一類具有熱對(duì)流作用的非牛頓微極流體方程組的強(qiáng)解

段雨希， 王長佳

(長春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 長春 130022)

0 引 言

在三維空間中考慮如下具有熱對(duì)流作用的非牛頓微極流體方程組的Dirichlet邊值問題

(1)

式中：ui,j=?jui(x),ωi,j=?jωi(x)。

微極流體模型是Eringen在文獻(xiàn)[1]中首次提出的，它考慮了流體顆粒的微觀結(jié)構(gòu)，是關(guān)于流體動(dòng)力學(xué)中的經(jīng)典模型 Navier-Stokes方程的根本推廣，在理論和應(yīng)用上都涵蓋了比經(jīng)典模型更多的現(xiàn)象。當(dāng)p=2時(shí)，問題(1)成為經(jīng)典的牛頓流模型，目前已有大量的研究成果可參見文獻(xiàn)[2-7]。當(dāng)p≠2時(shí)，問題(1)成為非牛頓流模型，此時(shí)方程組所具有的退化性或奇異性會(huì)為這類問題研究帶來本質(zhì)困難，相關(guān)研究結(jié)果還不多。在不考慮熱對(duì)流作用(即θ=0)時(shí)，Araújo等在文獻(xiàn)[8]中通過結(jié)合使用Galerkin方法與緊性方法證明了其弱解的存在性，并討論了解的唯一性與周期性結(jié)果；文獻(xiàn)[9]在二維光滑有界區(qū)域上討論了其解的漸近性，并證明了系統(tǒng)拉回吸引子的存在性以及關(guān)于黏性系數(shù)的上半連續(xù)性，有關(guān)微極流體模型的更多結(jié)果見文獻(xiàn)[10-20]。本文研究具有熱對(duì)流作用(即θ≠0)的非牛頓流問題(1)，應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理，在外力項(xiàng)和渦旋粘性系數(shù)適當(dāng)小的條件下，證明了該問題強(qiáng)解是存在且唯一的。

1 預(yù)備知識(shí)

首先介紹本文所能用到的基本知識(shí)。

引入空間

對(duì)于x,y∈，記(x,y)+=max{x,y}，x+=max{x,0}，Sp=(|p-2|,2)+。

引入常數(shù)

且本文中用Cp表示Poincaré常數(shù)。

對(duì)于q>r>s>3和δ>0，用Bδ表示由下式定義的凸集：

‖(ξ,η,ζ)‖1,q,r,s:=max{‖?ξ‖1,q,‖?η‖1,r,‖?ζ‖1,s}

本文用到的引理如下。

引理1[21]令m≥-1為整數(shù)，Ω為n(n=2,3)中的有界域，邊界?Ω∈Ck，k=(m+2,2)+。則對(duì)于任意τ∈Wm,ρ(Ω)，問題

存在唯一解(u,p)∈Wm+2,ρ(Ω)×Wm+1,ρ(Ω)，并且以下估計(jì)式成立。

‖?u‖m+1,ρ+‖p‖m+1,ρ/R≤Cm‖τ‖m,ρ

式中Cm=Cm(n,ρ,Ω)為正常數(shù)。

AD+ED2rp(1+D)(p-4)+≤γp

成立，則F至少有一個(gè)根δ0，且δ0>D。此外，對(duì)每個(gè)β∈[1,2]，下列估計(jì)式成立：

‖T(u)-T(v)‖Y≤K‖u-v‖Y,?u,v∈B, 0

則T在B上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。

2 主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)果如下：

(2)

成立，則問題(1)存在唯一強(qiáng)解

對(duì)上述結(jié)論，本文將通過以下四步進(jìn)行證明。

第一步： 問題的線性化及映射的構(gòu)造。

首先，將問題(1)重新表述如下：

(3)

根據(jù)引理1、橢圓型方程理論以及文獻(xiàn)[2]可知，問題(3)存在解

為此可定義映射

T:(ξ,η,ζ)→(u,ω,θ)

第二步： 證明映射T為Bδ0到它自身的映射。

這部分本文將證明存在常數(shù)δ0>0，使得T為Bδ0到Bδ0的映射，主要結(jié)論如下。

命題1設(shè)q>r>s>3，p>1，μ>0，f∈Lq(Ω)，g∈Lr(Ω)，h∈Ls(Ω)，存在正常數(shù)

(4)

成立，那么存在δ0>0，使得T(Bδ0)?Bδ0。

證明設(shè)(ξ,η,ζ)∈Bδ。根據(jù)引理1知，u∈V2,q，且滿足

(5)

下面估計(jì)式(5)右端各項(xiàng)，首先有

(6)

(7)

其次，由文獻(xiàn)[22]中的推導(dǎo)有

(8)

結(jié)合式(5)～式(8)，得到

另一方面，利用橢圓型方程估計(jì)理論可知，存在正常數(shù)C1，使

‖?ω‖1，r≤C1[‖ζg‖r+‖2υrrotξ‖r+‖4υrη‖r+‖ξ·?η‖r]

≤C1[‖ζ‖∞‖g‖r+2υrC‖?ξ‖r+4υrCp‖?η‖r+‖ξ‖∞‖?η‖r]

≤C1[δ(Cp+1)‖g‖r+Cυr‖?ξ‖1,q+4υrCp‖?η‖1,r+CE(Cp+1)‖?ξ‖q‖?η‖1,r]

然后，由方程(3)及橢圓方程估計(jì)知，存在正常數(shù)C2，使得

(9)

式中

所以有

(10)

又因

‖κ′(·,ζ)|?ζ|2‖s=‖(κ′(·,ζ)-κ′(·,0))|?ζ|2‖s

(11)

‖ξ·?ζ‖s≤‖ξ‖∞‖?ζ‖s≤CE‖ξ‖1,q‖?ζ‖s≤(Cp+1)CE‖?ξ‖q‖?ζ‖s

(12)

結(jié)合式(9)～式(12)，可得

不妨假設(shè)δ≤1，因此，為了確保T(Bδ)?Bδ，則僅需以下條件成立：

(13)

在引理2中取β=2，得

其次，可將不等式(13)中的第二個(gè)不等式重新寫為

(14)

此時(shí)，存在δ使得式(14)成立。

最后，可將不等式(13)中的第三個(gè)不等式重新寫為

(15)

此時(shí)，存在δ使得式(15)成立。

綜上可得

因此，取δ0=δ1，有T(Bδ0)?Bδ0。

第三步：證明T:Bδ0→Bδ0為壓縮映射。

(16)

式中

首先，根據(jù)引理1可得

(17)

下面估計(jì)式(17)的右端各項(xiàng)。首先根據(jù)文獻(xiàn)[22]中推導(dǎo)有

(18)

(19)

其次有

(20)

(21)

結(jié)合式(17)～式(21)，得到

(22)

另一方面，由橢圓型方程估計(jì)可知，存在正常數(shù)C3，使得

(23)

估計(jì)式(23)中的右端各項(xiàng)，有

(24)

(25)

(26)

(27)

結(jié)合式(23)～式(27)，得到

(28)

然后，由文獻(xiàn)[2]可知，存在正常數(shù)C4，使得

(29)

式中

所以有

(30)

(31)

結(jié)合式(30)～式(31),可得

(32)

結(jié)合式(29)和式(32)有

(33)

結(jié)合式(22)、式(28)和式(33)有

(34)

第四步：定理1的證明。