中考壓軸題整體解題三步曲

黃建林

學生在解中考占30分的壓軸題時，存在的最大問題是：沒有解題思路。或者有思路沒條理性、思路不嚴密、存在邏輯瑕疵，思路缺乏靈活與變通等。通過總結多年帶學生沖中考的經驗，探究出三點引導學生解中考壓軸題的整體思路及方法如下。

一、解壓軸題三步曲

（一）閱讀理解問題：（將壓軸題讀兩遍）

1.閱讀第一遍，標出或列出或畫出題目中已知的明顯條件及數據。閱讀第二遍，梳理出題目中隱含的條件、并加以標注。同時將題目要求證明或計算的結果，進行分析、化簡、整理，以及等價轉換。形成解題思路，幫助構造出證明或計算必要的邏輯閉環(huán)。列出題目全部的明暗條件，提醒自己在下一步分析探究環(huán)節(jié)，用齊所有條件，保證解題思路無邏輯瑕疵。

（二）分析探究問題：

1探究思考時，遵循“先解決邏輯問題，再解決證算問題”的順序。找解題的邏輯線路時，可嘗試三條途徑：

（1）用全條件從左向右一步步推導（已知結果）。

（2）用全條件從右向左一步步推導（結果→已知，反推或反證）。

（3）用全條件兩頭向中間一步步推導（左→中→右）。

2.目標：打造一個貫通思路的邏輯環(huán)

3.探究時思考順序及常用工具：

（1）明暗條件夠時，直接用邏輯鏈串通條件和結果，構造完成一個解題思路的邏輯環(huán)。

（2）若遇幾何綜合題類壓軸題，明暗條件不夠、無法構造一個邏輯閉環(huán)時，要在斷缺的邏輯環(huán)節(jié)，構造出適當的符合要求的輔助線、輔助角、輔助三角形、輔助四邊形及輔助圓等，通過這些輔助線做橋梁工具，填補短缺的環(huán)節(jié)，完成邏輯閉環(huán)。

（3）若遇代幾綜合題及動點問題，明暗條件不夠、無法構造一個邏輯閉環(huán)時，可借助設定或構造適當的參數及參數組做橋梁，以設參——導參——消參做工具和手段，抓住變中不變、動中不動，找到等量關系，進而構建出解題的邏輯閉環(huán)。例如：遇二次函數圖像上的動點問題，可設動點坐標為（t，at2+bt+c）;遇直線上動點問題，可設動點坐標為（t，kt+b）。

（三）證正算解決問題：

1.進行計算、推導、證明時，要遵循已探究構造好的邏輯線路，有順序有條理的一步步完成計算、推導、證明的過程。

2.每個計算的結果、結論，要做到“有據、有理、有過程、有結論”。條件齊全時，可先列出條件、數據、公式、公理、定理、推論等要用到的條件：再進行推導、證明。若條件不齊，則通過設輔助參數，或做輔助圖形這一橋梁，構造齊所需條件，再進行推導、論證，最終算出結果或證出結論。

3.計算講求準確和速度：推導和證明講求條理、規(guī)范、完整。力爭在限定的時間內，多拿壓軸題的步驟分及結論分。

二、解題三步曲應用典例展示：

典例1.如圖，直線AB與雙曲線y=k）》0在第一象限內交于A、B兩點，與x軸交于C點，

點B為線段的AC中點，連接OA，若△AOC的面

積為3，則k的值為

1.閱讀理解問題：讀出B點在始終在雙曲

線上，滿足Xb.★Yb=K

2分析探究問題：以設參→導參→消參為手段，把兩個條件：中點及面積用全，解題的邏輯閉環(huán)就形成了。

3.證算解決問題：可設A（a，冬）、C（b，0）

因B為AC中點，可設B（史，會）（中點用上）

（1）代人Xb*Yb=K.→b=3a.（2）代人S=號OC×Ya=3消參后可得k=2.

典例2.如圖，在正方形ABCD中，點E是邊

BC的中點，連接AE、DE，分別交BD、AC于點P、Q，過點P作PF⊥AE交CB的延長線于F，下列結論：

①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°，

②AP=FP，③AE=2AO

④若四邊形OPEQ的面積為4，則該正方形ABCD的面積為36

5CE·EF=EQ·DE

其中正確的結論是

證①：∠AED+∠EAC+∠EDB=90°

1.閱讀理解：讀出正方形ABCD的對稱性，

梳理出隱含條件：∠BOC=90°

∠BOE=∠COE=45o

2.分析探究：連接OE，分析出：

∠AED=∠AEO+∠OED

由外角定理得：

∠BOE=∠ODE+∠OED=45°，∠COE=

∠OAE+∠OEA=45°

3.證算得：

∠AED+∠EAC+∠EDB=90°

證2：AP=FP

1.閱讀理解：讀出∠APF=∠ABF-90°讀出隱含條件：A、P、B、F四點共圓，進而想到隱圓的直徑AF。

2分析探究：由正方形→∠ABD=45，由同弧AP對等角→

∠AHP=45°→△APF為等腰直角三角形，

3.得AP=FP

證3：AE=0

用“設參、導參、消參”手段，證算解決設正方形ABCD的邊長為t，用勾股定理，將AE、AC、AO的長，換算成t的表達式，兩項相除消參

證④證實或證偽：

“閱讀/分析正算”三步合一羅輯思路演示：

1.由正方形的對稱性及題中條件

→△OPE的面積=△OQE的面積=2

2.由OE為△BCD的中位線→OE∥CD

OE/CDEQ/QD=OQ/QC=

→S△OQD=2S△OEQ=4

S△CQD=8→S△COD=4+8=12

3.進而→S正方形ABCD=4x12=48→正

方形ABCD的面積為36.

④為錯。

證5：CE·EF=EQ·DE

用兩頭向中間推的思路證明結論成立

1.將待證結論整理變形

CE·EF=EQ·

DE.CEEQ

DEEF

對稱得EQ=PE，CEE

DE

（中間）

2.探究∠PEF和∠CED的關系

由對稱性得∠PEF∠CED，

RT△CED∽RT△EPF（AA）

CEPE

DE

一示（中間）

3.由兩頭推到中間， 邏輯閉環(huán)形成→⑤

CE·EF=EQ·DE成立

答案選①、②、③、⑤

典例3.如圖，PB為⊙O的切線，B為切

點，直線PO交⊙O于點E、F，過點B作PO的垂

線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO與

⊙O交于點C，連接鄂C，AF

（1）求證：直線PA為⊙O的切線：

（2）試探究線段EF、OD、OP之間的數

量關系，并加以證明;

證明（1）直線PA為⊙O的切線

“閱讀/分析/證算”三步合一邏輯思路演示：

1.連接OB，“執(zhí)果索因”，構建邏輯閉環(huán)

欲證PA是圓O的切線，←（須證）∠OAP=90°

-∠OAP=∠OBP（PB為切線∠

OBP=90°）

-△OAP≌△OBP，-PA=PB，←

OP垂直平分AB

←OA=OB（及已知AB⊥OP）構建邏輯閉

環(huán)完成

下一步，可“由因到果”，完成推證過程

2探究證明（2）探究線段EF、OD、OP之間的數量關系，并加以證明

“閱讀/分析/證算”三步合一邏輯思路演示

由（1）結論知，得知并推出

OA⊥AP，AD⊥OP

→△OAP和△OAD是雙垂直母子模型

→OA2=OD·OP由OA=EF，→

EF=4OD·OP

3.探究證算（3）：若BC=6，an∠F=，求cos∠ACB的值和線段PE的長

“閱讀/分析/證明”三步合一邏輯思路演示

解題思路1：設參→導參→消參

解題思路2：利用三角函數（sinA、cosA、tanA）這一“邊角轉換器”工具。靈活運用sinA、cosA、tanA的定義，利用“在直角三角形中，角相同三角函數值一定相同，反之亦然”這一推論

解題思路3：利用雙垂直母子模型結論——射影定理及其推論

2021年廣州市中考數學題及2021年省中考數學題，在體現“初高銜接”的壓軸題中達到的難度高峰，給出了壓軸題的方向：考察數學思維。希望通過有目的的解題三步曲的思維訓練，讓學生的思維既能發(fā)散開，又能收斂回，充分打開學生的思維，抓住解中考壓軸題的核心和關鍵。