六自由度并聯機構運動學分析與仿真

李團飛， 劉 飛， 趙俊峰， 王 杰

(1.洛陽市科技情報研究所， 河南 洛陽 471003； 2.中材建設有限公司， 河北 唐山 063000； 3.洛陽一拖眾成配件制造有限公司， 河南 洛陽 471003)

并聯機構(Parallel Mechanism)是指至少以兩條可以獨立運動的驅動支鏈連接末端執行器和一個固定平臺，從而使得末端執行器實現多個自由度運動的機構[1,2]。6-UPS并聯機構屬于六自由度并聯機構的一種，由動平臺、定平臺和六條驅動支鏈構成。其中：U代表虎克鉸，P代表移動副，S代表球鉸。定平臺固定在基座上，驅動支鏈伸縮桿端由球鉸連接到動平臺上，缸體端由虎克鉸連接到定平臺上，驅動支鏈借助伸縮運動完成動平臺在空間內6個自由度的運動。六自由度并聯機構具有結構穩定、定位精度高、剛度大、承載能力強、速度快等優點，廣泛應用于運動模擬、航空航天、汽車制造、國防軍事和生活娛樂等領域[3]。

并聯機構的運動學分析是進行動力學分析、控制策略研究和優化設計的基礎[4]，建立準確的運動學模型至關重要。本文將6-UPS并聯機構的模型簡化，進行自由度計算，建立坐標系，利用坐標變換矩陣確定動平臺與定平臺的位姿關系，推導出6-UPS并聯機構的運動學方程，對建立的6-UPS并聯機構模型進行運動學仿真分析。

1 結構分析與自由度計算

1.1 結構分析

作為一種能夠在空間中完成6個自由度運動的機構，6-UPS并聯機構結構簡圖如圖1所示。圖中，La～Lf表示電動缸，Ra為動平臺半徑，A1、A2、A3、A4、A5、A6為6個球鉸的位置，A4A5之間的距離da為上鉸鏈點短邊距。Rb為定平臺半徑，B1、B2、B3、B4、B5、B6為6個虎克鉸的位置，B1B2之間的距離db為下鉸鏈點短邊距。將鉸鏈點A1、A2、A3、A4、A5、A6與B1、B2、B3、B4、B5、B6按順序連接組成一個規則的六邊形，兩個六邊形之間的方位差為180°。Oa-XaYaZa為動平臺連體坐標系，Ob-XbYbZb為定平臺慣性坐標系。

1.2 自由度計算

6-UPS并聯機構中，活動構件總數為13，機架構件總數為14，球鉸自由度為3，虎克鉸自由度為2，移動副自由度為1，運動副總數為18。

利用空間機構自由度計算公式[5]計算6-UPS并聯機構的自由度：

(a)主視圖 (b)俯視圖

(1)

式中：F為機構自由度數；n為活動構件總數；m為運動副總數；Pi為第i個運動副的限制自由度數。

利用Kutzbach-Grubler公式[6]進行自由度校核計算：

(2)

式中：F為機構自由度數；n為活動構件數(包括機架)；m為運動副數；fi為第i個運動副的自由度數。

計算結果表明：6-UPS并聯機構的自由度為6，滿足6個自由度運動的條件。

2 運動學分析

2.1 坐標系建立與位姿描述

6-UPS并聯機構動平臺上的連體坐標系可以看作是定平臺上的慣性坐標系經過平移和旋轉后得到的。為了定量描述動平臺各處的坐標，在動平臺的質心處建立連體坐標系Oa-XaYaZa，在定平臺的質心處建立慣性坐標系Ob-XbYbZb。

將慣性坐標系按照沿X軸、Y軸、Z軸的順序進行平移，使得慣性坐標系原點Ob與連體坐標系原點Oa重合(如圖2(a)所示)獲得平移變換矩陣。

(a)平移示意圖 (b)旋轉示意圖

在經過3次平移變換之后，獲得最終的平移變換矩陣：

(3)

將慣性坐標系按照繞Z軸、Y軸、X軸的順序進行旋轉，使得慣性坐標系和連體坐標系坐標軸完全重合如圖2(b)所示，獲得旋轉變換矩陣。

第1次繞軸OaZa旋轉偏航角γ時，旋轉矩陣為

(4)

第2次繞軸OaY′a旋轉偏航角β時，旋轉矩陣為

(5)

第3次繞軸OaX″a旋轉偏航角α時，旋轉矩陣為

(6)

在經過3次旋轉變換之后，獲得最終的旋轉變換矩陣：

(7)

因此，由慣性坐標系到連體坐標系的變換矩陣為

(8)

2.2 位置分析

選取電動缸為研究對象，利用空間坐標變換的方法，在已知動平臺空間位置和姿態的情況下求解6條電動缸的位移(稱為位置反解)。

由圖1可知，在已知動平臺半徑Ra和定平臺半徑Rb的情況下，上下鉸鏈點Ai、Bi(i=1，2，…，6)可以在各自的坐標系上表示，從而確定電動缸長度矢量Li：

Li=RAi+Ei-Bi(i=1，2，…，6)

(9)

設

(10)

代入式(9)得

(11)

式中：R為經過3次旋轉變換后得到的旋轉變換矩陣。

根據向量模的定義可知動平臺的位置反解為

(12)

式中：li為第i個電動缸的長度。

電動缸的位移為

Si=li-l0(i=1，2，…，6)

(13)

式中：l0為電動缸的初始長度。

2.3 速度分析

利用坐標變換法和矩陣微分法，將動平臺各缸的位移表達式對時間t求一階導數，可以得到各缸的速度表達式[7]。

令φi表示沿電動缸長度矢量Li的單位矢量，則

(14)

li與Li的關系為

(15)

兩邊對時間t求導，整理得第i個電動缸的速度表達式：

(16)

(17)

對矩陣R的每一項求一階導數：

(18)

整理后，第i個電動缸的速度為

(19)

2.4 加速度分析

將動平臺各缸的位移表達式對時間t求二階導數，可以得到各缸的加速度表達式，其中第i個電動缸的加速度表達式為

(20)

(21)

對矩陣R的每一項求二階導數：

(22)

整理后，第i個電動缸的加速度為

(23)

3 運動學仿真分析

在Catia中建立6-UPS并聯機構的模型，將其導入到Adams中，對模型添加材料屬性，在電動缸與動平臺之間的球鉸上添加球副，電動缸與定平臺之間的虎克鉸上添加虎克副，電動缸的伸縮桿上添加移動副。6-UPS并聯機構模型如圖3所示。

圖3 6-UPS并聯機構模型

當動平臺的位姿參數或電動缸的運動參數按某種規律運動時，利用Adams中的PostProcessor模塊可以直接獲取各種隨時間變化的曲線[8]。為分析6-UPS并聯機構的運動學特性，在Adams中利用Step函數為動平臺添加位姿參數，使其先沿X軸、Y軸、Z軸平動，再繞X軸、Y軸、Z軸轉動。位姿參數如表1所示。

表1 位姿參數

驅動設置好之后將仿真參數中的時間設置為60 s，步數設置為100，對6-UPS并聯機構進行運動學仿真，結果如圖4～圖8所示。

由圖4和圖5可知，動平臺位移在0～20 s范圍內保持不變，在20～30 s范圍內增加100 mm，在30～60 s范圍內再次保持不變，這是由于沿X軸、Y軸的平動與繞X軸、Y軸、Z軸的轉動不影響動平臺幅值的變化。動平臺速度與加速度在0～30 s范圍內呈周期性變化，在30～60 s范圍內保持0值不變，而動平臺的角速度與角加速度變化趨勢相反，這是由于動平臺的轉動只具有角速度與角加速度，而與速度、加速度無關。

圖4 動平臺位移、速度與加速度曲線

圖5 動平臺角速度、角加速度曲線 圖6 電動缸位移-時間曲線

圖7 電動缸速度-時間曲線 圖8 電動缸加速度-時間曲線

結合圖6～圖8可知，在0～60 s范圍內，臺架中各電動缸不同伸縮量完成預期的動平臺位姿，運動過程中各電動缸速度與加速度變化趨勢保持一致，位移、速度和加速度變化曲線與定義的動平臺位姿相匹配，各仿真曲線整體變化平穩、無波動、無異常點。6-UPS并聯機構能夠實現橫移、縱移、升降、俯仰、側傾和橫擺6個自由度的運動，具有良好的運動特性。

4 結 語

本文將六自由度并聯機構的模型簡化，通過坐標變換確定了機構動平臺與定平臺的位姿關系，推導了機構的運動學方程。利用Adams軟件對建立的6-UPS并聯機構進行了仿真分析，為后續6-UPS并聯機構的動力學分析和控制策略研究奠定了基礎。