具有不確定參數的耦合神經網絡固定與預設時間二分同步

2022-06-18 02:20:36王陸翔劉小洋

重慶理工大學學報(自然科學) 2022年5期

王陸翔，劉小洋

(江蘇師范大學計算機科學與技術學院, 江蘇徐州 221116)

0 引言

神經網絡是從人腦神經元抽象得來的算法模型，由于其具有分布式計算、自適應、逼近復雜函數等能力，廣泛應用于經濟、醫學、控制以及信息等領域[1-3]。同步是一種典型的動力學行為，它是指系統狀態隨時間變化趨于一致。其中，耦合神經網絡(CNNs)的同步因其在知識工程、圖像加密、信息科學等領域的廣泛應用備受研究者關注[4-7]。目前，常見的同步類型有完全同步、滯后同步、反同步等[8-10]。

在神經網絡同步過程中，受到外部干擾與不確定參數的影響幾乎是不可避免的。這可能會造成神經網絡不穩定或出現混沌現象。因此有必要探究不確定參數與外部干擾對CNNs同步行為的影響。例如，Zheng等[11]基于間歇牽制方法，解決了具有不確定參數的CNNs的魯棒同步問題。

在上述同步研究中，所設計的控制算法僅能保證漸近同步，只有當時間趨向于無窮大時系統才能到達完全同步。但是在實際工程應用中，具有較快收斂速度的控制系統擁有更大的應用優勢，因此學者們開始研究有限時間同步問題。與漸進同步相比，有限時間同步具有更快的收斂速率、更高的控制精度以及更強的魯棒性與抗干擾性。梁軍麗等[12]設計了非連續控制協議來解決切換CNNs的有限時間同步問題。盡管有限時間同步具有許多優點，但其同步時間嚴重依賴于系統的初始狀態。鑒于此，Polyakov[13]首次提出了固定時間穩定性的概念，其收斂時間不再依賴于系統初始狀態。后來，Zhu等[14]討論了具有外部擾動的CNNs的固定時間同步問題。雖然固定時間控制的同步時間獨立于系統的初始值，但想要在預設的時間內達到同步，設計者必須經過復雜的計算來調整控制參數，這增加了實際應用中的繁瑣性。對此，Hu等[15]討論了復雜網絡的預設時間同步，該同步時間作為參數由設計者提前設定在控制協議中，可以根據任務的需求相應調整，具有更好的實用性。

然而，上述文獻僅考慮網絡節點之間是合作關系。事實上，在實際生活中，網絡節點之間不僅存在合作關系，還有可能存在競爭關系，該網絡稱之為符號網絡，其同步稱之為二分同步。例如，Mao等[16]討論了具有不確定參數的CNNs的有限時間二分同步問題。陳蘇浩等[17]研究了具有時滯和干擾的CNNs的固定時間二分同步問題。

鑒于以上討論，本文中主要考慮具有不確定參數與外部干擾的CNNs的固定與預設時間二分同步問題。主要創新點歸納如下:

1) 與文獻[15]中無符號圖的固定時間完全同步相比，本文中在符號圖下研究了固定時間二分同步問題，該網絡拓撲中的節點既存在合作關系，又存在競爭關系。

2) 與文獻[16]中有限時間二分同步相比，本文中研究了具有不確定參數的CNNs的固定時間二分同步問題，該同步時間與系統初始狀態無關。

3) 與文獻[17]中固定時間二分同步相比，本文中討論了具有不確定參數的CNNs的預設時間二分同步，該同步時間可由設計者根據任務需求來提前預先設定。

1 預備知識

1.1 圖論

各節點之間的通信拓撲可由無向圖G={V,E,A}表示，節點集V={v1,v2,…,vN}，邊集E?V×V，鄰接矩陣A=[aij]∈RN×N。對于無向圖，如果節點i和節點j之間有邊相連，則aij=aji>0;否則aij=aji=0。集合Nj={i:(vi,vj)∈E}表示節點j的所有鄰居。

對于符號圖G，如果將節點集V劃分成2個互不相交的子集V1與V2，且滿足?vi,vj∈Vf(f∈{1,2}),aij≥0；且對?vi∈Vf,vj∈Vg,(f≠g,f,g∈{1,2}),aij≤0，則符號圖G為結構平衡圖，反之為結構非平衡圖。

1.2 集值李導數

1.3 模型描述

考慮具有N個節點的耦合神經網絡(CNNs)，其動力學描述為:

(1)

式(1)的同步目標為:

(2)

式中：s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T表示同步目標軌道。

假設1CNNs的符號圖G是連通的且結構平衡的。

引理1[18]若假設1成立，則存在對角矩陣W=diag{w1,w2,…,wN},wi∈{-1,1},?i∈N，使得WAW=Au為非負矩陣，其中Au=[|aij|]∈RN×N。

假設2CNNs中的激活函數f(x)滿足以下條件:

1) ?x∈Rn,f(-x)=-f(x);

2)f(x)-f(v)≤l(x-v)，常數l>0。

假設3不確定參數ΔC(t)和ΔB(t)滿足:

ΔC(t)=MG(t)HC, ΔB(t)=MG(t)HB

其中矩陣M,HC,HB是已知的常數矩陣，G(t)是未知矩陣且滿足GT(t)G(t)≤In。

引理2[19]對于任意向量x,y∈Rn和正定矩陣Q∈RN×N，滿足2xTy≤xTQx+yTQ-1y。

引理4[15]考慮以下系統:

(3)

式中：y∈Rn,g:Rn→Rn是不連續但局部可測的函數，并且g(0)=0。如果存在連續正定且徑向無界函數V(y):Rn→R滿足

其中，k∈R,α>0,β>0,ζ>1,0≤ξ<1,則有如下結論：

1) 當k≤0時，式(3)的平衡點是固定時間穩定的，并且駐留時間的上界為：

其中，ε=(1-ξ)/(ζ-ξ)。

2) 當0

引理5[15]對于式(3)，如果存在連續正定且徑向無界函數V(y):Rn→R滿足

引理6[15]對于式(3)，如果存在連續正定且徑向無界函數V(y):Rn→R滿足

αVζ(y(t))-βVξ(y(t))

2 主要結論

2.1 結構平衡圖下的固定時間二分同步

研究結構平衡圖下CNNs的固定時間二分同步問題。

(4)

(5)

令ei(t)=wixi(t)-s(t)，針對式(1)，設計控制器如下:

ui(t)=-λ1sign(wiei(t))-λ2sigθ(wiei(t))

(6)

其中,λ1>0,λ2>0,θ>1,sigθ(x)=sign(x)|x|θ。

將式(6)代入式(2)和(5)，可得誤差系統:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

λ1sign(ei(t))-λ2sigθ(ei(t))

(7)

證明由于式(7)是非連續的，需引入微分包含理論。記式(7)右端為Φi(t)，并記Φ(t)=[Φ1(t),Φ2(t),…,ΦN(t)]T，由Filippov集值映射可得:

F[Φi(t)]=F[-(C+ΔC(t))ei(t)+

wiδi(t)-λ1sign(ei(t))-λ2sigθ(ei(t))]?

λ1sign(ei(t))-λ2sigθ(ei(t))

(8)

基于可測選擇理論，選取函數μi(t)∈sign(ei(t))。由式(8)可得:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

λ1μi(t)-λ2sigθ(ei(t))

(9)

構造Lyapunov函數

并沿著式(9)對V(t)關于時間t求集值李導數，可得:

wiδi(t)-λ1μi(t)-λ2sigθ(ei(t))]

(10)

基于引理2、假設3，可得:

(11)

基于引理2、假設2和3，可得:

(12)

因為矩陣Lu是行和為0且半正定的，特征值滿足0=λ1(Lu)<λ2(Lu)≤…≤λN(Lu)。可得:

(13)

對于有界的外部干擾，可得:

(14)

基于引理3，可得：

(15)

將式(11)—(15)代入式(10)可得:

λV(t)-α(V(t))θ-β

(16)

當λ≤0時，式(16)變為:

LΦV(t)≤-α(V(t))θ-β

(17)

由引理4中結論1)可知，CNNs在固定時間內同步到目標軌道，且同步時間滿足:

當0<λ

其中,η=4αβ-λ2。

證明完畢。

注1與文獻[16]中研究的具有不確定參數的CNNs的有限時間二分同步不同，本文中研究的是固定時間二分同步，該同步時間與系統的初值無關。

2.2 結構平衡圖下的預設時間二分同步

討論在結構平衡圖下，CNNs的預設時間二分同步問題。

首先，對于λ≤0的情形，設計控制器如下:

(18)

此時，式(9)為:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

(19)

證明考慮相同的Lyapunov函數V(t)，沿著式(19)對V(t)關于時間t求集值李導數，可得:

(20)

與式(14)相似，可得:

(21)

進而，

(22)

由引理6可知，CNNs在預設時間內同步到目標軌道，同步時間為Tr。證明完畢。

對于0<λ

(23)

此時，式(9)為:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

(24)

證明由式(24)對Lyapunov函數V(t)關于時間t求集值李導數，可得:

(25)

進而，

(26)

(27)

由引理6可知，CNNs在預設時間內同步到目標軌道，同步時間為Tr。證明完畢。

注2 以上同步時間Tr是用戶提前預設的，不需要估算，且與控制器和系統參數都無關。

注3二分同步問題在軍事、生物以及物理領域中都有許多潛在的應用。例如，無人飛行器在執行偵察任務遇到障礙物時，需要控制所有飛行器向兩側展開以實現避障的目的。

3 數值仿真

給出2個數值模擬來驗證所提控制協議的有效性。

例1在結構平衡圖(圖1)下，考慮5個節點構成的耦合神經網絡(CNNs)的固定時間二分同步問題，其中，節點集V劃分為V1={1,2}和V2={3,4,5}，則矩陣W=diag{1,1,-1,-1,-1}。目標節點的初值s(0)=[1,-1]T。選取初始狀態x1(0)=[0.5,0.8]T,x2(0)=[-0.9,1.6]T,x3(0)=[-2,-3]T,x4(0)=[0.5,-1.2]T,x5(0)=[-0.5,1]T。取CNNs的系數如下: