基于均勻化理論的混凝土等效彈性模量預測

陳思翰，呂方濤，黃 威，王玲玲，孔德文

(貴州大學土木工程學院，貴陽 550025)

0 引 言

混凝土作為一種典型的非均質復合材料，其宏觀力學性能由其細觀乃至微觀結構決定。因此，只有從細觀尺度出發，深入研究混凝土材料在細觀層次的組成和排列結構的作用與內在聯系，從局部到整體，從細觀到宏觀，才能更清楚地把握混凝土材料的力學性能[1]。Roelfstra等[2]在混凝土材料力學性能的研究中引入“細觀”這一概念，將混凝土視為由骨料、水泥砂漿及二者間界面構成的三相復合材料。借鑒細觀尺度的研究思想，國內外學者開展了諸多研究，逐漸發展形成了混凝土細觀力學，并建立了細觀力學及多尺度模擬的數值實現方法，利用數值結果揭示混凝土材料細觀成分對其宏觀力學特性的影響規律及作用機理。

彈性模量是反映混凝土材料力學性能的重要指標，用于研究混凝土材料變形、裂紋開裂和擴展及損傷等。因此，彈性模量的確定是研究混凝土力學性能的關鍵環節。在細觀模型應用方面，劉光廷等[3]提出了隨機骨料模型，用于表征混凝土中骨料的空間隨機分布情況，為后續研究提供了基礎。Christensen等[4]建立兩相模型，用于預測復合材料的等效彈性模量，但未考慮界面過渡區的影響。Nilsen等[5]研究表明，骨料-水泥砂漿間界面過渡區對混凝土的等效彈性模量存在一定影響。為更準確預測混凝土的彈性模量，Neubauer等[6]提出了考慮界面層影響的混凝土細觀模型。在理論研究方面，復合材料彈性性能的預測分析方法主要包括代表體元法、工程經驗公式法、自洽法及均勻化理論等。其中，代表體元法與工程經驗公式法簡單易行，但代表體元法的誤差難以預測且不具備嚴格的數學理論，工程經驗公式法則缺乏普適性，預測效率較低[7]。自洽法的應用對象為結構簡單的復合材料，研究對象為結構復雜的復合材料時，表現出計算量較大的缺點。而均勻化理論是一種量化復合材料微觀結構與其宏觀性能之間聯系及相互作用的多尺度分析方法，應用嚴格的理論基礎研究復合材料微觀結構與宏觀性能的關系[8]。唐欣薇等[9]從細觀尺度出發，基于均勻化理論研究了混凝土的宏觀力學性能，宏細觀結果具有較好的一致性。鄧方茜等[10]采用均勻化理論，預測纖維混凝土的彈性模量，預測值與試驗值吻合較好。Ouyang等[11]基于細觀模型，運用均勻化理論研究了混凝土細觀組分與彈性模量的關系。綜上所述，基于混凝土真實結構，建立與其對應的細觀模型，采用多尺度分析方法可較好預測混凝土的宏觀力學特性，是量化細觀組分對混凝土宏觀結構力學性能影響程度的可靠研究方法。

本文將混凝土視為由骨料、水泥砂漿及兩者間界面過渡區組成的三相復合材料，采用瓦拉文公式實現骨料級配選取，運用蒙特卡羅方法完成骨料的隨機生成與投放，建立具有周期性的混凝土單胞模型，利用Python自動施加周期性邊界條件，結合均勻化理論，提出混凝土等效彈性模量的預測方法；基于混凝土單胞模型，通過控制變量法研究單胞尺寸、骨料體積率、骨料最大粒徑和界面層厚度對混凝土等效彈性模量的影響規律。

1 單胞模型的建立

1.1 骨料級配

為使混凝土產生最優的結構密度和強度，通常采用富勒曲線表示混凝土的骨料粒徑分布。富勒曲線是針對三維空間中的骨料而言的，然而三維模擬較為復雜，計算量巨大。Walraven等[12]基于概率統計提出了富勒曲線的二維轉化公式，將其轉化為混凝土內截面上任一點具有骨料直徑D

(1)

式中：D0為篩孔直徑；Pk為混凝土中骨料的占比；Dmax為混凝土中骨料的最大粒徑。

1.2 骨料生成與投放

混凝土細觀建模的原則是盡可能準確地反映混凝土的真實結構，表現骨料形狀的不規則性及骨料位置分布的隨機性。本文基于蒙特卡羅方法，利用Python的random模塊，實現隨機多邊形骨料的生成與投放，如圖1所示。骨料的生成到投放分為三個步驟：

(1)確定中心坐標。在邊長為x0、y0的矩形區域內隨機生成一點(xi,yi)，作為骨料衍生的中心坐標。

(2)建立隨機多邊形骨料。根據粒徑范圍控制骨料頂點與中心坐標之間的距離Pi，以隨機角度Qi生成n(5≤n≤9)個頂點k，連接各頂點構成多邊形骨料。

(3)判斷骨料與模型邊界的相對關系。若骨料位于模型內部，則不做處理；若骨料超出模型邊界，則刪除該骨料；若骨料與模型邊界相交，則對骨料進行切割，并將超出邊界的部分置于邊界的中心對稱處，實現骨料的周期性分布。

圖1 骨料的生成與投放Fig.1 Generation and delivery of aggregate

1.3 單胞模型

建立由骨料、水泥砂漿及兩者間界面過渡區構成的混凝土單胞模型，如圖2所示。運用瓦拉文公式確定混凝土的粒徑分布，采用蒙特卡羅方法實現隨機多邊形骨料的生成與投放，建立具有周期可重復性的單胞模型，即可由許多個微觀單胞模型重復堆疊構成宏觀層次的模型。因此，混凝土單胞模型的有效性質可用于表征混凝土的有效性能。

圖2 單胞模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of unite-cell model

2 理論分析方法

2.1 均勻化理論

均勻化理論是研究周期性細觀結構的一套嚴格的數學理論。它以構成材料細觀結構的單胞為研究對象，將宏觀結構中一點的位移、應力等物理量采用攝動解的形式，展開為與細觀結構相關攝動量的漸進級數，利用虛功原理得到單胞的平衡方程，再引入單位荷載和邊界條件，通過相關數學變換得到單胞的等效彈性模量。

設在空間R3中占據體積Ω的混凝土材料結構如圖3所示，結構體受體力f，在邊界Γt上受表面力t，Γu上給定位移u。對于非均質復合材料，其宏觀結構受外力作用時，應力和位移等場變量隨宏觀位置的改變而改變，而細觀結構的高度非均勻性導致這些場變量在宏觀位置的微小領域內產生劇烈變化。對于此類雙尺度問題，可引入小參數ε(0<ε?1)，令y=x/ε，其中y為細觀坐標，x為宏觀坐標，1/ε為放大因子。

假設所有變量均建立于宏、細觀雙尺度基礎上：

Φε(x)=Φ(x,y)

(2)

式中：ε表示該函數具有雙尺度的特征。

假設單胞模型滿足下列邊界條件及三大基本方程：

力邊界條件：

(3)

位移邊界條件：

(4)

平衡方程：

(5)

幾何方程：

(6)

本構方程：

(7)

圖3 周期性單胞示意圖Fig.3 Schematic diagram of periodic unite-cell

采用漸進開展方法，將任一點位移uε(x)展開為：

uε(x)=u0(x,y)+εu1(x,y)+ε2u2(x,y)+…

(8)

由虛功原理可得：

(9)

式中：u為單胞的位移；v為邊界條件下的虛位移。

將式(8)代入式(9)可得到關于u0、u1的攝動方程，根據周期函數的性質，通過相關的數學變換，可得出單胞的等效彈性模量：

(10)

2.2 周期性邊界條件

對單胞等效彈性模量的求解，現已有多種方法可以選擇，考慮到計算成本，本文選擇引入周期性邊界條件，在周期性邊界條件下對單胞施加不同的初應變進行求解。單胞的周期性邊界條件可表述為：

(11)

對此，可通過建立單胞節點、對邊的線性約束方程來施加周期性邊界條件。為提高混凝土彈性模量預測模型的計算效率，采用Python編寫周期性邊界條件自動施加程序，加快單胞等效彈性模量的計算速度。由于在單胞模型分析中，應力邊界條件屬于自然條件，所以對于周期性邊界條件的施加僅需考慮位移邊界條件。在圖4模型四個角點和兩條對邊建立位移約束條件，約束方程具體如下：

角點位移約束方程：

(12)

(13)

(14)

(15)

邊位移約束方程：

(16)

(17)

根據位移約束方程，可將周期性邊界轉化為：

(18)

式中：+、-表示對稱邊界。

圖4 單胞幾何圖Fig.4 GeometricFigure of unite-cell

3 模型驗證

為驗證本文建立的混凝土單胞模型的有效性與方法的準確性，采用已有文獻組分材料屬性數據(見表1)預測混凝土等效彈性模量。

表1 各組分材料屬性Table 1 Material properties of each component

圖5 等效彈性模量結果對比[13-16]Fig.5 Comparison of equivalent elastic modulus results[13-16]

建立3種骨料隨機分布的單胞模型，施加周期性邊界條件，預測混凝土材料的等效彈性模量，取3個等效彈性模量預測值的平均值與對應文獻結果進行比較，對比結果如圖5所示。預測值與文獻值吻合度較高，兩者最大誤差為4.97%，最小誤差為1.87%。對誤差最大的一組數據進行分析可知，Sun等[14]建立的細觀模型，骨料為圓形，采用的分析方法為Mori-Tanaka法，不同的分析方法與骨料形狀是產生相對較大誤差的主要原因。經已有文獻驗證，本文建立的混凝土單胞模型可用于混凝土材料等效彈性模量的預測。

4 等效彈性模量影響因素

采用細觀模型預測混凝土等效彈性模量時，可以定量地研究各組分因素對等效彈性模量的影響規律。引用文獻[17]中的材料參數：骨料彈性模量EA=55.4 GPa，泊松比μ=0.16；水泥砂漿彈性模量EM=25.7 GPa，泊松比μ=0.22；界面過渡區彈性模量EI=23.6 GPa，泊松比μ=0.16。利用本文建立的混凝土單胞模型，討論單胞尺寸、骨料體積率、界面層厚度及骨料最大粒徑對混凝土等效彈性模量的影響規律。

4.1 單胞尺寸

單胞模型存在某個周期可用于表征混凝土的宏觀性能:周期過小時擾動較大，不能充分表征混凝土的宏觀性能；周期過大時趨于穩定，但計算量巨大。因此，需要確定能準確反映混凝土宏觀性能且計算成本低的單胞尺寸。基于本文建立的預測模型，生成9組不同單胞尺寸的、級配合理的、骨料體積率為40%的混凝土細觀模型，其中每組包括3種骨料分布。

圖6為單胞尺寸對等效彈性模量的影響。從圖6中可以看出，單胞尺寸小于150 mm時，混凝土等效彈性模量隨單胞尺寸的增加而增大，單胞尺寸超過150 mm后，等效彈性模量圍繞某一值上下波動，并隨著單胞尺寸的持續增大，振蕩反應逐漸變小，最終趨于某個穩定值。因此，能充分反映混凝土宏觀性能且計算成本低的單胞尺寸為150 mm。后續研究以邊長150 mm建立單胞模型，分析骨料體積率、界面層厚度與骨料最大粒徑對混凝土等效彈性模量的影響。

圖6 單胞尺寸對等效彈性模量的影響Fig.6 Effect of unite-cell size on equivalent elastic modulus

圖7 骨料體積率對等效彈性模量的影響Fig.7 Effect of aggregate volume rate on equivalent elastic modulus

4.2 骨料體積率

為探究骨料體積率對混凝土等效彈性模量的影響規律，分別建立骨料體積率為20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%的單胞模型，結果如圖7所示，骨料體積率小于40%時，等效彈性模量隨骨料體積率的增加快速增大，超過40%后，增長幅度變緩，等效彈性模量在35 GPa左右波動。骨料體積率從20%提高至80%時，混凝土等效彈性模量提高約15%。

4.3 界面層厚度

混凝土中骨料-水泥砂漿間界面過渡區(interfacial transition zone， ITZ)對其等效彈性模量存在一定影響，因此，有必要研究界面層對混凝土等效彈性模量的影響規律。本文以界面層厚度為研究對象，參考已有研究[18]成果，界面層厚度分別取0.01 mm、0.02 mm、0.03 mm、0.04 mm和0.05 mm，骨料體積率取40%，建立相應的混凝土單胞模型，等效彈性模量預測結果如圖8所示。

圖8表明界面層厚度對混凝土等效彈性模量的影響呈單調遞減的趨勢。界面層厚度由0.01 mm增加至0.05 mm時，等效彈性模量由35.27 GPa減小到34.97 GPa，降幅約為0.85%，可見，界面層厚度對混凝土等效彈性模量的影響較小。

4.4 骨料最大粒徑

取骨料體積率為40%，骨料最小粒徑為5 mm，骨料最大粒徑為25 mm至40 mm，建立單胞預測模型，研究骨料最大粒徑對等效彈性模量的影響規律，結果如圖9所示。結果顯示混凝土等效彈性模量隨骨料最大粒徑的增加而增大，呈單調遞增的變化趨勢。骨料最大粒徑小于30 mm時，對等效彈性模量的影響較小，超過30 mm后，對等效彈性模量的影響相對較大。骨料最大粒徑從25 mm增大至40 mm時，混凝土等效彈性模量提高約1.86%，影響不顯著。

圖8 界面層厚度對等效彈性模量的影響Fig.8 Effect of ITZ thickness on equivalent elastic modulus

5 結 論

(1)本文建立的混凝土單胞模型考慮了骨料-水泥砂漿間界面層的影響，能比較真實準確地預測混凝土的等效彈性模量。

(2)單胞尺寸對混凝土等效彈性模量的影響結果表明，可充分表征混凝土等效彈性模量且計算成本低的單胞尺寸為150 mm。

(3)骨料體積率位于20%～40%內時，對混凝土等效彈性模量的影響顯著，隨著骨料體積率增大，彈性模量逐漸增加。當骨料體積率從20%提高至80%時，混凝土等效彈性模量提高約15%。

(4)界面層厚度與骨料最大粒徑對混凝土等效彈性模量的影響均不明顯。界面層厚度對等效彈性模量的影響規律呈單調遞減的變化趨勢，界面層厚度從0.01 mm增大到0.05 mm時，等效彈性模量降幅約為0.85%。隨著骨料最大粒徑的增加，等效彈性模量逐漸增大，骨料最大粒徑從25 mm增大到40 mm時，混凝土等效彈性模量提高約1.86%。