由一道三角函數求值題引發的思考

雍虎虎

三角函數中的求值問題一般難度不大。解答此類問題，通常需靈活運用三角函數中的基本公式：誘導公式、兩角和差公式、二倍角公式、輔助角公式等進行三角恒等變換，使目標式與已知條件、特殊角的三角函數值靠攏，從而求得三角函數式的值.那么，如何合理運用各種公式？如何進行三角恒等變換呢？下面結合一道例題，談一談求三角函數值的方法和思路.

題目：已知sinβ+cosβ=1/5，β∈（0，π），求tanβ的值.

題目中給出的條件雖然較為簡單，但其中出現了三種函數名稱.要求得tanβ的值，關鍵是轉化三角函數的名稱.筆者從不同的角度進行探討，尋找到以下幾種不同的解題思路.

思路一：運用方程思想

思路二：比值換元

由同角得三角函數滿足“商數關系”，即tanx=sinx/cosx，所以當問題中涉及同角的正、余弦函數式或正切函數式時，可考慮采用比值換元的技巧來解題.將比值用參數替換，并把目標式用參數表示出來，便可將問題轉化為關于參數的方程或者函數問題來求解.

根據同角三角函數的商數關系tanx=sinx/cosx，引人參數t，通過比值換元，成功達到了“減元”的目的.再根據題設條件求出t的值，即可求得tanβ的值.

解答該題，需通過均值換元，將問題轉化為求關于x的二次方程的根.在解題的過程中要關注方程“根”的取舍問題.

三角函數中的求值問題對同學們的運算能力與分析推理能力有較高的要求，因此在解題時，同學們要學會將方程、三角函數知識串聯起來，充分利用方程思想、數形……