微網系統一、二階混合非均勻Kuramoto建模研究

郭 琪，溫雪嬌，雷 軻，慕 滕，武海燕，趙 越，邢華棟，劉會強

(1.內蒙古電力科學研究院，呼和浩特 010020；2.內蒙古自治區電力系統智能化電網仿真企業重點實驗室，呼和浩特 010020；3.呼和浩特供電公司，呼和浩特 010020)

0 引 言

復雜非線性網絡的頻率同步問題一直是學者們研究的重難點，且用傳統微分方程來描述能量函數常常帶來巨大的計算量，Kuramoto模型作為研究同步問題的有效方式之一，近年來應用于越來越多領域。Kuramoto模型中各耦合振子的頻率同步現象與電力系統暫態穩定現象之間的互通之處，由Filatrella等人于2008年發現并論證，至2012年，Kuramoto模型的同步性和穩定性分析在電力網絡中形成完整的理論體系[1-2]。文獻[3]以二階非均勻Kuramoto模型進行了電力系統暫態穩定性分析研究。鑒于微網系統與傳統電力系統的相似性，且Kuramoto模型描述電力網絡具有不受節點數目影響的優勢，該文探索Kuramoto模型對微網系統動力學特征刻畫的能力。

通過建立一、二階混合非均勻Kuramoto模型與微網系統模型的對應關系，展示微網模型中的每一項在Kuramoto模型中具體的體現形式，理論上剖析Kuramoto模型與微網系統模型間存在相似性的原因，仿真搭建微網系統模型和對應的Kuramoto振子模型，比較兩模型的相似性，并指出相應Kuramoto模型頻率同步與微網模型暫態穩定的一致性。

1 經典Kuramoto模型

日本學者Kuramoto在1975年指出：在一個由有限個性質上幾乎相同的極限環振子組成的耦合系統中，無論各個振子之間的相互作用強度多么微弱，系統的總體動力學特性可以由一個簡單的相位方程來表示，如式(1)所示(假設每一個振子都與其他振子有耦合關系，且相互耦合的形式完全相同)。

(1)

式中:θi和ωi分別表示第i個振子的相位和自然頻率；K為節點之間的耦合強度；N為耦合系統中所含振子的個數。以上就是最原始的Kuramoto模型。

2 微網系統模型與Kuramoto模型等價性研究

在分析現有電力網絡Kuramoto模型過程中，發現Kuramoto模型描述電力網絡具有不受節點數目影響的優勢，是典型的集群適應性建模方法。同時，借用耦合相位振子模型模擬復雜的電力系統網絡，即通過耦合相位振子的動力學方程來描述電力網絡各節點間的能量變化，可以避免用傳統微分方程來描述能量函數所帶來的巨大計算量，為以能量作為控制和穩定性分析核心的能量成型非線性控制方法提供了充分的前提條件。微網動態實質是多能源形式能量的轉化、傳輸、消耗的過程，若能以能量的觀點研究對其的控制問題，將更符合微網系統運行的本質規律。

微網系統與傳統多機電力系統的主要區別在于[4-5]：

1)微網中眾多分布式單元與系統間接口大部分為不具有慣性的電力電子裝置。由于電力電子裝置自身的特性，電網信息無法通過電力電子裝置傳回分布式能源(distributed energy resources，DER)單元的慣性系統，使得即使帶有慣性系統的DER單元，由于電力電子裝置的原因，無法跟隨電網進行自我調節。

2)分布式單元能源形式多樣，種類特性不同，根據其自身特點并結合建模需求，宏觀上，我們將其分為具有慣性和不具有慣性兩大類。

3)分布式單元輸出功率在一定范圍內可調可控。其中分布式電源光伏和風電出力主要取決于自然環境，屬于不可調機組，分布式電源柴油發電機和儲能裝置屬于可調度機組。能量管理系統需要預測風電、光伏和負荷的出力，并根據預測出力情況、燃料機組油耗等制定可調度機組的調度計劃。

參考傳統多機電力系統模型并鑒于上述區別，對于微網系統的Kuramoto模型建立見式(2)所示。

(2)

1)PM,i為正表示發電單元，該值為負表示用電單元,當其可正可負表示儲能單元。

2)Pi為額定功率調控量，恒定為0表示不可調,不為0表示功率可調。

以上兩式間的不同組合，即可涵蓋微網中形式、容量及調節特性不同的節點單元。式(2)中的第一式為二階Kuramoto振子模型結構，式(2)中的第二式為一階Kuramoto耦合振子模型結構。

在耦合非線性動力學系統中，即使各振子固有運動頻率不盡相同，也可以通過振子間相互耦合作用來中合振子間頻率差異，使整個系統趨向于頻率同步；同理，在微網系統調頻中，各DER單元調控輸出功率，通過微網節點間的耦合作用(即各節點間功率傳輸)，使各節點在給定頻率處均達到平衡狀態。故采用一、二階混合Kuramoto模型表征微網系統模型具有可行性。

3 微網系統各分布式單元分類及其Kuramoto模型

1) 分布式電源柴油機、微型燃氣輪機發電系統雙軸結構見式(3)所示。

(3)

由于柴油發電機為產生電能的單元，第一項可以用來表示原動機的機械功率，所以其值為正。又由于柴油發電機作為同步發電機的一種，具有慣性響應特征，其控制系統能夠自動響應系統頻率變化，參與系統調頻，大小可調，所以pi非0。發電機有轉子等機械器件，所以此類振子模型為二階模型。

同為電機型DER單元的雙軸結構微型燃氣輪機發電系統與發電機組的Kuramoto模型相似。PM,i為發電系統的功率指令值，其中發電系統為產生電能的單元，由于電機有轉子等機械器件，所以此類振子模型為二階模型。

2)風力發電機、光伏發電機見式(4)所示。

(4)

與電機型DER單元不同，風力發電機由于通過電力電子裝置與電網相連，無法直接參與調頻，不具有慣性響應特征，不能自動響應系統頻率變化，參與系統調頻，所以此類振子模型為一階模型。前兩項為風機系統的功率指令值，其中風機系統為產生電能單元，PM,i值為正，由于風機的出力依賴于自然環境，大小不可調，所以Pi為0。由于光電系統為產生電能的單元，與風電類似，光電也屬于自然資源，其出力同樣不依賴于人為控制，大小不可調，故Pi為零。

3)燃料電池發電系統、飛輪儲能、超級電容器等效電路、蓄能電池結構見式(5)所示。

(5)

儲能單元對電能進行存儲或者釋放，平衡新能源出力，因此其具有DER單元和負荷單元雙重特性。所以式中功率指令值中的PM,i可取正，可取負，當微網系統功率缺額時，儲能單元具有DER單元特性，釋放能量，PM,i為正；當微網系統功率盈余時，儲能單元具有負荷單元特性，吸收能量，PM,i為負。此外，由于儲能本身可調，所以Pi不為0。并且除了飛輪儲能，大部分的儲能裝置不帶有旋轉裝置，本身就不具有慣性，而飛輪儲能雖帶有旋轉裝置，但是由于電力電子裝置的存在，也使其慣性特性表現不足，所以儲能單元的Kuramoto模型都是一階的。

4)PCC開關饋線并網模式見式(6)所示。

(6)

在并網模式中，PCC與大電網相連，當微網系統功率盈余時，PCC節點相當于負荷單元吸收微網系統的有功功率，當微網系統功率缺額時，大電網也可通過PCC開關節點對微網系統的功率進行補充。所以，PCC的Kuramoto模型與儲能單元節點相類似。當微網系統功率過剩時，PCC吸收微網系統的有功功率送入大電網，此時第一項為正。當微網系統功率不足時，PCC吸收大電網的功率對微網系統功率進行補充，此時第一項為負。由于PCC與大電網相連，所以視為可調，pi不為0。

5)PCC開關饋線孤島模式見式(7)所示。

(7)

孤島模式，相當于短饋線單元。等式右側為饋線單元的有功功率，通過對傳統微網模型的仿真可知，在孤島模式下，PCC輸出功率幾乎為0，可忽略不計，故在孤島模式下，可直接將PCC忽略進行仿真。

4 算例分析

首先在Matlab中搭建微網系統的傳統仿真模型，包含如下組件：無限大電源，PCC節點，風機(功率不可調)，柴油機(可調)，儲能單元(可調)，饋線及負載。對該網絡進行化簡得到的網絡拓撲結構如圖1所示。

圖1 微網系統網絡拓撲

仿真思路如下：以孤島運行為例，首先搭建微網系統的傳統仿真模型，對網絡中原始節點進行編號，并輸入初始數據。之后計算微網孤島穩態時各節點電壓功率，并將各功率換算為標幺值。之后以Kuramoto模型表示微網系統各組件，以完成微網系統Kuramoto建模。最后對傳統模型與Kuramoto模型頻率與功率兩方面進行對比，以證明該建模方式對微網系統刻畫的可靠性。

用Kuramoto模型描述微網系統不同單元，孤島模式下將圖1化簡為兩機三節點模型，用二階Kuramoto模型描述柴油機，一階Kuramoto模型描述風機和儲能系統，計算得Kuramoto模型各項參數，并加入如下非線性分布式控制ui，其表達式見式(8)所示：

(8)

式中:φij是相鄰振子i和j的初始相位差。

微網系統在該控制方式的作用下，可達到最終穩定平衡點，文中初始頻率設為60 Hz。

為方便計算，微網系統Kuramot模型的參數均采用標幺值，第一列為慣性時間常數，第二列為阻尼系數，第三列為該節點功率的標幺值，第四列為該節點電壓的標幺值。其中以柴油發電機的額定功率和額定電壓為基值，即有PB=200 kW，EB=380 V。由此得傳統微網系統的模型如圖2所示。其中微網系統一階Kuramoto模型如圖3所示，二階Kuramoto模型如圖4所示。

圖2 微網系統模型

圖3 微網系統一階Kuramoto模型圖

圖4 微網系統二階Kuramoto模型圖

同理，計算并網時微網系統的Kuramoto模型參數，由于并網時PCC不可忽略，根據PCC的雙態模型，對無限大電網及PCC節點建模并化為同一節點，故傳統微網模型化為兩機四節點模型。

為證明所搭的微網Kuramoto模型能較好表示原微網系統，對微網傳統模型與微網Kuramoto模型進行對比。由于Kuramoto模型主要用于描述系統的頻率同步現象，故從兩模型頻率的角度對比得動態相似性，從兩模型各節點功率的角度對比得靜態相似性。圖5為傳統微網模型頻率圖，圖6為微網系統Kuramoto模型頻率圖。

分別對傳統微網系統模型和微網孤島模型的功率進行采集，得到的功率對比圖如圖7和圖8所示。在該建模方式下假設以柴油發電機的額定功率為基值，即P=200 kW。

圖5 傳統微網模型頻率曲線

圖6 微網Kuramoto模型頻率曲線

圖7 微網模型2號節點有功功率圖

圖7的功率最終穩定于-150 kW，將圖8的標幺值-0.75換算為實際值，即可得到二者相等，2號節點的Kuramoto模型從功率角度可以較好地描述微網系統。同理，3號、4號節點的有功功率分別最后穩定于140 kW、10 kW，其功率標幺值依次為0.7、0.05，將該標幺值換算為實際值二者相等，3號、4號節點的Kuramoto模型從功率角度可以較好地描述微網系統。

圖8 Kuramoto模型2號節點有功功率圖

又有系統總的有功功率平衡，在傳統微網模型中有功功率和為0，微網系統的Kuramoto模型中功率標幺值的和亦如此，證明了兩模型間的相似性，也即證明了Kuramoto模型在描述微網系統方面的有效性。

5 結 語

1)確定了建立微網系統Kuramoto模型的合理性。以一階相位耦合振子模型描述微網中無慣性單元，二階相位耦合振子模型描述微網中有慣性單元，并以相位耦合振子雙態模型描述微網開關節點處并、離網狀態的獨特方法表征微網并網和孤島兩種運行模式。

2)從仿真驗證的角度，用Kuramoto模型描述的微網系統可以反映出原微網系統的頻率特性，從功率角度也可以反映出其功率穩定值。仿真結果表明了化簡前后網絡結構是等價的，其動態特性沒有被改變。因此用Kuramoto模型描述微網系統是有效且可行的。

3)Kuramoto模型常用于描述耦合非線性系統的同步現象，將其應用于微網，有助于后續對微網系統頻率同步問題的研究和分析，且該方式不受節點數的控制，日后將其應用于集群式系統將體現出明顯優勢，與傳統的直接法研究頻率相比將更具有普適性。