新型Helmholtz 型聲子晶體的低頻帶隙及隔聲特性*

韓東海 張廣軍 趙靜波 姚宏

(空軍工程大學基礎部,西安 710051)

1 引言

近年來,軍用飛機的減振降噪性能成為衡量其性能的一項重要指標,由于飛機在起飛及飛行過程中產生的低頻噪聲不僅會嚴重影響飛行人員及地面機組人員的健康[1,2],同時還會造成機體結構及電子設備產生聲疲勞[3],大大降低飛機的使用壽命,造成較大損失,如何有效降低噪聲與振動對武器裝備的影響,對提升部隊戰斗力意義重大.研究可知,飛機艙室內500 Hz 以下的低頻噪聲強度猶大[4],且由于低頻噪聲波長較長,目前所應用的常規隔聲材料無法對其進行有效的控制[5],如何有效控制艙室內低頻噪聲成為目前亟待解決的難題.

近年來,隨著對聲子晶體研究的不斷深入,聲子晶體及聲學超材料的應用為解決飛機低頻噪聲問題提供了新的解決方案[6,7],聲子晶體是一種具有特殊聲學性質的周期性復合材料,其聲學性能主要是通過結構設計來實現,其中最為重要的特性是其聲波或彈性波的“帶隙”特性,其具體表現為:當位于帶隙頻率區間內的聲波或彈性波通過周期結構時,彈性波或聲波的傳播會受到抑制,但在帶隙頻率范圍外的傳播卻不受影響.這種帶隙特性使聲子晶體在減振降噪[8,9]、噪音控制[10,11]等方面應用前景廣闊,同時由于聲子晶體可以通過結構設計或者引入功能材料來調控聲子晶體能帶[12],因此能夠根據應用需求對不同頻率的噪聲進行控制.

聲子晶體可分為局域共振型聲子晶體和布拉格散射型聲子晶體,由于布拉格聲子晶體需要的結構尺寸往往很大,不便于實際應用;而基于局域共振型機理的聲子晶體能夠實現“小體積控制大波長”,因而有更加廣泛的應用,其中利用Helmholtz共鳴腔是局域共振型機理的典型應用,近年來,Helmholtz 型聲子晶體成為減振降噪研究領域熱點之一[13-16].其中,Liu 等[17]構建了多孔復合Helmholtz 諧振器的聲學超表面,在450—1360 Hz 范圍內具有近乎完美吸聲效果;Gao 等[15]將超彈性材料集成到Helmholtz 共鳴腔的主體結構中,設計了星形的軟Helmholtz 吸收體并產生不同的聲學特性.陳鑫等[18]設計了一種含有薄膜壁的Helmholtz型聲子晶體,通過空氣和薄膜的耦合振動,將單個帶隙擴展為多個帶隙.目前基于Helmholtz 腔的聲子晶體和聲學超材料,大多只利用空氣的共振作用,由于空氣密度的限制,其低頻隔聲性能往往無法進一步提升,因此,由簡單結構發展為復雜結構,由傳統結構發展為復合結構,追求“低頻、寬帶、輕質”成為聲子晶體發展趨勢[19,20].

為進一步突破Helmholtz 型聲子晶體帶隙下限,提高低頻隔聲性能,本文在之前設計的Helmholtz 聲子晶體[7]基礎上,對空氣通道進行了改進,設計了迷宮型開口空氣通道,并與兩層“橡膠-振子-橡膠”結構進行耦合;設計了一種新型的Helmholtz型聲子晶體結構,使用有限元法計算得到了該結構的帶隙結構及隔聲量,并分析了其帶隙產生機理;通過“力-聲類比”的方法建立了相應的等效模型,采用傳遞矩陣法對第一帶隙進行了計算;同時,通過仿真實驗探究了各結構參數對帶隙特性的影響,進一步驗證了等效模型的準確性,為聲子晶體設計探索提供了思路.

2 結構設計及其帶隙特性

2.1 結構設計

本文所設計的聲子晶體結構如圖1 所示,其中,圖1(a)為元胞的橫截面,其周期排列方向為如圖1(a)所示的x,y方向,圖1(b)為聲子晶體周期結構排列的示意圖.如圖所示,元胞的框架結構整體設置成正方形,其正方形框架的邊長為l1,腔壁厚度為b,框架的右側設置為迷宮型的開口空氣通道,懸臂梁數目為n,空氣通道總等效長度為l2,等效寬度為s,在框架左側用“硅橡膠-剛性振子-硅橡膠”結構代替原來框架的剛性壁,并在腔體中間設置相同的“硅橡膠-剛性振子-硅橡膠”結構,其中2 個剛性振子高度為lr,厚度為bs,腔體中間的剛性振子與左側框體距離為l3,在剛性振子兩端的硅橡膠長度為hr,寬度為br,外腔體積為V1,右腔體積為V2,左腔體積為V3.在結構設計中,可以通過調整空氣通道長度l2,晶格常數a等結構參數來達到調節帶隙的目的.圖中黑色部分為框架結構,材料為鋼;淺灰色部分為硅橡膠;深灰色部分為剛性振子.

對于傳統的Helmholtz 型聲子晶體,帶隙下限的降低主要通過增加開口處空氣通道的長度實現,但是空氣通道長度的增加往往使得Helmholtz 內腔體積減小,使得空氣彈簧的等效剛度增大,導致其第一帶隙下限無法進一步降低.本文結構對開口空氣通道進行了設計,采用迷宮型開口通道,這樣的設計在不減小內腔體積的條件下,大大增加了原來空氣通道的長度,使得第一帶隙的下限進一步降低;同時,在Helmholtz 共鳴腔中間及左側腔壁上加入剛性振子,并用橡膠進行兩端固定,這種設計可以提高帶隙的寬度并增加帶隙數目,大大提高該結構低頻隔聲性能.

2.2 帶隙特性及隔聲性能

通過Comsol Multiphysics 軟件(壓力聲學模塊和固體力學模塊)對上述聲子晶體結構進行仿真實驗,對該結構的能帶結構及隔聲量進行計算.在實驗過程中,各結構參數設置如下:框架邊長設置為l1=60 mm,腔壁厚度設置為b=1 mm,晶格常數a=62 mm,框架邊長l1=60 mm,開口空氣通道等效長度l2=510 mm,開口空氣通道等效寬度s=0.25 mm,硅橡膠厚度br=1 mm,硅橡膠高度hr=1 mm,剛性振子厚度bs=1 mm,長度lr=56mm,兩剛性振子之間距離l3=25 mm.

首先,在帶隙計算中,因框架材料設置為鋼,其聲阻抗比空氣大得多,由于阻抗不匹配,入射的聲波很難穿過固體框架,能夠引起固體振動的能量幾乎可以忽略,對結構帶隙的影響較小,因此在仿真實驗過程中,可以將結構框架設置為固定約束狀態,沿其不可約Brillouin 區邊界進行遍歷掃描,得到了0—500 Hz 頻率范圍內的能帶結構.在計算過程中,由于能帶結構表示的是聲波在無限大結構內傳播時頻率與波矢的關系,而無限大周期結構是由元胞沿周期性方向無限重復排布而成.因此,在計算周期結構的能帶關系時,考慮到其在水平x方向與豎直y方向呈周期排列,在其中1 個元胞的上下邊界和左右邊界施加兩對周期性邊界條件,將無限周期結構簡化為單一元胞結構.根據Bloch 理論,該結構采用Bloch-Floquet 邊界,其表達式為

式中,r為位置矢量,a為聲子晶體的晶格常數,k為波矢.雖然該結構不是嚴格對稱結構,但由于其帶隙機理基于局域共振原理,在對其1 個晶格進行建模時,仍可以按照不可約Brillouin 區進行掃描,這一方法已被廣泛用于Helmholtz 型聲子晶體帶隙研究[21].本文所選用的是正方形晶格,其對應的不可約Brillouin 區如圖2 所示.

其次,在隔聲量計算中,周期結構如圖3 所示,將7 個元胞沿縱向串聯,在周期性結構的左端設置背景壓力場(圖中編號2 部分),在兩端分別設置完美匹配層(圖中編號1,4 部分)模擬無限空氣域,用于吸收反射彈性波,保證結果準確性.最后在計算周期結構的隔聲量時,考慮到其在豎直方向呈周期排列,根據Bloch 理論,在結構的上下邊界設置Bloch-Floquet 周期性邊界以模擬橫向的無限周期.利用聲壓模式的隔聲量計算(2)式對0—500 Hz范圍內的聲波進行隔聲量計算,得到該結構在0—500 Hz 范圍內的隔聲曲線:

圖3 隔聲量仿真示意圖Fig.3.Schematic diagram of sound insulation volume simulation.

式中,T為隔聲量,P2為出射聲壓,P1為入射聲壓.

仿真實驗得到的0—500 Hz 范圍內的能帶結構及隔聲曲線如圖4 所示.圖4(a)中的結構在0—500 Hz 范圍內共有4 個完全帶隙(圖中淺灰色部分),分別為15.223—17.464 Hz,107.46—200.68 Hz,231.18—310.68 Hz,341.14—404.49 Hz,其中第一帶隙下限在15 Hz 左右,寬度為2.2 Hz 左右(其中A點是帶隙起點,B點為帶隙上限終點),此外,該結構還存在1 個107—200 Hz 的低頻寬帶帶隙(其中C點是帶隙起點,D點為帶隙上限終點),并在151 Hz 處出現了1 條平直帶.由圖4(b)可以看出,該結構的隔聲峰出現位置與帶隙下限位置相同,這驗證上述帶隙計算的正確性;其次,該結構在15 Hz 處出現1 個25 dB 的隔聲峰,在107 Hz和231 Hz 左右處出現2 個超過150 dB 的隔聲峰,且平直帶的出現對隔聲曲線無明顯影響.結果表明該結構具有較高的低頻隔聲性能.

圖4 (a) 結構帶隙圖;(b) 隔聲曲線Fig.4.(a) Band diagram;(b) transmission spectrum.

3 帶隙機理及等效模型

為研究該型聲子晶體的帶隙產生機理,探究Helmholtz 腔與剛性振子之間的耦合作用,本文取第一低頻帶隙的振動模態進行了分析研究,并采用“力-聲類比”方法建立的相應的等效模型.

第一帶隙下限起點A及上限終點B處的聲壓情況如圖5 所示,右側圖例為聲壓數值,其單位為Pa.由圖5(a)可以看出,在A點處,結構外腔聲壓最小且為零,聲壓按照“右腔-左腔-外腔”順序逐漸減小,空氣通道內聲壓由內向外逐漸減小,外腔聲壓為0,此處結構的固體振型如圖5(c)所示,由圖可以看出,兩振子同時向左振動,說明在A點處,振動與外腔空氣無關,聲波被局域在腔體內部,且無法向外傳播,由此形成帶隙下限.

由圖5(b)可以看出,在B點處,結構外腔聲壓最大,聲壓按照“外腔-左腔-右腔”順序逐漸減小,且空氣通道內聲壓由內向外逐漸增大,此處結構的固體振型如圖5(d)所示,可以看出,兩振子同時向右振動.表明此時聲波可以在腔體外部傳播,彈性振子與開口中空氣同樣做相向振動,此時形成帶隙上限.

圖5 (a) A 點處聲場壓力圖;(b) B 點處聲場壓力圖;(c) A 點處振型圖;(d) B 點處振型圖Fig.5.(a) The sound pressure distribution diagram of point A;(b) the sound pressure distribution diagram of point B;(c) the vibration mode diagram of point A;(d) the vibration mode diagram of point B.

對于151 Hz 處平直帶處的振動模態,結合聲壓場和“硅橡膠-剛性振子-硅橡膠”結構的振型進行分析.

如圖6(b)所示,剛性振子沿其軸向上下振動,在振動過程中各腔體積均沒有發生改變,但由于存在流固耦合作用,左右腔內的聲壓場發生變化,但這種變化是上下反對稱的(如圖6(a)所示),故在該過程中總的等效聲壓為零.此時,聲波仍然被局域在腔內,不能繼續向外傳播,故該平直帶的存在并不影響此結構的隔聲特性.

圖6 (a) 平直帶處聲場壓力圖;(b) 平直帶處聲場振型圖Fig.6.(a) The sound pressure distribution diagram of the straight belt;(b) the vibration mode diagram of the straight belt.

對于聲子晶體帶隙機理研究,一般通過建立“力-聲類比”模型或“電-聲類比”模型來進行研究,本文選用“力-聲類比”模型進行帶隙研究,并通過傳遞矩陣法對帶隙進行求解,設該結構高度為1,為了方便研究,將該聲子晶體結構劃分為“外腔空氣、開口通道內空氣、內腔(左、右腔)空氣、剛性振子、硅橡膠”等部分,現將各部分分析如下.

1)針對“開口通道內空氣”部分,由于空氣通道寬度較小,通道體積遠小于腔體體積,且聲波的波長遠大于Helmholtz 腔的線度,故迷宮型通道中的空氣都處于聲波波長的1 個小區域,可以認為通道內的空氣振動是相同的,該部分即可等效為在開口通道內運動的彈性桿,其等效質量由m1表示,其表達式為

其對應的傳遞矩陣為

式中,ρair為空氣的密度,l2為空氣通道的等效長度,s為空氣通道的橫截面積,為波數,ω為角頻率,c為此時空氣中的聲速.

2)針對“右腔空氣”和“外腔空氣”部分,當開口通道內空氣發生振動時,腔中的聲壓會隨開口通道內空氣運動而發生周期性的壓縮和膨脹,同時,腔中空氣壓強的變化又會反作用于開口通道內空氣的運動,忽略其慣性力,該部分可等效為無質量的彈簧,其等效剛度計算公式為

外腔空氣對應的傳遞矩陣為

右腔空氣對應的傳遞矩陣為

式中,lr為剛性振子的長度,V1,V2分別表示外腔和右腔體積.

3)針對內腔中間“剛性振子”部分,其等效質量可以由m2表示,其表達式為

其對應的傳遞矩陣為

式中,ρs和ρr分別為彈性振子和橡膠的密度,bs和br分別為彈性振子和橡膠的厚度,hr為橡膠的高度,l1為該結構框架的邊長.

4)針對剛性振子兩邊的硅橡膠和“左腔空氣”部分,當剛性振子振動時,兩側橡膠會發生較小的彈性變形,可以看作是振動的伯努利-歐拉梁,故將其等效為彈簧,同時,左腔空氣起到一個空氣彈簧的作用,可等效為無質量的彈簧.兩彈簧并聯共同作用于內腔中間的剛性振子,其中硅橡膠剛度可以用k1表示,左腔空氣彈簧的等效剛度用k2來表示,其表達式為[19]

該并聯彈簧所對應的傳遞矩陣為

式中,I表示截面慣性矩,E,G分別表示彈性模量和剪切模量,κ=0.833 為截面系數,V3表示左腔體積.

綜上所述,對于帶隙下限,此時該結構可等效為圖7(a)所示的串聯系統,而對于帶隙上限,此時可等效為圖7(b)所示的環形系統.

圖7 (a)帶隙下限系統示意圖;(b)帶隙上限系統示意圖Fig.7.(a) The system corresponding to the lower limit of band gap;(b) the system corresponding to upper limit of the band gap.

設聲波傳遞方向為由內向外傳播,傳遞順序為“左腔-右腔-開口通道”,在帶隙下限處,聲波不能在外腔中傳播,則其總體傳遞矩陣為

根據邊界條件,可得方程

式中,X1為空氣通道內空氣桿的位移,X2為左側剛性振子位移,N1為左側剛性振子的受力.并且,根據振子位移與其受力關系,可得

聯立(14)式,(15)式可得

在帶隙上限處,聲波可在外腔中傳播,傳遞順序為“左腔-右腔-開口通道-外腔”,此時可等效為環形系統,則其總體傳遞矩陣為

根據邊界條件,可得方程:

并且,根據振子位移與其受力關系,可得

式中,N2為外腔對剛性振子的壓力.聯立(18)式,(19)式可得

由(16)式、(20)式即可分別解出該結構第一帶隙的上下限范圍.

本文采用有限元法和傳遞矩陣法求解了該結構第一低頻帶隙的上下限,結果如表1 所示.從表1可以看出,對于該結構的第一帶隙,兩種方法得到的結果相近,驗證了模型假設的正確性.造成誤差的主要原因:一是開口空氣通道的等效長度及等效寬度不夠準確,存在一定誤差,二是通道內空氣可壓縮性的影響不可忽略,理論計算值會有較大的誤差.

表1 兩種方法所得的帶隙范圍Table 1.The low-frequency band gap range obtained by the two methods.

4 帶隙影響因素研究

為了分析部分結構參數對帶隙結構的影響,本文通過改變結構各項參數,利用COMSOL Multiphysics 軟件進行仿真實驗,并通過等效模型進行理論計算,探究了結構參數變化對其低頻帶隙的影響情況,進一步揭示了其帶隙產生機理.

圖8 顯示了晶格常數a對該結構第一帶隙上下限的影響.在實驗及理論計算過程中,保持其他參數不變,改變晶格常數a的大小,結果如圖8 所示.由圖中可以發現,第一帶隙下限的數值不隨晶格常數改變而改變,這是由于帶隙下限處等效模型總的傳遞矩陣與外腔空氣無關,晶格常數的改變僅使得外腔空氣的等效剛度發生改變,故帶隙下限頻率基本不變;帶隙上限會隨著晶格常數增大而不斷減小,這是由于晶格常數增大會直接導致外腔空氣體積V1增大,使得外腔空氣等效剛度k1減小,導致帶隙上限向低頻方向移動.結果驗證了仿真實驗與理論計算的一致性,說明對于該結構,在進行周期性排列時,結構之間的間距越小,產生的帶隙就越寬.

圖8 晶格常數a 對第一低頻帶隙的影響Fig.8.Influence of the lattice constant a on the first band gap.

圖9 顯示了迷宮型通道長度l2對第一帶隙上下限的影響.在仿真實驗過程中,保持其他參數不變,改變懸臂梁的個數n,從而改變空氣通道長度l2,隨著l2的增加,其帶隙上下限都在下降,且帶隙寬度略有減小,這是因為在其他結構參數保持不變的條件下,隨著空氣通道的長度l2不斷增加,使得通道內空氣所等效的彈性振子的等效質量m1不斷增加,與此同時,右腔體積不斷減小,使得右腔空氣所等效的彈性模量不斷增大,因此使得帶隙的上下限不斷減小.

圖9 空氣通道長度l2 對第一低頻帶隙的影響Fig.9.Influence of the length of air channel l2 on the first band gap.

圖10 顯示彈性振子的材料參數與第一、二帶隙上下限之間關系,仿真實驗選用銅、鋼、鋁、碳、環氧樹脂等材料進行研究,由圖中可以看出,材料參數的不同對該聲子晶體的帶隙上下限具有較大的影響.分析其影響帶隙的主要因素,由表2 可以看出,由于這些材料的楊氏模量基本上處于同一量級,密度相差較大,故彈性模量對帶隙變化影響可以忽略,而影響該結構帶隙的因素主要考慮其密度的不同,從圖中可以看出,隨著材料密度不斷增大,第一帶隙上下限變化不大,第二帶隙的上下限不斷減小,且寬度呈現不斷減小的趨勢.根據等效模型可知,第一帶隙主要是由于空氣通道的空氣振動造成的,而第二帶隙主要是剛性振子振動所造成的.在實驗過程中,空氣通道的長度不發生改變,空氣通道中空氣所等效的振子質量不發生變化,所以彈性振子材料的改變對第一帶隙的影響可以忽略不計;材料密度改變會使得彈性長桿的振子質量發生改變,且密度越大,彈性長桿質量越大,由等效模型的方程可知,彈性長桿質量增加會使得第二帶隙上下限不斷降低,使得第二帶隙寬度相應減小.

圖10 振子材料對第一、二低頻帶隙的影響Fig.10.Influence of oscillator material on the first and second band gaps.

表2 材料參數Table 2.Material parameters.

5 結論

本文設計了一種新型Helmholtz 型聲子晶體,該結構采用迷宮型開口空氣通道,并與兩層剛性振子進行耦合.通過理論分析,建立了該結構的等效模型,并通過有限元法和傳遞矩陣法計算了該結構的低頻帶隙,揭示了帶隙產生機理,研究了帶隙的影響因素以及隔聲性能.

1)新型聲子晶體在60 mm 的結構尺寸下,將第一帶隙下降達到15 Hz,且在100 Hz 左右得到寬度超過93 Hz 的帶隙寬帶,具有較好的低頻隔聲特性,在飛機客艙低頻減振隔聲領域的應用具有工程意義.

2)通過“力-聲類比”方法對該結構進行了分塊分析,并建立了與之對應的“彈簧-振子”等效模型,進一步揭示了其帶隙產生機理.采用有限元法和傳遞矩陣法求解了第一帶隙的上下限,所得結果基本相符,驗證了模型假設的正確性.

3)通過有限單元法和等效模型法兩種方法研究了各結構參數對帶隙對影響,研究發現:晶格常數、開口通道長度及剛性振子的密度對低頻帶隙都具有一定影響;增加開口通道長度和晶格常數都會降低第一帶隙下限,增加振子材料密度能夠有效降低第二帶隙的上下限.這些結論在Helmholtz 型聲子晶體在隔聲在低頻隔聲領域的應用有一定的指導意義.