立足考題本質(zhì),在探究中尋找通法

高考試題是所有試題材料中的精品，是命題專家們智慧的結(jié)晶，它對高中的數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的方向性和指引性。深入研究和學(xué)習(xí)高考試題，廣大一線教學(xué)工作者能把握好教學(xué)方向，提高教學(xué)效率；面臨高考壓力的學(xué)生能克服盲目的題海戰(zhàn)術(shù)，歸納提煉出知識脈絡(luò)和解題方法。

本文以2008、2009兩年高考數(shù)學(xué)江蘇卷的解析幾何試題為源頭，運用方程思想對高考中出現(xiàn)的解析幾何探索性命題作一個通法探究。

1.2008年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記二次函數(shù)f（x）=x+2x+b（x∈R）與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過三個交點的圓記為C。

（1）求實數(shù)b的取值范圍；

（2）求圓C的方程；

（3）問圓C是否經(jīng)過定點（其坐標(biāo)與b的無關(guān)）？請證明你的結(jié)論。

本題主要考查含參變量的二次函數(shù)、圓的方程與曲線過定點等有關(guān)知識。難在第（3）問，這是一個探索性命題，學(xué)生普遍不知從何入手，而其實質(zhì)是證明曲線過定點問題。下面我給出如下解法，探究解決這一類問題的通法。

解：（3）圓C 必過定點。

證明：假設(shè)圓C過定點（x，y）（x，y不依賴于b），將該點的坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形為（y-1）b=x+y+2x-y，

關(guān)于b的方程對所有滿足b＜1（b≠0）的b都成立，

則必有y-1=0x+y+2x-y=0

解之得：x=0y=1，或x=-2y=1

所以圓C 過定點（0，1），（-2，1）.

方法與規(guī)律：設(shè)所給曲線方程為F（x，y，a）=0（其中a為參數(shù)），若對任意參數(shù)a，要證明曲線恒過定點，則可以利用方程理論求出曲線所過定點。即假設(shè)曲線過定點M（x，y），則對任意參數(shù)a，F(xiàn)（x，y，a）=0恒成立。此時將F（x，y，a）=0看作是關(guān)于a的方程，則此方程有無數(shù)組解。因此，可以先將F（x，y，a）=0整理為a的方程，此時若能求得x、y，使關(guān)于a的方程的所有系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，那么點（x，y）就是所求定點；反之，如果這樣的x、y不存在，那么曲線F（x，y，a）=0必不過定點。

2.2009年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C∶（x+3）+（y-1）=4和圓C∶（x-4）+（y-5）=4。

（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程；

（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l和l，它們分別與圓C和圓C相交，且直線l被圓C截得的弦長與直線l被圓C截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)。

本題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識。第（1）問比較簡單，容易解答；第（2）問的實質(zhì)是圓心C到直線l與圓心C到直線l的距離相等。

解：（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（m，n），直線l、l的方程分別為：

y-n=k（x-m），y-n=-（x-m），

即：kx-y+n-km=0，-x-y+n+m=0

因為直線l被圓C截得的弦長與直線l被圓C截得的弦長相等，且兩圓半徑相等。由垂徑定理得：圓心C到直線l與圓心C直線l的距離相等。

故有：= ①

大多數(shù)基礎(chǔ)知識把握牢固的學(xué)生，可以將問題化簡到這一步，下面就不知如何繼續(xù)了。此題實質(zhì)還是可以將其看成關(guān)于k的方程，下面給出如下解法：

①式化簡得：（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5

關(guān)于k的方程有無窮多解，則必有：2-m-n=0m-n-3=0，或m-n+8=0m+n-5=0，

解之得：m=-n=，或m=n=-，

所以點P坐標(biāo)為（-，）或（，-）.

方法與規(guī)律：利用圓心C到直線l與圓心C直線l的距離相等建立關(guān)于m、n、k的等式F（m，n，k）=0，其中（m，n）為點P坐標(biāo)，k為變參數(shù)。對于任意的參數(shù)k，等式F（m，n，k）=0恒成立。此時，將F（m，n，k）=0看作關(guān)于k的方程，則此方程有無數(shù)組解。因此，可以先將F（m，n，k）=0整理為k的方程，此時求m、n，使關(guān)于k的方程的所有系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，則（m，n）就是所求點P坐標(biāo)。

3.通法應(yīng)用舉例

例1：已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線l的方程為x=-2，點P在準(zhǔn)線l上，縱坐標(biāo)為3t-（t∈R，且t≠0），點Q在y軸上，縱坐標(biāo)為2t。

求證：直線PQ恒與一個圓心在x軸上的定圓M相切，并求出圓M的方程。

解：由題意可知：P（-2，3t-），Q（0，2t）

則直線PQ的方程為：y-2t=x，

即（t-1）x+2ty-4t=0.

設(shè)定圓M的圓心為（x，0），半徑為r（r＞0），直線PQ與圓M相切，

則=r

化簡得：（x-r-4）t=x+r或（x+r-4）t=x-r

關(guān)于t的方程對任意t∈R，t≠0恒成立，

則必有：x-r-4=0x+r=0，或x+r-4=0x-r=0

解之得：x=2r=-2（舍），或x=2r=2，

所以直線PQ恒與一個圓心在x軸上的定圓M相切，且圓M的方程為（x-2）+y=4.

點評：利用直線與圓相切建立關(guān)于x、r、t的等式F（x，r，t）=0，其中（x，0）為圓M圓心坐標(biāo)，r為圓M半徑，t為變參數(shù)。對于任意的參數(shù)t，等式F（x，r，t）=0恒成立。因此，可以先將F（x、r、t）=0整理為t的方程，此時求x、r，使關(guān)于t的方程的所有系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，則（x，0）、r就是所求圓M的圓心坐標(biāo)和半徑。

例2：已知圓C的方程為x+（y-2）=8，若在給定直線y=x+t上任取一點P，從點P向圓C引切線，切點為Q，問是否存在一個定點M，恒有PM=PQ？請說明理由。

解：假設(shè)存在一個定點M，恒有PM=PQ。

設(shè)M點坐標(biāo)為（m，n），定直線y=x+t上任意一點P坐標(biāo)為（x，x+t），

則有：=

化簡得：（2m+2n-4）x=m+n-2nt+4t+4

關(guān)于x的方程對任意的x∈R恒成立，則必有2m+2n-4=0m+n-2nt+4t+4=0

消去m，得：n-（t+2）n+2t+4=0（*）

又由題意知，定直線y=x+t與圓x+（y-2）=8相離，

故有＞2，解之得：t＞6或t＜-2，

所以方程（*）的判別式Δ=（t+2）-4（2t+4）=（t-6）（t+2）＞0，

故方程（*）有解，

所以存在一個定點M，恒有PM=PQ.

點評：利用PM=PQ建立關(guān)于m、n、t的等式F（m，n，t），其中（m，n）為點M坐標(biāo)，t為變參數(shù)。對于任意的參數(shù)t，等式F（m，n，t）=0恒成立。因此，可以先將F（m，n，t）=0整理為t的方程，此時求m、n，使關(guān)于t的方程的所有系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，則（m，n）就是所求點M坐標(biāo)。

例3：已知橢圓M：+=1（7＞b＞0）的離心率為，點A、B分別為其左、右頂點，點F為其左焦點，以點A位圓心，AF為半徑作圓A，以點B為圓心，OB為半徑作圓B。

問：是否存在點P，使得過點P有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為？若存在，請求出所有的P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

解：由題意得：a=7，e=，∴c=，

∴圓A的圓心為A（-7，0），半徑為；圓B的圓心為B（7，0），半徑為7.

假設(shè)存在點P（m，n），使得過點P有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為。設(shè)直線方程為：y-n=k（x-m），即kx-y+n-km=0，

則圓A到直線的距離為：，

圓B到直線的距離為：.

所以=，即4|-7k+n-km|=3|7k+n-km|，

化簡得：（49+m）k=n或（m+1）k=n.

關(guān)于k的方程有無數(shù)組解，則必有49+m=0n=0，或1+m=0n=0，

解之得m=-49n=0，或m=-1n=0.

所以，存在點P（-49，0）或（-1，0），使得過點P有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為.

點評：利用過點P的直線被圓A和圓B截得的弦長之比為建立關(guān)于m、n、k的等式F（m，n，k）=0，其中（m，n）為點P坐標(biāo)，k為變參數(shù)。對于任意的參數(shù)k，等式F（m，n，k）=0恒成立。因此，可以先將F（m，n，k）=0整理為k的方程，此時求m、n，使關(guān)于k的方程的所有系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，則（m，n）就是所求點P坐標(biāo)。

例4：已知圓O：x+y=1和圓M：（x-4）+（y-2）=9，設(shè)P為圓M上任意一點，過點P向圓O引切線，切點為Q，試探究：平面內(nèi)是否存在一定點R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由。

解：假設(shè)存在定點R（a，b），使得為定值，且=λ。

設(shè)P（x，y），則切線PQ=，又PR=，

所以，即x+y-1=λ（x+y-2ax-2by+a+b）.

∵點P在圓M上∴（x-4）+（y-2）=9，

∴x+y=8x+4y-11，

∴［8-λ（8-2a）］x+［4-λ（4-2b）］y=12+λ（a+b-11）

關(guān)于x、y的方程有無數(shù)組解，則必有8-λ（8-2a）=04-λ（4-2b）=012+λ（a+b-11）=0

解之得：a=2b=1λ=，或a=b=λ=，

所以存在定點R（2，1），使得為定值，且=；或存在定點R（，），使得為定值，且=.

點評：利用=λ建立關(guān)于a、b、λ、x、y的等式F（a、b、λ、x、y）=0，其中（a，b）為定點R坐標(biāo)，λ定值，（x，y）動點P坐標(biāo)。對于任意的變量x、y，等式F（a，b，λ，x，y）=0恒成立。因此，可以先將F（a，b，λ，x，y）=0整理為x、y的方程，此時求a，b，λ，使關(guān)于x、y的方程的所有系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0，則（a，b）就是所求定點R坐標(biāo)，λ就是所求定值。

上述各種類型的解析幾何探究性命題經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆治銮蠼庾罱K都可以劃歸為含變參數(shù)的等式，利用方程思想，將等式看作關(guān)于變參數(shù)的方程，則此方程有無數(shù)組解。我們可以利用此方程的所有系數(shù)（包括常數(shù)項）均為0進行求解。