交通載荷作用下跨海橋梁-電纜組合結構隨機振動分析1)

張振鵬 趙健康 李文杰 趙鵬 黃凱文

(中國電力科學研究院有限公司,武漢 430074)

(電網環境保護國家重點實驗室,武漢 430074)

引言

隨著內陸與島嶼、島嶼與島嶼之間的跨海大橋不斷建設,越來越多的電纜采用沿跨海大橋敷設方式進行[1-4].對于海島電力輸送而言,采用沿跨海大橋敷設電纜比沿海底敷設電纜具有更高的經濟效益,且更加便于電纜的維護和檢修[5-7].當電纜敷設于橋梁上時,橋上經過的汽車和列車交通載荷會誘發橋梁的振動,從而引起電纜的振動,長期處于振動環境會導致電纜內部產生額外的應力且會導致構件的疲勞問題[8-10].此外,電纜的機械振動會使得電纜同時承受溫度應力和振動引發的彎曲應力,使其內部的應力分布更加復雜,對電纜的介電性能產生不利影響[11].機械力和外部振動產生的應力也會導致電纜絕緣材料的老化,從而使電纜絕緣性能降低甚至失效[12-14].張振鵬等[15]研究了交聯聚乙烯電纜在溫度和外部振動聯合作用下引起的電纜絕緣老化失效問題,研究結果表明機械振動加速了電纜絕緣層的老化.開展沿橋敷設電纜在交通載荷作用下引起的振動問題研究,對保證電纜的正常輸電功能和提高電纜耐久性具有必要性[16].

對于沿跨海橋敷設的電纜而言,由橋上行駛經過的汽車和列車交通載荷引起的振動對電纜的影響不容忽略,在實際工程中往往也會采取相應的減振措施[2,17].盡管沿橋敷設電纜的振動問題已經逐漸被認識到,但對橋上電纜振動響應的特性和影響規律尚未研究透徹.實際上,引起橋梁振動的汽車和列車交通載荷包含有不同的頻率成份,在具有不同頻率成份交通載荷作用下的電纜動力響應也會有區別.劉驥等[18]研究了外部載荷頻率對不同支撐條件下交聯聚乙烯電纜的內部應力和位移的影響規律,研究結果表明在共振頻率與非共振頻率外部載荷作用下,電纜內部應力、位移的幅值相差很大.隨著電纜服役年限的增長,外部振動可能導致絕緣層老化,護套開裂等現象,導致電纜無法完成電力輸送任務[19-20].同時,現代交通日益增長的車流量,進一步加快了電纜的老化進程.

本文建立了橋梁-電纜結構整體組合分析模型,對沿跨海大橋敷設電纜在汽車和列車交通載荷作用下產生的隨機振動響應展開研究.將交通載荷視為移動的隨機集中載荷序列,考慮引起車輛和橋梁振動的路面和軌道不平順性的隨機性,發展虛擬激勵法(pseudo-excitation method,PEM),通過構造特定的虛擬移動載荷,求解虛擬響應,能快速地得到電纜響應的標準差以及電纜響應的演變功率譜.數值算例針對不同汽車和列車運行速度,研究了不同行駛速度對電纜動力響應的影響規律.本文工作為后續交通載荷引起沿橋梁跨海鋪設電纜振動及疲勞破壞和疲勞壽命評估問題的深入研究具有一定的參考價值.

1 計算模型及參數

1.1 跨海鋪設電纜有限元模型

本文分析所采用的電纜為220 k V 高壓交聯聚乙烯電纜,各層材料的主要物理特性參數[18]及厚度列于表1 中,圖1 中給出了電纜的結構模型.根據電纜的結構特征,并考慮到橋梁的長度較長,若采用實體單元來模擬電纜,節點自由度規模龐大,顯著消耗計算資源.對此,根據跨海橋梁電纜的細長結構特征,在ANSYS 中用梁單元進行模擬.當電纜沿著跨海橋梁敷設時,通常會采用如圖2 所示的蛇形敷設.其中,Ws為蛇形幅寬取0.24 m;Ls為蛇形節距取6 m.根據蛇形幅寬和節距,將電纜沿z軸方向的坐標表示為正弦函數.為了建模的便利性,將電纜各節點x軸坐標間距取為0.5 m,并根據z軸坐標沿電纜軸向變化的規律,得到電纜各個節點的坐標,從而建立電纜的有限元模型.根據電纜各層材料參數和截面尺寸,分別定義相應的材料特性和截面參數,實現對鋪設電纜不同結構層的模擬.

圖1 電纜結構Fig.1 Structure of cable

圖2 電纜蛇形敷設形狀Fig.2 Snake-shaped laying shape of cable

表1 電纜各層材料參數[18]Table 1 Material parameters of each layer of cable[18]

1.2 橋梁-電纜組合結構有限元模型

這里跨海橋梁分析模型采用典型的多跨連續梁橋,橋面和橋墩的材料及結構參數列于表2 中.橋梁的有限元模型采用BEAM188 單元建立,單元長度設置為1 m.根據橋墩的結構形式,假定橋墩在與樁基礎的交界面處為固定端約束.

表2 橋梁的結構及材料參數Table 2 Material parameters of bridge

電纜沿跨海橋梁敷設時,每間隔一定距離均會采用電纜夾具對其進行固定.由于夾具的剛度非常大,因此假定電纜在夾具位置處無法發生轉動,且假定電纜與橋梁是剛性連接的.將橋梁與電纜在連接節點處的自由度進行耦合,從而建立如圖3 所示跨海橋梁-電纜組合結構的分析模型.

圖3 跨海橋梁-電纜組合結構分析模型Fig.3 Analysis model of the coastal bridge-cable composite strucuture

1.3 交通載荷的移動隨機載荷序列模型

當橋上有汽車或者列車經過時,橋梁主要在汽車車輪或列車輪對處受到集中力序列作用,在本文中采用移動隨機集中力序列來模擬汽車載荷或列車載荷對橋梁的作用.汽車采用5 軸貨車來模擬,列車采用8 節車廂編組的高速列車來模擬.汽車及列車的軸距及軸重(均值)如圖3 所示.列車前一車廂最后一組輪對與后一車廂第一組輪對的距離取 1 .1 m,不考慮車廂之間的水平方向連接作用力.當汽車經過橋梁時,分析時間自前輪上橋時起至后輪下橋時止.當列車經過橋梁時,分析時間自第1 節車廂的第1 組輪對上橋至列車最后1 節車廂最后1 對輪對下橋時止.為使問題分析和討論簡化,暫不考慮汽車和列車同時經過橋梁時的情形.

2 橋梁-電纜隨機振動響應求解的虛擬激勵法

當汽車或列車從橋上經過時,由于橋面的不平順性和軌道的不平順性,使得汽車和列車產生垂向的振動響應,導致圖3 中的移動集中力不再是確定的值.不平順性具有固有的隨機性本質,相應的移動集中力也具有隨機性,需要結合隨機振動的功率譜分析理論來分析電纜的動力響應.

2.1 橋梁-敷設電纜結構運動方程

在進行橋梁-敷設電纜組合結構的有限元離散后,可以得到結構在移動隨機載荷序列作用下的運動方程[21]

式中,n為橋梁-電纜組合結構中橋梁的自由度數目.

車輛在橋上經過時是連續移動的,用于橋梁-電纜結構動力響應分析的移動集中載荷也應當是連續移動的.采用有限元方法進行分析,載荷只能作用于有限元模型的節點上,需要將單元內連續移動的集中力等效作用于節點.移動集中力作用于單元內部時,可用插值形函數將移動集中載荷等效作用于單元兩端的節點上[22].移動集中力尚未上橋時,認為其作用在橋梁有限元模型左側第1 個單元的左側節點上.當移動集中力經過橋梁到達橋梁最右端時,認為其作用在橋梁有限元模型右側最后1 個單元的右側節點上.

移動力的x軸坐標可以根據載荷移動速度v以及時間t確定.在確定每一時刻每個移動集中力的x軸坐標后,便能夠進行橋梁-電纜結構在車輛載荷作用下的隨機振動分析.

2.2 移動隨機載荷作用橋梁-電纜結構隨機振動分析

在求解方程(1)時,由于結構自由度數目較多,通常采用振型疊加法.根據該方法的原理,當取結構前q階振型參與計算時,假定結構具有正交阻尼,并利用振型的正交性,可以得到模態空間內的q個解耦的單自由度運動方程

式中,j=1,2,···,q,φj為結構的第j階振型向量;xj(t),(t)和(t) 分別為結構第j階模態位移、速度和加速度;mj,cj和kj分別為結構第j階模態質量、阻尼和剛度.

式(3)的解可以采用Duhamel 積分表示為

式中,hj(t-τ) 為脈沖響應函數.原方程(1)的解可表示為

結構響應x(t) 的方差矩陣Rxx(t) 為

式中,E [?] 為數學期望運算;Δ τ=τ1-τ2,Rφjφk(Δτ)為模態響應方差矩陣;Rff(Δτ) 為外載荷協方差矩陣.根據Wiener-Khintchine 關系[23],載荷以及響應的自相關函數和功率譜矩陣存在如下關系

將式(8)代入式(7)中并交換積分次序,得到

將式(10)代入式(6)中,并根據式(9)中的Wiener-Khintchine 關系,得到結構響應的功率譜矩陣

響應的方差矩陣Rxx(t) 和功率譜矩陣Sxx(t,ω)是隨機振動分析中非常重要物理量,由式(6)和式(11)可知其計算過程涉及雙重求和和雙重積分,計算量非常大.在實際應用中,計算響應功率譜矩陣時通常忽略了振型的交叉項以減少計算量,得到了計算功率譜的SRSS (square root of the sum of squares,平方和開平方)方法.SRSS 方法對于參振頻率全部為稀疏分布,且各階阻尼比都很小的均質材料結構才是可用的[24].當結構自振頻率比較密集時,采用SRSS 公式計算功率譜可能會帶來較大的誤差.為此,本文采用PEM 來計算移動隨機載荷作用下電纜的響應功率譜.

當汽車或列車從橋上經過時,引起橋梁垂向振動的激勵源主要是路面和軌道的不平順性[25-27].當前后車輪行駛至橋梁相同位置時,所受到的不平順激勵是完全相同的,但存在與行駛速度相關的時間差.因此,可將橋上移動隨機載荷假定為完全相干的隨機載荷.這時,移動隨機載荷的功率譜矩陣Sff(ω)可表示為

式中,Sf(ω) 為激勵的功率譜;ai(i=1,2,···,Nf) 表示每個隨機載荷的強度,對于完全相干的激勵可取ai=1;ti(i=1,2,···,Nf) 表示每個隨機載荷的時刻.

根據PEM[28],功率譜矩陣Sff(ω) 可分解為向量的乘積

式中,上標“*”表示向量的復共軛.

將式(13)代入式(11)中,得到響應功率譜矩陣

對比式(16)和式(4)可知,在計算響應的功率譜矩陣Sxx(t,ω) 時,只需要計算虛擬移動載荷引起的虛擬響應 ?x(ω,t) .在計算得到電纜響應的功率譜后,根據式(9)可以得到電纜的響應方差,從而可以對電纜響應進行估計.

3 數值算例

在本文算例中,橋梁采用5 跨連續梁橋,各跨跨度取30 m.由2.2 節可知,在計算電纜在車輛載荷作用下的隨機響應時,根據PEM 只需要求解結構在特定移動簡諧載荷下的動力響應.本文利用MATLAB作為實現虛擬激勵法主控制程序,通過調用ANSYS進行瞬態響應分析,進行電纜非平穩隨機振動響應的求解.在模態疊加法中,取結構前200 階振型參與計算,各階模態阻尼比均取為0.02.所有移動集中力均假定為高斯平穩隨機過程[29],均值如圖3 中的載荷序列所示,載荷的功率譜Sf(ω)=6.366×107N2/s .根據路面和軌道的不平順頻譜特性[30-31],汽車載荷的分析頻率取 [ 0,40π],頻率步長取 0 .4π .列車載荷的分析頻率取 [ 0,200π],頻率步長取1 .0π .在求解汽車載荷引起的動力響應時,積分時間步長取 0 .005 s .求解列車載荷引起的動力響應時,相應的積分時間步長取 0 .002 s .根據結構響應特征,取跨海橋梁第3 跨跨中位置處的電纜跨中位移和纜芯及鋁護套應力響應作為主要的研究對象.

3.1 電纜響應時變標準差

為了驗證PEM 計算結果的精確性,本文將PEM 的計算結果與MC 方法結果進行對比.根據汽車或列車的運行速度確定各輪軸力時間差,由移動載荷的功率譜Sf(ω) 利用三角級數疊加法生成1000 個隨機移動集中力序列樣本.根據每個載荷樣本均進行一次動力響應分析,分別得到電纜跨中位移和纜芯應力響應,最后根據樣本值求得響應的時變標準差.圖4 中給出了汽車載荷v=33.33 m/s 工況時,兩種方法的計算結果對比.從圖中曲線可知,PEM 計算得到的電纜時變響應標準差與MCS 模擬結果吻合較好,表明PEM 具有足夠的精確性.值得注意的是,在MCS 中需要進行1000 次時域響應分析.而采用PEM 計算響應時變標準差時,只需在每個頻率點處構造虛擬正弦和余弦移動載荷并進行時域響應分析.在本文中,PEM 僅需進行200 次時域響應分析便能夠得到與MCS 非常吻合的結果.

圖4 MC 方法與PEM 計算結果對比Fig.4 Comparison of results of MC method and PEM

圖5～圖7 中給出了采用PEM 計算得到的不同汽車和列車行駛速度時引起的電纜響應時變標準差.對比圖中不同速度工況時的電纜響應曲線可知,隨著汽車和列車行駛速度的增大,電纜的位移和應力響應標準差總體呈現增大的趨勢.對比電纜不同部位的響應時變標準差可知,無論是汽車載荷還是列車載荷,電纜鋁護套的應力響應標準差會比纜芯應力標準差更大.在列車載荷作用時,電纜響應標準差出現的峰值波動更多,這與列車具有更多的輪對導致的載荷完全相干作用有關.

圖5 電纜跨中位置位移響應時變標準差Fig.5 SD of displacement of the mid-span of cable

圖6 電纜跨中位置纜芯應力響應時變標準差Fig.6 SD of stress of cable core of the mid-span of cable

圖6 電纜跨中位置纜芯應力響應時變標準差 (續)Fig.6 SD of stress of cable core of the mid-span of cable (continued)

圖7 電纜跨中位置鋁護套應力響應時變標準差Fig.7 SD of stress of aluminum sheath of the mid-span of cable

3.2 電纜響應演變功率譜

圖8 中給出了由PEM 計算得到的電纜跨中位移響應演變功率譜.由圖可知,電纜位移響應主要集中在較低的頻率范圍內.盡管汽車載荷和列車載荷的功率譜取值相同,但由于兩種載荷形式和特征不同,列車載荷作用下電纜位移功率譜的取值比汽車載荷作用的下功率譜更大.

圖9 和圖10 中分別給出了PEM 計算得到的纜芯和鋁護套的應力演變功率譜.盡管移動隨機載荷被假定為高斯平穩過程,但由于載荷在橋上移動具有與時間的相關性,由此引起的電纜響應也具有時間相關性,功率譜具有演變特征.與位移演變功率譜不同的是,應力響應演變功率譜的分布頻帶范圍更寬一些.對比圖9 和圖10 中纜芯應力功率譜和鋁護套應力功率譜可知,無論是受汽車(或列車)載荷作用,纜芯和鋁護套應力功率譜隨時間和頻率的變化趨勢基本一致,但在這兩種移動載荷作用下,電纜鋁護套的應力功率譜值均大于纜芯應力功率譜的值.根據結構振動疲勞壽命分析的頻域方法[32],會使得鋁護套首先發生疲勞破壞.本文方法可以給出纜芯和鋁護套的應力功率譜,從而為沿橋敷設電纜的進一步疲勞壽命評估和預測提供了一定的基礎.

圖9 電纜跨中位置纜芯應力響應演變功率譜Fig.9 PSD of stress of cable core of the mid-span of cable

圖9 電纜跨中位置纜芯應力響應演變功率譜 (續)Fig.9 PSD of stress of cable core of the mid-span of cable (continued)

圖10 電纜跨中位置鋁護套應力演變功率譜Fig.10 PSD of stress of aluminum sheath of the mid-span of cable

4 結論

本文針對沿橋敷設電纜在隨機汽車和列車載荷作用下的動力響應進行分析,建立了橋梁-電纜有限元分析模型,采用虛擬激勵法(PEM)計算了電纜的隨機振動響應,研究了汽車和列車運行速度對電纜動力響應的影響.分析結果表明,PEM 能夠得到與Monte Carlo 方法相吻合的電纜響應演變標準差,且能夠方便地得到電纜響應的演變功率譜.當載荷的移動速度增大時,電纜位移和應力演變響應標準差會相應增大.與纜芯相比,鋁護套的位移響應演變標準差和應力響應演變功率譜值更大,這可能使得電纜的疲勞破壞首先出現在鋁護層.