焦問題的發生過程，弄清不同對象之間的內在聯系。通過問題“根據這些數量關系，你能解決什么問題？”引發學生調用已有認知經驗，提出問題并嘗試解決問題。學生有兩種思路：第一種是“將1 個梨看成2 個桃”，對應得到“4 個桃一共400 克”，先求出“1 個桃是100 克”，再順勢得到“1 個梨是200 克”，列式計算為“400÷（2+2）=100（克），100×2=200（克）”，解題的關鍵是“將梨都看成了等量的桃”；第二種是“將2 個桃看成1 個梨”，對應得到“2 個梨一共400 克”，先求出“1 個梨200克”，再順勢得到“1 個桃是100 克”，列式計算為“400÷（1+1）=200（克），200÷2=100（克）”，解題的關鍵是“將桃都看成了等量的梨”。最后，引領學生比較兩種思考過程，發現數量關系是理解具體問題的關鍵，等量代換是處理數量關系的依據，至于怎么使用數量關系，也就是“都看成梨”或“都看成桃”，變換方向可以不一樣。可以看出，引領學生經歷思維過程的異同體驗，有助于學生初步感受假設的方向和方法之間的聯系和區別，為后續學習奠定策略認知的基礎。

2.策略分析

首先，出示“720 毫升果汁”的前置條件，以及多組不同的備選條件，分別是“倒入9 個同樣的小杯，正好倒滿”“倒入3 個相同的大杯，正好倒滿”和“倒入6個小杯和1個大杯，正好倒滿”，鼓勵學生自主搭配和選擇條件，并對問題對象進行判斷。接著，學生自由匯報，有的選擇“倒入9 個同樣的小杯，正好倒滿”這個條件，列式為“720÷9=80（毫升）”，順利解決了小杯容量的問題；有的選擇“倒入3 個相同的大杯，正好倒滿”這個條件，列式為“720÷3=240（毫升）”，順利解決了大杯容量的問題；有的選擇“倒入6個小杯和1個大杯，正好倒滿”這個條件，發現解決問題有困難——認知沖突的出現，極大提升了學生的關注度。然后，教師順勢提出問題“為什么不能同時解決大小杯容量的問題？”“如果想要解決，你有什么好的建議？”和“大小杯容量之間可能有怎樣的關系？”，引導學生感知“單獨倒入”關系簡單，“同時倒入”關系復雜，要想求解同時出現的兩個未知量，知道它們之間的數量關系是關鍵，至于是“倍比關系”或“和差關系”，這并不是問題的重點。可以看出，認知沖突有效驅動了分析，辨析的內容直指假設策略的兩大關鍵，一是“條件和問題之間要有聯系”，二是“條件和條件之間要有聯系”，至于條件之間的聯系和運算環境是什么，姑且看作是假設策略的學習類型，它并不是假設策略認知的數學本質。

顯然，“策略調用”側重數量的“關系運用”，演繹了算法多樣；“策略分析”側重數量的“關系聯結”，考量了認知沖突中的需求一致。這樣處理，既固化了問題解決的一般路徑，又深化了數量關系的核心地位。

二、構造認知模型，凸顯關系內涵

認知模型是一種結構化的共性理解和數學構造。就假設策略的學習而言，認知模型以未知量為節點，以數量關系為紐帶，以新的、簡單的和方便問題解決的結構為取向，過程著重關系的內涵理解、新舊對比和價值感悟。

1.策略生動

2.策略深刻

策略學習需要問題解決，但是又不止于問題解決，還需要將個性思維中的共性方法進行梳理、提煉和內化（如圖1）。仔細觀察后不難發現，假設策略的數學內涵具有鮮明特征。首先，從未知量的個數角度來看，以往的“一個未知量”變成現在的“兩個未知量”，未知量的增多，情境的相對復雜，激發了學生假設策略的認知內需。其次，從未知量的關系角度來看，以往的“條件不相關”變成現在的“條件正相關”，數量關聯支撐了假設策略的具體實施。最后，從未知量的代換角度來看，無論是“全部倒入小杯”，還是“全部倒入大杯”，等量代換的數學思想一脈相承，未知量由多變少的操作路徑異曲同工，思維的有效整合凸顯了假設策略的數學本質。就這樣，在變與不變的過程體驗和思辨中，方法感知演變成了策略架構，同時策略價值的感悟也變得可視化、結構化和一體化。

圖1

顯然，“策略生動”側重個性的“思維表達”，演繹了“快思考”的過程生動；“策略深刻”側重共性的“思維沉淀”，呈現了“慢思考”的過程深刻。這樣處理，既尊重了學習主體的感性基礎，又促進了知識發展的理性建構。

三、遷移認知經驗，具化關系路徑

認知經驗就生長階段而言，一般可分兩個層次。第一個層次是“無案可循”的形式加工，它側重對現有情境中重復出現方法的抽象和概括；第二個層次是“有案可依”的實質加工，它側重已有經驗對后續行為的約束和引導。

1.策略強化

首先，將教材的例題進行適當改編，變成“720毫升果汁倒入4 個小杯、2 個中杯和1 個大杯，正好都倒滿”和“小杯的容量是中杯的大杯的容量是中杯的2 倍”，與此同時，提出“小杯、中杯和大杯的容量各是多少毫升？”的問題。接著，創設自主探究的活動，鼓勵學生遷移已有經驗，積極思考并記錄過程。活動開始之前進行師生交流“你準備假設將果汁全部倒入哪種杯子？”“其他杯子也可以嗎？”，滲透“想清楚再做事”的基本原則，為學生思維品質的提升添磚加瓦。教師要引導學生有序匯報，以“假設全部倒入中杯”為例，根據“大杯的容量是中杯的2 倍”，可以將“1 個大杯等量代換成2 個中杯”，根據“小杯的容量是中杯的可以將“4個小杯等量代換成2 個中杯”，再算上原來的2 個中杯，這樣就假設成“6 個中杯的容量一共是720 毫升”，有了這個簡單的數量關系，很快算出“1 個中杯的容量是720÷6=120（毫升）”，進而求出“1 個大杯的容量是120×2=240（毫升）”和“1 個小杯的容量是120÷2=60（毫升）”；當然，也可以“假設全部倒入大杯”或者“假設全部倒入小杯”（如圖2）。最后，引導學生觀察、對比和思考，從整體上把握策略實踐的要點和路徑，從局部上感受“直接關系”比“間接關系”更方便等量代換，促使策略的思維從“可以做”進階為“可優化”。

圖2

2.策略回顧

如果把“策略強化”看成“怎么做”，那么“策略回顧”就是“怎么看”。因此，在這里主要鼓勵學生從假設策略的視角出發，整理以往學習中使用假設策略的案例，挖掘出諸如“計算除數是兩位數的除法，把除數當作整十數試商”“把接近整百或整十的數看作整百或整十數，估算出大致的結果”和“已知兩個數的和與差，假設兩個數同樣多，分別求出這兩個數”等，這些都是基于自主認知的定性確認。這樣的回顧，一方面使得策略的意識從模糊變得清晰，感知策略運用的基礎性和廣泛性；另一方面也豐富了假設策略的內涵，不僅可以像例題那樣，使數量關系變簡單，還可以像試商和估算那樣，使運算過程變簡潔，從而感知策略運用的價值性和統一性。

顯然，“策略強化”側重策略的“自我調節”，具化了關系處理的既定路線；“策略回顧”側重策略的“自我認同”，聯結了立體多元的隱形認知。這樣處理，既驅動了策略規則的外化有術，又滲透了策略視角的內化有道。

四、內化認知策略，提升關系素養

認知策略是學習主體加工信息的方法。就本課而言，在學生歷經方法的滲透、示范、嘗試和回顧等四個階段后，還可以繼續引導學生感受不同情境的其他問題，或者相同情境的不同角度，以內化策略、發展思維和提升素養。

1.策略同化

首先，動態出示“2個大筐和3個小筐一共裝了99千克蘋果”和“大筐所裝的量是小筐的3倍”的條件，要求學生選擇一種假設方向，自主解決“大筐、小筐蘋果千克數”的問題。學生的匯報井然有序：第一種是“假設蘋果全部裝入小筐”，根據“2 個大筐”和“大筐所裝的質量是小筐的3 倍”這兩個條件，可以很快地將“2個大筐假設成6個小筐”，此時“99千克”對應的就是“9個小筐（其中6個是假的，3個是真的）”，然后順勢算出“每個小筐所裝蘋果的千克數是99÷9=11（千克）”，則“每個大筐所裝蘋果的千克數是11×3=33（千克）”；第二種是“假設蘋果全部裝入大筐”，根據“3 個小筐”和“大筐所裝的質量是小筐的3 倍”這兩個條件，可以很快地將“3 個小筐假設成1 個大筐”，此時“99 千克”對應的就是“3 個大筐（其中1 個是假的，2 個是真的）”，然后順勢算出“每個大筐蘋果的千克數是99÷3=33（千克）”，則“每個小筐蘋果的千克數是33÷3=11（千克）”。可以看出，這里的問題結構與例題相似，策略同化的特征明顯。接著，將情境稍做變化，把“2個大筐和3 個小筐”改編成“3 個大筐和2 個小筐”，其他條件和問題都不變，讓學生嘗試解決。有趣的是，出現“假設蘋果全部裝入小筐”的人數遠遠大于“假設蘋果全部裝入大筐”的人數。究其原因，前者的假設方向是“順勢而為”，計算僅在整數范圍內運行，過程比較簡單；后者的假設方向是“逆流而上”，計算涉及分數范圍和方程形式，過程比較復雜和曲折。這樣就引發了學生感知“假設方向”的互通性、必要性和選擇性，強化了假設策略的靈活運用。最后，動態出示“三層貨架上的洗手液，每層總質量相等，從上往下看，第一層有1 大瓶、2 個中瓶和5 個小瓶，第二層有3 個中瓶和5 個小瓶，第三層有1 個大瓶和8 個小瓶，還知道1 個小瓶有200 克，要求1個大瓶和1 個中瓶各有多少克”。可以看出，這里的問題結構稍有變化，處理方式稍有不同，但關系化繁為簡的策略取向沒有變，等量代換的思想支撐也沒有變，所以它仍然隸屬策略同化的范疇。

2.策略順應

假設策略對于學生今后的學習影響較大，如果學生能有感性體驗，也許就能為學習的持續性注入生長因子。基于這樣的思考，將課堂初始“梨和桃”的問題情境加以改造，用兩個未知數分別表示梨和桃的數量，即假設1 個梨的質量是x 克，1 個桃的質量是y 克，然后根據數量關系，分別列出方程，即“x=2y”和“x+2y=400”，并將它們聯立成方程組，最后鼓勵學生口算解決問題，體會外在形式的組織變化并沒有改變等量代換和關系化簡的內在事實。可以看出，學生對原有認知進行修改和重構后，能夠勝任新環境的學習需求，從而實現策略順應的無限精彩。

顯然，“策略同化”側重認知的“必要鞏固”，提升了策略實踐的操作水準；“策略順應”側重認知的“可能應用”，架構了策略體驗的價值魅力。這樣處理，既夯實了策略學習的關鍵技能，又孕育了策略素養的必備品格。