從直觀性角度對一道數列綜合題的探究

200234 上海師范大學數理學院 鄧 聰

直觀想象是《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出的六大核心素養之一，它是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數學問題的素養.數列問題是近年來高考數學的考查重點，內容較為抽象、復雜.

筆者針對2021年上海春考數學卷中的一道數列綜合題進行探究，從直觀性角度來解決該問題.數列可以視作是定義在正整數集上的特殊函數，因此具備函數的一些固有特征，而原題中的數列是一個具有隨機性的數列.所以筆者將其視作特殊的分段函數，利用直觀性觀察函數的圖像，從而研究數列的性質.巧妙地借助幾何直觀描述問題間的復雜關系，能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，解題思路更加明朗.

1 解題探究

1.1 原題呈現

(2021上海春考數學卷-21) 已知數列{an}滿足an≥0，對任意n≥2，an和an+1中存在一項使其為另一項與an-1的等差中項.

(1)已知a1=5，a2=3，a4=2，求a3的所有可能的取值.

(2)已知a1=a4=a7=0，a2，a5，a8為正數，求證：a2，a5，a8成等比數列，并求出公比q.

(3)已知數列中恰好有三項為0，即ar=as=at=0，2

1.2 題干分析

圖1 圖2

1.3 解答

圖3圖4

綜上，a3的所有可能取值為1.

解：因為a1=a4=a7=0，且a2，a5，a8為正數，所以數列圖像從a1處上升后必然要下降才能使得a4=0，又因為相連三項間的圖像趨勢滿足圖1或圖2，所以圖像在到達a2后就必須向下降落至零點，若上升到a3時才下降則此時圖像不滿足題意，同理可作出a4到a8的圖像(如圖5所示).

圖5

當m=0時，即An的所有取值均為1，an+1=an+1，此時數列圖像如圖6所示.

圖6

顯然此時數列為等差數列且公差大于0，圖像呈直線上升趨勢，無法滿足題干所述的恰有三項為0，所以m=0舍去.

圖7

圖8

1.4 注記

小問(3)的難點在于求an+1，筆者在此過程中計算an+1-an，這是因為題干中的數列是一個隨機數列，故可將其視作是一個分段函數，通過作差發現數列各項之間的關系，同時作出此時的圖像，更加直觀地幫助理解.小問(3)實則是小問(2)的拓展與延伸，在小問(3)中也得到了ar+1，as+1，at+1成等比數列，兩小問都可以巧妙地利用好“拐點”個數，作出圖像快速解題.

2 拓展

第一，本題研究的數列是一個隨機數列，且該數列圖像存在兩種情況，單純用代數方法解題十分復雜，因此筆者通過作圖，建立起形與數的聯系，通過幾何圖形描述問題，從直觀性角度幫助理解問題.

圖9

a3=a2+A2，

a4=a3+A2A3，

…

(感謝馮朝君老師提供的部分思路)