梁式橋梁應變模態振型識別研究

耿 棟，王 樂，蔣 鵬

（1.安徽省公路工程檢測中心，安徽 合肥 230051；2.橋梁與隧道工程檢測安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230051）

在橋梁結構動力特性研究中，模態試驗是一項重要內容，反映結構固有自振特性。對于線性結構來說，自由振動是由N個正交的單自由度振動子系統耦合的系統，每一個單自由度振動即對應結構的一個模態，所以結構振動系統包含N個模態。每一個模態包含多個參數，比如模態振型、模態頻率及模態阻尼。模態試驗就是為獲得這些參數的試驗分析過程。現如今，在橋梁模態試驗中，模態分析基本都是分析結構的位移模態，模態試驗基本以采集結構的動態速度、加速度為主。位移模態的分析、處理技術已經較為成熟，取得了許多研究成果[1]。然而，僅僅進行位移模態分析研究并不能完全反映所有橋梁動力特性。比如，當橋梁出現裂縫，也就是出現應力集中現象時，結構位移模態分析則無法反映。當結構局部振動過大，或是受到振動干擾源影響時，位移模態分析也不能夠反映出結構的變化情況。相對于位移模態，應變模態是結構另外一種能量平衡狀態表現的形式。與位移模態相比較，應變模態分析則能反映結構局部的微小變化，比如結構出現裂縫，結構的局部應變就會發生變化，裂縫處會出現應變集中現象，這些變化都會反映在結構應變模態分析當中[2]。同時在復雜結構研究中，分析環境變化對結構產生內力影響時，僅僅通過位移模態分析并不能獲取全部想要的結果，無法反映復雜環境下結構的應力變化情況，這時候應變模態則是必不可少的測試內容。此外，應變模態也可被用于梁結構的動撓度識別研究，且有較好的精度[3]。

模態振型是模態試驗中的一個重要參數，通俗地講是每階模態振動的形態。從數學上講，模態振型就是模態空間中的“基”向量。位移模態振型是結構上的節點或測點的位置函數，應變模態振型則是結構上的節點或測點的應變函數。對于如何獲取應變模態振型，國內外學者做了大量研究工作，提出較多識別方法。1995年，張開銀通過運用結構的應變疊加原理，采用ITD法對懸臂梁結構進行了應變模態振型分析。2002年，LI等人利用瑞利－里茲方法來識別應變模態振型。近年來，基于隨機子空間的應變模態參數識別方法也被越來越多人熟知[4]。此外，針對梁式結構利用互相關函數法獲取應變模態振型也被證明是一個有效的方法，該方法是通過實測動態應變數據直接計算應變模態振型，方法簡單易行[5]。

本文研究基于位移和應變的相互變換關系識別梁式橋梁應變模態振型，本文研究重點為位移和應變的相互變換關系及位移模態和應變模態在模態振型上的轉換關系。為驗證基于位移和應變的相互變換關系識別梁式橋梁應變模態振型的有效性、準確性，本文利用有限元計算軟件分別對簡支梁、連續梁進行了數值模擬。

1 方法與理論

橋梁結構在環境激勵（比如行車、行人、地脈動、風荷載等）的作用下，會發生隨機的振動。假設梁結構沿縱向坐標在x位置處，在t時刻下的位移和應變可分別表示為公式（1）和公式（2）：

公式（1）和公式（2）中，Φi（x）和Ψi（x）分別表示為第i階次位移模態振型函數和第i階次應變模態振型函數在梁結構縱向x坐標處的函數值，ηi（x）為第i階次模態坐標函數在t時刻的函數值。

按照梁結構的相關原理，梁結構的位移和應變之間的轉換的關系可表達為下式：

公式（3）中，y（x）為梁結構在縱向x坐標處，梁截面的中性軸在梁高方向上距梁底的距離，關于中性軸在梁橫截面上的位置，可根據截面尺寸計算獲得，或通過平行的應變測試識別[3]。

根據公式（3）和公式（2），可獲得第i階次應變模態振型函數與第i階次位移模態振型函數相互之間的轉化關系：

通過對公式（4）進行微分，獲得第i階次應變模態振型函數在梁結構縱向坐標x位置的函數表達式。

在計算獲得N階次應變模態振型函數后，其矩陣形式{Ψ（x）}1×N可表示為：

2 數值模擬

為了驗證基于位移與應變的轉換關系識別梁式橋梁應變模態振型的有效性和準確性，本文對簡支梁在噪聲隨機作用下振動響應進行數值模擬。數值模擬中的簡支梁，梁全長為5 m，其梁橫斷面為工字型，高為0.05 m，梁橫斷面面積為2.52 cm2，梁橫斷面慣性矩為10.8 cm4。數值模擬的簡支梁沿縱向坐標均勻取21個節點，兩節點之間為一單元，共20個單元，每個單元長25 cm。數值模擬的簡支梁縱向布置圖如圖1所示。模擬中對簡支梁施加的激勵為噪聲隨機激勵，噪聲均值為零，標準差為0.25 g（g為重力加速度），激勵時間為20 s。

圖1 數值模擬簡支梁縱向布置圖（單位：cm）

由于簡支梁振動形式較為簡單，其主要振型為前三階次振型。所以本文數值模擬僅僅考慮簡支梁的前三階次模態振型。為了獲取模擬簡支梁的前三階次應變模態振型，利用有限元計算軟件，計算出梁底各個節點處動態應變數值，并模擬實際測試采集動態應變數值，如圖2所示為梁1/4跨處梁底動態應變數值。

圖2 隨機激勵下1/4跨梁底動態應變

在獲取了所有節點梁底的動態應變數據之后，應變模態振型可根據傳統的模態參數識別方法獲取[1]，獲取后作為精確值。對于簡支梁來說，其位移模態振型較為簡單，可通過結構有限元分析獲得。根據位移和應變的相互變換關系，對位移模態振型函數進行兩次微分，即得到應變模態振型。其中，梁截面的中性軸在梁高方向上距梁底距離，可根據截面尺寸計算獲得。將通過對位移模態振型二次微分計算得到的應變模態振型與精確值進行對比，對比結果如圖3所示。

從圖3的對比結果可看出，利用位移與應變的轉換關系，計算出的簡支梁應變模態振型與精確值有著很好的重合度，計算結果精度較高。

圖3 簡支梁前三階應變模態振型計算值與精確值對比

梁式橋梁的結構形式主要以簡支梁、連續梁居多，接下來本文對連續梁進行數值模擬，繼續驗證基于位移與應變的轉換關系識別梁式橋梁應變模態振型的有效性和準確性。數值模擬中的連續梁，梁全長為10 m，其梁橫斷面為工字型，高為0.05 m，梁橫斷面面積為2.52 cm2，梁橫斷面慣性矩為10.8 cm4。同樣，數值模擬的連續梁沿縱向坐標均勻取21個節點，梁被劃分為20個單元，每個單元長50 cm。數值模擬的連續梁縱向布置圖如圖4所示。對連續梁施加的激勵同樣為噪聲隨機激勵，噪聲均值為零，標準差為0.25 g（g為重力加速度），激勵時間為20 s。

圖4 數值模擬連續梁縱向布置示意圖（單位：cm）

與簡支梁相似，連續梁主要振型同樣為前三階次振型。所以本文數值模擬僅僅考慮連續梁的前三階次模態振型。為了獲取模擬連續梁的前三階次應變模態振型，利用有限元計算軟件，計算出梁底各個節點處動態應變數值，并模擬實際測試采集動態應變數值，梁跨中處梁底動態應變數值如圖5所示。

圖5 隨機激勵下跨中梁底動態應變

在獲取了所有節點梁底的動態應變數據之后，應變模態振型可根據傳統的模態參數識別方法獲取[1]，獲取后作為精確值。對于連續梁來說，其位移模態振型較為簡單，可通過結構有限元分析獲得。根據位移和應變的相互變換關系，對位移模態振型函數進行兩次微分，即得到應變模態振型。將應變模態振型計算值與精確值進行對比，對比結果如圖6所示。

圖6 連續梁前三階應變模態振型計算值與精確值對比

從圖6的對比結果可看出，利用位移與應變的轉換關系，計算出的連續梁應變模態振型與精確值有著很好的重合度，計算結果精度較高。

3 結束語

本文研究基于位移和應變的轉換關系識別梁式橋梁應變模態振型的方法，給出了具體梁結構位移和應變的轉換關系公式，及位移模態和應變模態在模態振型上的轉換公式。為驗證基于位移與應變的轉換關系識別梁式橋梁應變模態振型的有效性和準確性，分別對簡支梁、連續梁進行了數值模擬，數值模擬結果表明該方法是可行的，并且具有較高的精度。