金屬互聯中晶粒結構梯度演化及其對力、電性能的影響

張恒嘉 ,張曉敏 ,趙志鵬 ,唐洪武

(1.重慶大學 航空航天學院,重慶 400044;2.重慶大學 非均質材料力學重慶市重點實驗室,重慶 400044)

隨著微電子封裝的集成度不斷提高,電遷移導致的金屬互聯失效成為集成電路可靠性的主要瓶頸之一[1]。除了眾所周知的質量擴散極性效應外,電遷移作用下晶界(GB)遷移引起的晶粒尺寸演變對金屬互聯結構的宏觀性能的潛在影響也越來越受到研究者的關注。

Albert 等[2]采用X 射線微衍射技術研究了電遷移作用下錫的微觀結構演變,發現在恒定電流密度作用下晶界的定向遷移行為導致陽極側晶粒處于壓縮狀態,陰極側晶粒則處于拉伸狀態。之后Liang 等[3]用相場法模擬了這一現象,指出晶界的遷移速度與電流密度呈正相關,晶粒的生長行為是由其電各向異性決定的。而對于銅等電各向同性材料,恒定的電流密度對其晶粒尺寸無明顯影響[4-5]。與此同時,一些研究表明在諸如焊點和鍵合線等結構中存在晶粒的不均勻生長行為。如:在Sn-Cu 焊點中,電流在流入和流出Sn 層均存在明顯的電流擁擠現象,Cheng 等[6]發現在陽極側附近的Sn 晶粒相比于陰極側的更細小。Galand等[7]發現,在恒定溫度下,銅互連結構中出現的微孔周圍存在更高的電流密度,且該區域的銅晶粒更小。此外,Wang 等[8-9]和Guo 等[10]通過對比銀合金鍵合線在電遷移作用下的正負極形貌還發現,在靠近負極的區域形成了更多的大晶粒,表明較大晶粒尺寸不利于提高合金線電阻。而在鍵合線的“頸部”同樣存在電流密度的集中效應。因此,電遷移作用下晶粒尺寸的梯度分布和電流密度的不均勻性密切相關。材料的力學和電學性能對晶粒尺寸十分敏感,因此晶粒尺寸的梯度化現象對材料性能的潛在影響有待進一步研究。

針對大電流密度下的晶粒結構的梯度化的影響,本文從微觀層面出發,通過一套考慮了電遷移效應的相場模型闡明金屬互聯中晶粒尺寸的梯度化路徑。而在宏觀層面上,定量表征了晶粒尺寸梯度對材料的力學和電學性能的影響。

1 相場模型

典型的相場模型以系統總自由能泛函的表達式開始,它被定義為體域上v的一個積分。為了描述電遷移對晶界遷移行為影響,在相場自由能泛函中考慮了靜電自由能密度項fem:

式中:k為梯度能系數;f0(η1,η2,…,ηp)為包含序參數ηi的體自由能密度,可以表示為:

式中:Ai(i=1,2,3)為相場參數;p為晶粒數目;ηi在晶粒i中被設置為1,在其他晶粒中為0。

靜電自由能密度fem可以表示為[11]:

其中,Na,e,Z,Ψ(ηi)和Vm分別為阿伏伽德羅常數、電子電荷、有效電荷數、電勢和摩爾體積。電勢和電流密度J滿足:

其中,τ為電導率。

非保守場變量ηi的演化能夠通過Ginzburg-Landau(G-L)方程來描述:

式中,L為晶界遷移率。其取值僅僅影響晶界遷移行為的時間尺度,而不影響晶界遷移的機制,因此為了方便,隨后計算結果中的時間是一個加速的度量。

2 計算模型和邊界條件

本文使用的計算模型如圖1 所示,初始的均勻結構由邊長為2 μm 的正六邊形晶粒組成,平均晶粒尺寸D(t)=2[A(t)/π]1/2近似計算為3.6 μm,A(t)表示在t時刻的平均晶粒面積。假設電流密度沿x軸分為n段,呈梯度分布。本文所計算目標選取銅,其物性參數為表1 所示。

圖1 計算模型示意圖Fig.1 Schematic of calculation models

表1 銅的物性參數[12]Tab.1 Physical parameters of Cu[12]

3 模擬結果與討論

3.1 電流密度梯度的效應

首先,將電流密度分為3 段來分析電流密度梯度對晶粒尺寸演化的影響。如圖2 所示,保持J1=J3=2.0×108A/m2,通過設置J2分別為2.0×108,3.0×108和4.0×108A/m2來調節電流密度梯度的大小。

圖2 在電流密度梯度作用下t=150 s 時的晶粒相圖Fig.2 Phase diagram of grain evolution att=150 s under current density gradients

電遷移作用下的晶界遷移方向與材料的有效電荷數相關,由圖2(a)、(b)和(c)所示在t=150 s 時不同電流密度梯度作用下的晶粒演化相圖可以發現,對于銅而言,晶界存在向陰極側的定向遷移行為。已有實驗證明當施加恒定的電流密度時,銅晶粒的尺寸無明顯變化[4],對應圖2(a)的模擬結果。而當存在電流密度梯度時,晶粒尺寸發生了明顯變化。在電流密度增大和減小的區域,如圖2 中紅色框和藍色框所示,分別發生了明顯的晶粒長大和細化現象?？梢酝茰y隨著電遷移的不斷進行,靠近陰極側的晶粒尺寸會更細小。Liang 等[3]的模擬結果表明,晶界遷移的速度和電流密度的大小呈正相關。因此,當晶界向電流密度更高和更低的區域遷移時,晶界遷移的速度也會成比例變化。最終,在電流密度變化的區域會發生晶界的疏散或堆積效果,從而導致晶粒的不均勻生長行為,這就是電流密度梯度的效應。

3.2 晶粒尺寸的梯度化

在明確了電流密度梯度效應對晶粒尺寸演化的影響后,進一步擴大梯度效應的區域,晶粒尺寸的梯度化也更明顯。如圖3 所示,增加電流密度的梯度段可以得到一個晶粒尺寸沿x軸呈梯度化分布的結構。

在電流密度整體增大的區域,晶粒隨著電遷移的進行發生了明顯粗化,如圖3 中紅色虛線框內演化相圖所示;而在電流密度減小的區域,晶粒則被不斷細化,如圖3 中藍色虛線框內演化相圖所示。此外,將藍色虛線框內區域定義為細晶層,并計算了該區域晶粒度隨時間的演化如圖4 所示。細晶層的晶粒數目隨著時間增加而不斷增加,直到約t=350 s 時晶粒的數目達到了飽和的狀態。也就是說,在電流密度梯度作用下,隨著電遷移的不斷進行,受梯度影響的區域的晶粒尺寸會逐漸梯度化并最終趨于穩定。

圖3 在多段電流密度梯度作用下t=100 s,t=250 s和t=350 s 時刻的晶粒尺寸梯度結構相圖Fig.3 Grain size gradient structure phase diagram att=100 s,t=250 s andt=350 s under the action of multi-stage current density gradients

圖4 細晶層的晶粒數目隨時間的演化Fig.4 Grain number evolution of fine-grained layer with time

為了定量分析電流密度梯度作用下的晶粒尺寸梯度化的機制,本文對晶界遷移的驅動力進行了表征。從圖3所示的晶粒尺寸梯度化的過程可以發現,晶界在遷移過程中發生了彎曲,這也更接近實際的情形。一般而言,晶界能夠以曲率驅動的方式向曲率中心自發遷移。因此,當前模型涉及曲率驅動力F0和電遷移驅動力Fem兩部分,通過計算晶界兩側的化學勢的差,可以表示為:

式中,ηi×ηj>0 代表晶界區域[13]。選取圖3 中的兩條晶界GB1 和GB2 作為代表,給出了兩部分驅動力隨時間的演化如圖5 所示。

圖5 驅動力隨時間的演化。(a)電遷移驅動力(J1=2.2×108 A/m2,J2=4.8×108 A/m2,J3=4.5×108 A/m2,J4=2.0×108 A/m2);(b)曲率驅動力Fig.5 Evolution of the driving forces result from(a) electromigration (J1=2.2×108 A/m2,J2=4.8×108 A/m2,J3=4.5×108 A/m2,J4=2.0×108 A/m2) and (b) curvature of GB1 and GB2 shown in Fig.3

顯然,圖5(a)所示的電遷移驅動力的轉折點對應晶界所處區域的電流密度發生變化的時刻,電遷移驅動力變化的幅度決定了晶粒尺寸的跨度。而曲率驅動力的大小與晶界曲率相關,因此,圖5(b)所示曲率驅動力隨著晶界的形態變化略有震蕩,其數值的正負分別表示與電遷移驅動力的方向相同和相反。相比之下,曲率驅動力比電遷移驅動力小1～2 個數量級,因此整個過程中電遷移的效應仍為主導。

4 梯度結構的力學和電學性能的評估

4.1 梯度結構的力學性能評估

針對上一節得到的梯度結構,通過一套基于位錯密度的本構方程對其力學性能進行了必要的評估。對于圖6 所示的簡單拉伸模型,Voigt 混合法則[14]常被用來描述梯度材料整體的應力應變響應。細晶層和粗晶層被視為獨立的兩層,假設在單軸拉伸載荷下材料各個深度應變相同。梯度結構的總體拉伸應力表示為:

圖6 梯度微結構的拉伸示意圖Fig.6 Sketch of the gradient microstructure

式中:σxx1和σxx2分別為細晶層和粗晶層的應力;h1和h2代表對應層的厚度,分別為12 μm 和35 μm。細晶層和粗晶層的平均晶粒尺寸計算為:d1=1.9 μm,d2=5 μm。

金屬的變形機制與晶粒尺寸有關。對于粗晶(d>1 μm)和超細晶(100 nm

式中,前兩項表示彈性部分,μ和K分別為剪切模量和體積模量。第三項表示塑性部分,σe=(3sijsij/2)1/2和εe=(2εijεij/2)1/2分別表示等效應力和等效應變;sij=σij-σkkδij/3 為偏應力;m、M、α、b和ρ分別為速率敏感常數、泰勒因子、泰勒常數、Burgers 向量的模和位錯密度;σ0為晶格摩擦力;σGB=kHP/d1/2為晶界對流動應力的貢獻,其中kHP和d為霍爾佩奇常數和晶粒尺寸;σb=MμbN/d為晶界處位錯積累引起的背應力,其中N為晶界處累積的位錯數,其隨塑性應變εp的演化規律如下:

式中,ω和N?分別為滑移帶間的平均間距和晶界堆積位錯的最大數目。

位錯密度隨塑性應變的演化表示為:

式中:k=k3/ bd();;ke=(de/d)2。k20、和n0為材料參數;k3和ζ分別為與晶粒形狀和位錯相關的比例因子和幾何因子;de表示發生增強動態恢復的臨界粒徑。模擬中使用的銅材料參數如表2 所示。

表2 銅的材料參數[15]Tab.2 Material parameters of Cu[15]

首先,通過對比平均晶粒尺寸為25 μm 和500 nm的實驗結果驗證了模型的適用性,進一步計算梯度結構的應力應變響應如圖7(a)所示。顯然,梯度結構的拉伸響應介于大晶粒尺寸和小晶粒尺寸之間。由如圖7(b)所示的屈服應力和均勻伸長率的強度-延性圖可以看出,屈服應力隨著晶粒尺寸的增大而減小,同時應變硬化能力隨之增加。當前模擬獲得的梯度結構晶粒尺寸的跨度有限,通過調整細晶層的晶粒尺寸,本文計算了一個參考的梯度結構(d1=500 nm,d2=5 μm)。由圖7(b)可發現,和晶粒尺寸為1.9 μm 的均勻結構相比,梯度結構可以達到近乎相同的屈服強度,且表現出更好的韌性。因此,具備晶粒尺寸梯度的結構可以克服強度和韌性之間的折中。

圖7 (a)梯度結構和均勻晶粒結構的應力應變響應;(b)梯度結構和均勻晶粒結構的強度-塑性圖Fig.7 (a) Comparison of stress-strain response between gradient structure and uniform grain structure;(b) Strengthductility map of gradient structure and uniform grain structure

顯然,梯度材料的力學性能對晶粒尺寸的分布很敏感,也就是說,晶粒尺寸跨度和梯度層比例是最直接的控制參數。分別通過調整細晶層和粗晶層的晶粒尺寸以及細晶層的體積分數:d1、d2和f,表征了梯度材料的屈服強度和均勻延伸率,如圖8 所示?？梢钥闯?屈服強度和均勻延伸率分別隨細晶層體積分數的增加近似線性地增加和減小,曲線斜率隨d1減小或d2增大而增大。由此可以推斷,細化的晶?？梢蕴岣呓Y構的強度,而粗晶層主要貢獻于應變硬化能力和由此產生的延性。此外,還發現存在晶粒尺寸跨度和梯度層比的最優組合,從而產生強度和延性之間的最佳協同效應。例如,對于圖8 中的構型(1),(3)和(4),在獲得相同的延伸率(27%)(紅點)的同時,構型(3)表現出比其他構型更大的屈服強度(藍點)。因此,基于物理機理建模的方法還可為指導梯度材料的微觀結構設計以及提高金屬互聯結構的可靠性提供理論指導。

圖8 屈服強度和均勻延伸率隨細晶層體積分數的演化(f=h1/(h1+h2))Fig.8 Evolution of yield stress and uniform elongation with volume friction of fine-grained layer (f=h1/(h1+h2))

4.2 梯度結構的電學性能評估

晶粒尺寸對于金屬材料的導電性同樣有顯著影響,通過晶粒細化得到的納米銅強度相比于粗晶銅提高了約9 倍,但其電導率的損失高達90%[17]。依據Matthiessen 準則[18],銅的電阻率可以表示為:

式中,第一項表示理想無缺陷銅的電阻率,第二項和第三項分別表示晶界和位錯相關的影響。SGB表示單位體積的晶界面積。γ0、γGB和γdis的值由相關報道可獲得[18-19],分別為:1.68×10-8Ω·m,2.04×10-16Ω·m2和2.3×10-25Ω·m3。

首先,采取式(12)分別計算了晶粒尺寸為100 μm和430 nm 的電阻率分別為:1.681×10-8和2.150×10-8Ω·m,相應的實驗值分別為1.690×10-8Ω·m 和2.180×10-8Ω·m[18,20]。通過對比,認為該模型對于當前晶粒結構電阻率的評估是適用的。

假設材料不發生塑性變形,分別表征了粗晶層、細晶層和梯度結構的電阻率如圖9 所示。計算結果表明,隨著晶粒細化,晶界密度增大,電阻率提高。由于粗晶層表現出較低的電阻率,使得當前梯度結構整體的導電性能提高。在t=350 s 時,穩定梯度結構的電阻率比原始均勻結構降低了0.06%。

圖9 梯度結構的電阻率隨時間的演化Fig.9 The evolution of resistivity with time of gradient structure

有研究表明[21],對于發生塑性變形的銅,其位錯密度一般低于7×1014m-2,其相應貢獻的電阻率為1.6×10-10Ω·m,遠低于無缺陷銅的固有應變率。因此,當晶粒不斷細化,其導電性的損失主要歸因于晶界密度的大幅提高,這一行為可能誘發金屬互聯電氣性能的失效。

5 結論

本文采用相場法模擬了電流密度梯度作用下的晶粒尺寸梯度化路徑,并對梯度結構的力學和電學性能做出了評估,得出以下結論:

(1)電流密度梯度的存在是金屬互聯中晶粒尺寸梯度化的主要誘因;

(2)梯度結構通過部分細化的晶粒得到強化,而粗晶層則主要為必要的延展性以及防止電氣性能失效提供保障;

(3)晶粒尺寸的跨度和梯度層的體積分數存在一個最優比例,使得梯度結構在不損失延性的同時提高材料的強度。