例談幾類常見的排列組合問題的解法

王慧娟

排列組合問題和實際生活息息相關，主要考查事件中可能出現的情況數.解答排列組合問題，要靈活運用分類、分步計數原理.排列組合問題的命題形式有很多種，如求數字排列順序的種數、求排隊順序的種數、求線路的條數、求染色的可能情況數等.本文重點闡述下面三類排列組合問題的解法.

一、路線問題

路線問題是一類綜合性較強的排列組合問題，一般要求最短路線的組合方案數.解答這類排列組合問題，需首先明確從起點到終點要分多少步走，然后找出幾種可能的路線，根據分步計數原理分別求出每條線路中可能出現的情況數，最后運用分類計數原理求得結果.

例1.某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一枚棋子放在如圖1所示正方形ABCD（邊長為3個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子的點數來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位長度，如果擲出的點數為i（ i=1，2，-6），則棋子就按逆時針方向行走i個單位，如此一直循環下去.則某人拋擲3次骰子后棋子恰好又回到點4處的不同走法共有（ ）種.

A.21種

B.24種

C.25種

D.27種

解：根據題意可知，長方形ABCD（邊長為3個單位）的周長為12個單位，當投擲3個骰子之后，棋子恰好又回到點A處，表示擲3次骰子的點數之和為12，有1，5，6;2，4，6;3，4，5;3，3，6;5，5，2;4，4，4共6種組合.前3個組合可列出A3 =6條線路.中間2種組合可列出6條線路，最后一種組合可列出一條線路.根據分類計數原理，可得一共有12+6+6+1=25種不同的走法，所以本題選C.

在解答線路問題時，我們需做……