數學高階思維的基本蘊涵、教育價值及培養途徑

陳珍妮 吳仁芳

摘要：近年來，高階思維受心理學領域和教育界關注較多，數學學科與思維關系緊密，研究數學高階思維不僅僅是數學學科中核心素養的必然要求，也是創新型人才培養和發展的時代驅動。本文就數學高階思維的基本蘊涵與教育價值作相關介紹，并就當前形勢對其培養途徑談幾點建議與思考。

關鍵詞：數學高階思維? 教育價值? 培養途徑

引用格式：陳珍妮，吳仁芳.數學高階思維的基本蘊涵、教育價值及培養途徑[J].教學與管理，2022（18）：64-68.

1986年，錢學森主張研究思維科學，由此引發了思維研究在我國學術界的盛行，特別是鐘志賢等人的系列研究成果更是加速了我國高階思維領域的研究進程，研究突破性地指出高階思維是一種存在于高層次認知水平的綜合能力[1]。2017年版數學課程標準[2]開創性地指出要發展學生核心素養這一新理念，并且強調在數學教學中要留意學生思維的發展，注重思維的多變與靈通，善于引導學生以思維之力發現問題并抽象出數學問題，在解決問題中促進思維品質的提高。將學習者培養成為勤于自主發現、善于獨立思考、勇于提出質疑、敢于批評創造，能動地建構復雜知識體系，靈活性地處理問題以及創造性地解決問題的高素質人才，從而使學習者更好地適應復雜多變的社會環境。同時，人才的高階思維培養也為國家的人才隊伍建設持續輸送攻堅力量，真正落實“人才強國”戰略，增強我國在國際社會的核心競爭力和影響力。

一、數學高階思維的基本蘊涵

1.何謂思維

思維是人腦特有的認知活動，屬于高級活動，是大腦對外界信息的處理加工過程，包含分析、歸納、比較、抽象、匹配、提取等過程和對概念的判別、推理等形式，是客觀規律被主體認識與掌握的心理活動。思維具有內容的高度抽象與客體的主觀反映的特點。

2.何謂高階思維

問題解決與決策、創造性思維、元認知能力是心理學領域中廣受認同的高階思維內部組成。斯滕伯格認為高階思維包含成功智力的因素，即分析、創造、實踐;Debono（1983）認為高階思維與一般性思維最顯著的差異在于高階思維絕不限于對事實性知識的簡單性回憶和應用;安德森在布魯姆對認知目標分類的基礎上將高階思維整合成分析、評價、創造;恩尼斯（Ennis）認為高階思維本質上就是抽象思維;瑞斯尼克對高階思維的顯著特征做了分析，析出其不規則性、復雜性、方法多樣性、標準不一性以及思維的自我調節作用;杜威將高階思維過程濃縮為“反省”二字，認為進行高階思維的過程突出表現為從反思到批判的過程;King，Goodson和Rohani（1998）表示高階思維能力是由多種思維技能組合而成的綜合體，包含批判、邏輯推理、反省、創造以及元認知成分，在遇到復雜問題情境時這些技能就被順應激活[3];鐘志賢強調高階思維是發生在較高水平上的認知活動，包含批判性思維、創造性思維兩種典型思維能力，再加上問題決策與問題求解[4];林勤沿用了鐘志賢對高階思維的相關界定，但其對行為能力的劃分加入了創新能力這一要素;許禮光和沈瓊認為，集理解、分析、評價、綜合、創造、批判能力為一體的綜合性思維能力就是高階思維能力[6];鐘志賢論述了高階思維與高階學習的密切關聯，提出高階思維發展離不開高階學習活動的環境支持，培養高階思維要關注高階學習活動。鑒于以上研究，筆者認為高階思維是一種在高階學習環境中以問題解決、批判性思維和創造性思維等高層次認知水平為主的綜合性能力。

3.何謂數學思維

奧加涅相強調數學思維的“辯證”關系，提出一般思維方式對高階思維具有約束力，其特性取決于學科本身特點;周春荔結合數學學科研究對象，提出數學思維就是人們在認識數學對象時頭腦中進行的思維活動，這一思維活動的結果又對后面的思維產生持續影響[7];任樟輝認為數學思維源自數學活動，是對數學對象的本質與內涵進行規律性認識的過程，其中數學活動包括一般意義下與數學有關的問題提出、分析、解決、應用和推廣;葉立軍認為數學思維就是人腦對數學對象進行理性認識的過程，王仲春教授在葉立軍對數學思維定義的基礎上加入了解決實際問題的思維過程這一成分;張奠宙也指出數學本質應該是指數學思維能力;克萊因對數學語言的詳細描述可以看出數學的嚴謹與簡捷，也足以體現數學思維的特性，數學思維的簡潔性有助于思維的效率，這也揭示了數學具有層層抽象、模式化及符合化的特點。基于上述學者對數學思維的研究發現，數學思維存在于數學活動之中，作用的對象是數學，其中包括與數學問題相關的一系列結構思維活動。

4.何謂數學高階思維

數學高階思維最開始以名詞“高層次數學思維（Higher Order Mathematical Thinking，HOT）”這一概念引入國內，Klum（1990）提出高層次數學思維活動包含一般性信息活動，但其特殊性與高級性更強烈，即它不單單只是記憶和模仿這類低層次認知行為，更包括對外界信息進行加工與重構操作[8];David Tall（1991）提出高層次數學思維具有兩類特征：嚴謹的數學定義與對數學命題的邏輯推理，所以學習者具備高層次數學思維就表現為其對數學思維對象有透徹理解與形成嚴密邏輯推理[9];1999年香港教育界把高層次數學思維能力定義為解決問題、探究、推理、傳意和構思等能力;范良火提出高層次數學能力一般在解決非常規性問題、開放性問題和實際問題中體現;鄧友祥對高級數學思維界定也認為其是人腦與數學對象的交互同時進行合理評判的理性活動，數學思維能將分散的外部信息整合為一個完整具有結構性的體系[10];任松華和傅海倫也表示數學高階思維應當是一種綜合性的能力體現，考慮數學教學情境，發現其是存在于較高認知水平上、需要不斷付出努力才能使目標達成的能力，包括對問題進行分析并解決的能力、能將數學知識應用于其他領域的能力以及創造力和批判性思維能力等[11]。周超突破以往只對高階思維概念進行分析的局限，以思維的結構成分——思維品質的角度作全面分析，即利用思維品質中的五個典型特征，即深刻、靈活、獨創、敏捷和批判來界定數學高層次思維，這種界定方式使得對高階思維的研究更具有可操作性。

基于研究者對高階思維的一般界定，結合當代素質教育背景，以數學課程標準要求為導向，考慮數學學科思維特點，認為所謂數學高階思維是指發生在復雜數學活動中，圍繞特定數學對象，在假設猜想、實際操作、實踐驗證過程中，經歷發現問題、提出問題與解決問題的探究過程，運用批判性思維、創造性思維、問題解決及元認知能力為核心的高層次認知水平的心智活動或認知能力，在認知領域中表現為分析、評價、創造和批判等為主要特征的數學思維品質。

二、數學高階思維的教育價值

高階思維培育在多方面具有重要價值意義，而當高階思維與具體學科相結合所形成的，具備學科沉浸性的高階思維，其價值意義將更具獨特性。在此，就數學高階思維，擬從社會與文化、課程與學科、教學與實踐以及育人這四個維度對其教育價值進行探討。

1.社會與文化維度的教育價值

其一，培養適合時代與社會發展人才。隨著互聯網時代的高速發展、全球一體化進程的腳步加快，現代社會對高階思維的培育顯現出迫切需求，也促使高階思維能力成為新時代創新人才必須具備的要素。新興技術的高質量與高速度發展使得社會逐步轉向對“問題解決者”“終身學習者”“高階思維工作者”等先進人才的高品質培養。社會“進步”正不斷向人類發起“進化”的信號，至此創造力、想象力、批判和解決問題等多方面能力在紛繁復雜、形勢激烈的社會競爭中顯得尤為重要，而這些能力要素恰恰都囊括在高階思維范疇中。高階思維的培養是人才適應社會時代發展的根本要求，也是個體開發自我潛能、實現自我價值的必經途徑，因此教學過程中必須重視對高階思維能力的培養。

其二，“文化強國”戰略的教育支撐。要實現文化強國的戰略目標，最主要做的就是要讓文化不斷更迭更新，使文化一直處于領先地位，具有先進性特征。作為國家戰略層面的“文化強國”，其“文化”二字包含眾多品類文化，數的文化、數學文化應包含在內。克萊因（Morrns Kline）說數學一直是形成現代文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素[12]。一般認為，數學思想方法、數學思維方式等，都可視為數學文化的內涵，當然還包括數學與人文社會的結合與聯系等。顯然，高階思維內含數學思維方式，作為數學文化的一部分，對人類文化發展具有重要價值。培養高階思維是對數學文化內涵的豐富，是實現“文化強國”戰略的重要支點。

2.課程與學科維度的教育價值

其一，體現了數學核心素養的內在統一。2017年版數學課程標準提出了包含數學抽象、數學建模等在內的六大素養，將其作為學生在數學學習中必須要達到的學習目標[2]。數學學科核心素養體系中，高階思維是核心所在，猶如無形紐帶連通素養體系。譬如，在數學抽象維度中，認識數學對象、運用抽象邏輯語言、形成數學方法與思想、系統認識數學結構與體系涉及高層次認知過程;在邏輯推理維度中，歸納、類比、演繹、假設證明是常見的高階思維思考方式;在數學建模維度中，搭建和解答模型、驗證和修改模型、分析和解決問題均不得不依靠高階思維技能。高階思維是學科核心素養的重心所在，學科核心素養是否達成要以是否有高階思維活動的參與為重要依據。新課標指出數學核心素養是人應具備的重要品質和關鍵能力，這種品質和能力突顯出數學的基本特征，能使人適應社會發展需要和滿足個人終身學習需求。數學核心素養體系都要求學生具備分析、評價、創造、問題解決等多方面的能力，可見其內涵與以“分析、評價、創造、批判”為核心的高階思維深刻呼應，由此也顯現出高階思維與核心素養存在內在統一性。

其二，符合數學學科內在需求。數學是高度抽象與邏輯推理結合最為突出的一門科學，核心素養觀念下的數學課堂教學需要深度融合高階思維，即需要高階學習的構建。約翰·杜威（John Dewey）從思維發生機制視角揭示了學習者思維過程，首先是反思，反思后生成問題，然后進行問題探究形成批判認知，最終使得問題解決，“問題”貫穿高階思維活動的全過程，是激發高階思維的最強動力源。通過高階思維的參與，幫助學生形成有意圖的、自主建構、自我反思的深度學習狀態，遠離貧乏單一、枯燥的數學知識學習，至此才能深入挖掘數學知識的深刻內涵，使得思維向有意義建構方向發展。

3.教學與實踐維度的教育價值

其一，有助于提升數學教學水平。低階教學方式在傳統教學中處于重要地位，學生收獲的只有靜態、單一的概念知識，固定套路式的數學規則和定理的使用，并沒有進行過深度學習，知識的學習以接收為主，無自主建構過程，課程的學習永遠處于低階狀態，只能達到識記、理解和應用的認識水平。而高階思維參與的教學活動，是具有高階學習特征的學習活動，以高階思維為核心的課堂教學將實現學生自主建構及知識的有意義習得過程，幫助課堂教學在建構主義理念指導下實現質的提升，有助于提高數學課堂教學實踐水平。

其二，有利于提高數學實踐水平。數學高階思維的培養能夠使得中學數學中的難題和復雜問題有被學生自主解決的可能，長時性高階思維訓練有助于打通學生思維通道，使得思維逐漸轉向貫通。習慣于高階思維學習的學生在遇到陌生難題時不緊張、不焦慮，總能保持冷靜與自信，沉著客觀地分析內容深層關系，聯系已有知識內容，意識到問題之間的聯系，從而能夠有效地解決難題。數學高階思維不局限于某個特定知識的運用，而是一種全局的思考，是戰略意義上的思考，是思維技巧多變性的體現，它能幫助新舊知識的融合，不使知識與知識之間產生斷裂，不受制于當前所學內容，有全局性思考，使得學生數學學習能力提升。同時學生具有了高階思維意味者他具備高階思維能力，擁有批判性思維能力、創造性思維能力、解決問題能力、發散性思維能力等等的綜合性能力，即他具備解決跨學科復雜問題能力的良好基礎，能將數學能力實踐到各領域。

4.育人維度的教育價值

其一，豐富高層次數學觀。數學培養人的目標指向是發展人以數學的眼光看待世界，以數學的思維理解認識世界，其育人價值是以培養學生正確價值觀、世界觀等為根本目標，通過一系列抽象、推理和建模等數學活動，實現學生數學思維由低階向高階成長，幫助學生在強化數學高階思維意識的過程中使得學生數學高階思維能力得到發展，最終實現數學高階思維品質形成和完善。若要對世界具有深刻的認識則必須要讓人具備深度的思考能力，在數學中就表現為高階思維能力，以此去認識世界本質和規律，將實現認識境界的跨越式提升。以分析、評價、創造、批判為主的高階思維是發展理性思維、科學精神和創新能力，提升高品質數學觀的重要組成。

其二，滿足人的內在發展需求。哲學家萊布尼茨曾道世界上不存在兩片完全相同的樹葉。這個世界中每個生物都是獨特的，因為生理與心理的不同，加上生活的差異性，每個人都有著與別人不同的身心面貌，由此每個人會產生不同的需求，需求的差異使得每個人奔赴的方向必然不同，這些需求激勵著每個人的發展進步，在行進中實現自我滿足。在教學實踐中，高階思維根植于學科核心素養，內化于學科學習活動，體現學科關鍵能力、蘊藏情感態度和價值觀念。聚焦高階思維發展可以協調統整學科核心素養的培養過程，促進學生核心素養的一體化發展。

三、數學高階思維的培養途徑

對數學高階思維培養途徑的探索需要從其教育價值的視角去發現與分析，精準定位培養途徑是其價值得以實現的前提條件。依據上述分析，擬從社會支持、課程評價、教學策略和學習者意識這四個層面探尋培養途徑。

1.社會支持

社會應宣揚人才思維的高層次發展，推崇高階思維引領科技新時代。21世紀的社會是面向知識、面向信息、面向科技的新時代，社會勞動將不再過度依靠單一機械的勞動力，高密度低認知的重復性操作勞動將被智能機器人所取代，社會人才逐步流向高層次職業崗位是必然趨勢，政府、企業、單位、集體和個人應當全力支持社會人才朝高層次行業奔涌發展，全民參與互動支持社會人才高層次發展，推進社會人才高質量發展、社會環境進一步優化。學校環境是社會環境的縮影，學校內部理應追隨時代發展的潮流，宣揚思維的高階發展。

其次，社會文化應逐步滲透高階思維。文化發展進步離不開人的發展，數學文化包含于其中，高階思維為數學文化注入了新活力，文化發展必須關照高階思維。

2.課程評價

學科課程應建立有效的評價體系。數學課程標準強調課堂教學必須關注學習結果與學習過程評價，要注重評價的內容多元與形式多樣，因而制定科學且有效的課程評價體系極其重要和迫切。雖有關于學習評價的綱領式文件出臺，卻無具體詳細可操作的方案指導是目前的普遍現狀，所以針對具體學科課程建立起有效的評價體系是必要的。在學習活動中，發展高階思維的學習目標是多層次、高層次的，學習過程是建構性的、探究性的，學習成果是全面性、生成性和豐富性的，學習評價是開放性、連續性、發展性的。同時對高階思維的評價更應注重過程性評價，對學習結果與學習過程同時考察，注重評價目標的全局化、評價方式的具體化。

其次，課堂中教師也應當學會自主建立課堂的學習評價方案。課程評價體系是對具體學科的整體把握，其考慮的各個要素應當具備一般性和整體性的特征，而課堂中的評價應更注重特殊性與局部性的結合，因此教師要以課程評價體系為依托、為參考，為具體的課堂學習評價設計專屬方案，實現大框架評價體系下的落地，讓每一次評價都能真實且有效的實施。

3.教學策略

傳統的教學模式應當被突破。這要求數學課堂教學精準把握高階學習的特點，轉變學習者被動、惰性的學習態度，設計問題求解式、推理探究式的學習活動，促進其自主性和個性化的發展，從而達到提升學生高階思維能力的目的。

建構性的學習環境被積極創設。建構主義和情境認知理論應當成為學習環境搭建的兩大核心理論，這與高階思維的培養理念具有高度一致性，學習環境必須能夠支持學習者進行高階學習，因而要積極應用一切現代技術以支撐和充實學習環境，學習環境中的支撐性力量來自于各種資源，包括人、人的活動、人的關系以及客體、工具等。教學活動中教師應積極發揮主導者作用，整合一切可利用的資源、工具、活動，搭建高階學習活動平臺，創設有意義學習情境，為學生設計具有梯度等級性的問題，優化組織學習活動有序進行，確保學習者的學習活動一直處于高階的學習環境中。

適切的教學載體予以完善。有研究表明當數學教學任務具備高認知水平特征時，此時的教學是有助于高層次思維發展的，其中高水平教學任務應含有真實情境性、內容開放性與形式非常規性特征。具備條件開放、結論不定特點的數學教學被證實有助于培養學生的數學高階思維，有利于發展高階思維能力，未來課堂應當給予適切的教學活動變革。

教師教學信念理應更新。教師作為教學活動的主要領導者和活動組織者，對于教學環節的把控至關重要。新時代的教師職能不應只是單純的傳授靜態知識，應當以核心素養為價值導向，注重學科思維的培育。數學學科教學不應只是概念和命題的簡單套路組合，應是數學思維與數學方法的傳道解惑，更是高階思維的本質培育。

4.學習者意識

學生的問題意識自主加強。傳統課堂大多以低階學習氛圍為主，學習者長期處于低階學習活動之中，思維易僵化形成思維定勢、功能固著。新時代教育理念的口號是立德樹人，學生是學習活動的主體，應當具備自主建構學習的能力，高階思維是核心。要培養學生的高階思維，需要讓學生積極自主探索、提升問題意識。數學是問題的科學，問題是思維的起點也是不懈動力源泉，鼓勵學生積極主動地探索發現提出問題并經過嚴密的思維活動去解決，增加實際問題解決的體驗感和獲得感。

學生的批判意識亟須提高。思維的批判主要表現為對現有狀態的有理由評價，在數學中能對現有解題思路進行自主檢驗，能對推理過程進行有理由說明，能對接收的信息進行選擇、分析、篩選。在學習活動中鍛煉學生的批判思維，為學生建構性學習提供有力輔助，為學生高階思維發展提供幫助。

學生應逐步成為生活的發現者。學生的學習生活不應只限于學校課堂，應積極主動自我擴充學習環境，感受數學問題不止出現在課本中、教材里，更應該出現在生活中，一切問題源于生活。留意發現身邊問題，抽象成數學問題，用大腦已有知識為基礎，結合自身高階思維解決問題，再將結果帶入真實情況檢驗，這樣多次往復使思維得到鍛煉加深。學生的發展是面向社會、面向生活，應逐步讓學生用已有認知去認識世界，發展自我。

研究高階思維比研究一般思維更具挑戰性，同時對高階思維的深入研究具有前瞻性。世界的飛速發展、高新技術的迅猛推進，使得許多行業面臨嚴峻挑戰，市場渴求高知識性與高思維性的創新型人才。促進人才向高層次水平發展，培養其思維的高階性是關鍵。數學高階思維是高階思維與學科教育深度融合的結晶，提倡發展數學高階思維是從數學學科教育領域視角對人才高階思維培育做出的努力。對數學高階思維的研究應逐步從理論認識走向實踐教學，讓數學高階思維真正使學生獲益、讓學科教育真正發揮效用。

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[作者：陳珍妮（1997-），女，四川廣安人，湖南師范大學數學與統計學院，碩士生;吳仁芳（1975-），男，湖南汨羅人，湖南師范大學數學與統計學院，副教授，碩士生導師，博士。]

該文為2021年度湖南省教育廳教改課題“‘五位一體’深度研課式數學教育實習的實踐研究”（2021-0401）的研究成果

T：通訊作者