強迫振動下拉索-MR阻尼器系統半主動控制仿真研究

劉江云

摘 要：為了驗證MR阻尼器在強迫振動下對拉索進行半主動控制的效果，本研究采用RD-1005-03型MR阻尼器，以通用設計曲線為基礎，并基于Simulink系統編制半主動控制算法程序框圖，實現正弦荷載強迫振動下的拉索MR阻尼器系統的半主動控制仿真。根據所提出的半主動控制算法，計算拉索-MR阻尼器系統的動力響應。最后，結合各測點處加速度的均方根值，評價半主動控制的效果。

關鍵詞：MR阻尼器;半主動控制;正弦激勵

中圖分類號：U448 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1003-5168（2022）10-0038-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2022.10.008

Simulation Study on Semi-Active Control of Cable MR Damper System Under Forced vibration

LIU Jiangyun

（Wuhan University， Wuhan 430212，China）

Abstract： In order to verify the semi-active control effect of MR damper on cable under forced vibration， rd-1005-03 MR damper is used in this study. Based on the general design curve and Simulink system， the program block diagram of semi-active control algorithm is compiled to realize the semi-active control simulation of cable MR damper system under sinusoidal load forced vibration. According to the proposed semi-active control algorithm， the dynamic response of cable MR damper system is calculated.Finally， combined with the root mean square value of acceleration at each measuring point， the effect of semi-active control is evaluated.

Keywords： MR damper;semi active control;sinusoidal excitation

0 引言

隨著城市建設的不斷發展，建筑的跨度不斷增大，越來越多的體育場館、展覽館、購物中心等大型公用建筑開始使用拉索結構，因拉索本身阻尼較小，且質量輕、剛度小，這使得拉索易在各種作用下發生振動時振型復雜且幅度較大，因此有效的減振措施顯得尤為重要[1]。在拉索錨固端附近安裝被動阻尼器是最為常見的一種減振措施，阻尼器的安裝高度受到美觀及使用功能要求等的限制，一般被動阻尼器無法滿足長拉索的減振要求。

Dyke等[1]針對MR阻尼器減振效果的試驗，得出了半主動控制效果遠好于被動控制的結論。Liu等[2]對采用MR阻尼器的拉索縮尺模型進行了振動控制研究，驗證了半主動 MR阻尼器的減振效果明顯優于被動阻尼器。

本研究以武漢某購物中心穹頂拉索為例，采用RD-1005-03型MR阻尼器，基于雙線性力學模型，建立拉索-MR阻尼器控制模型，提出以通用設計曲線為基礎的拉索半主動控制算法，運用數值模擬正弦荷載強迫振動，驗證MR阻尼器的半主動控制效果。

1 MR阻尼器半主動控制算法

假設忽略拉索垂度、傾角、彎曲剛度等的影響，對于一般的拉索-阻尼器系統（見圖1）可建立張緊弦動力學方程，如式（1）。

[mv（x，t）+cv（x，t）-Tv"（x，t）=f（x，t）+Fd（t）δ（x-xd）]? ? （1）

式中：T為拉索張拉力;m為拉索單位長度質量;c為拉索單位長度固有阻尼;v（x，t）為拉索位移，[v]（x，t）及[v]（x，t）分別為對應的速度以及加速度;v"（x，t）為某點某時刻的位移對x的二次導數;f（x，t）為施加在拉索上任意長度的均布荷載;Fd（t）為阻尼器處阻尼力;[δ（x-xd）]為[δ-dirac]函數。

將式（1）用模態位移和型函數的形式表達，并通過標準Galerkin法進行變換得出式（2）。

[Mq+Cq+Kq=fq+φ（xd）Fd（t）q]? （2）

式中：[q]為模態位移矩陣;[φ（xd）]為模態形函數矩陣;[M]為質量矩陣;[C]為阻尼矩陣;[K]為剛度矩陣;[fq]為荷載矩陣;[Fd（t）]為阻尼力;[xd]是自錨固點算起的阻尼器安裝長度。

模態形函數有多種取法，這里選用Pacheco等[3]等提出的正弦函數形式，見式（3）。

[φj（x）=sin（jπx/L）]? ? ?（3）

式中：[L]是拉索長度;[j]為模態階數。

這樣就可以將動力學方程解耦，得到全是對角陣的系數矩陣，如式（4）至（6）。

[M=diagmii，mii=mL2]? ? （4）

[C=diagcii，cii=cL2]? ? （5）

[K=diagkii，kii=Tπ2i22L]? ? （6）

并將動力學方程轉化為以下狀態方程，如式（7）。

[Z（t）=（A-GL）Z（t）+Bfq（t）]? （7）

其中：

[Z=qq]? ?[A=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ?I-M-1K? ? ? ? -M-1C]

[G=0M-1φ（xd） ][? B=0M-1] [? L=0? ? Cd，optφT（xd）]

式中：Cd，opt表示MR阻尼器等效線性最優阻尼系數，可以通過Krenk[4]提出的線性阻尼器通用設計曲線近似求得，見式（8）。

[Cd，opt=mL2ω01i·xd·π2]? ? ? （8）

式中：[ω01]是拉索一階圓頻率，[i]為主振型模態。

蔣小路[5]對Lord公司生產的型號為RD-1005-03的MR阻尼器進行了阻尼器單體試驗，得到了阻尼器等效阻尼和電流的雙線性關系，見式（9）。

[C=（c1+f1Vmax）I+（c2+f2Vmax），0≤I≤0.5 A（c3+f3Vmax）I+（c4+f4Vmax），0.5A≤I≤2 A]

（9）

式中：[C]為阻尼器等效阻尼;[I]為阻尼器輸入電流;[Vmax]為阻尼器最大速度。其他參數詳見表1。將由式（8）得到的最優阻尼系數代入雙線性關系可以得到最優電流，將最優電流輸入阻尼器即可產生最優控制力，達到半主動控制效果。

根據上述半主動控制算法，可以建立如圖2所示的拉索-MR阻尼器系統半主動控制流程。

2 數值模擬

本研究以武漢某購物中心一根長為95 m的拉索為例，對其進行半主動控制仿真，拉索具體參數見表2。

仿真簡諧荷載形式為式（10）。

[f（x，t）=Asin（2πft）]? ? （10）

式中：A為幅值，本研究取800。

將拉索分為k（本例為95）段，共有k+1（本例為96）個節點，若某點所施加的荷載大小為F，則各點所施加的各階模態荷載可表示為式（11）。

[f（i）=F·P·φ（i）·Lk]? ? ?（11）

式中：P為1×（k+1）的荷載施加位置矩陣;[φ（i）]為n×（k+1）的各點處各階的形函數矩陣;n為形函數分析階數;L為拉索長度。

數值仿真的工況分為無阻尼器工況（UD）、零載電流被動控制工況（Passive-off）、滿載電流被動控制工況（Passive-on）和半主動控制工況（SA）四個工況。阻尼器的安裝位置為距拉索錨固端6.8 m（4% L）。

3 仿真結果

3.1 一階強迫振動

經過仿真分析計算，得到各個工況下各點位在一階正弦荷載強迫振動下的位移時程圖和PSD 圖，SA工況下的位移時程圖和PSD圖見圖3、圖4。

表3列出了拉索-MR阻尼器系統在正弦荷載作用下一階強迫振動的PSD峰值，從減振率的對比中可以看出，半主動控制的減振效果最明顯，說明其對一階強迫振動能量的削峰作用最佳。

表4為各工況下的加速度對比，從表4中數據可以看出：半主動控制在拉索各點所得到的加速度減振率均為最大值。由此可以看出，半主動控制在拉索強迫振動過程中能較好地控制振動加速度。

3.2 二階強迫振動

經過仿真分析計算，得到各個工況下各點位在二階正弦荷載強迫振動下的位移時程圖和PSD圖，圖5和圖6為SA工況下的位移時程圖和PSD 圖。

表5為正弦荷載激勵下拉索-MR阻尼器系統做二階強迫振動時的PSD峰值對比表。由于是二階振動，表中僅列出了阻尼器處和四分點處兩點的PSD值。由表中數據可得半主動控制與Passive-on控制的能量減振率基本相當，且遠大于Passive-off控制。從減振幅度的角度看，滿載電流被動控制的能量削峰幅度在三者中最大。

表6列出了三種控制方法對二階強迫振動的加速度控制效果。半主動控制算法對加速度的控制能力在阻尼器位置處達到最優，與Passive-on 控制相比，加速度減振率略微遜色。

4 結語

本研究以某購物中心拉索為原型，構建了拉索-MR阻尼器系統，提出了半主動控制算法。通過拉索-MR阻尼器系統在正弦荷載作用下的一階和二階強迫振動，檢驗了本研究所采用的半主動控制算法的減振效果。結果表明：基于MR阻尼器雙線性力學關系的半主動控制算法能有效減小拉索在強迫振動下的位移，削弱各階振動的能量峰值，減小各點振動加速度的均方根值，對拉索振動具有較好的控制效果。

參考文獻：

[1] DYKE S J， SPENCER JR B F， SAIN M K，et al. An Experimental Study of MR Dampers for Seismic Protection. Smart Structures and Materials[J]. Special Issue on Application to Large Civil Infrastructures， 1999（5）：693-703.

[2] LIU M， LI H， LI J H， et al.，Experimental Investigation on Vibration Control of One Stay Cable Using One Magneto-rheological Fluid Damper[J]. Smart Structures and Materials，2016.

[3] PACHECO B， FUJINO Y，? SULEKH A. Estimation Curve for Modal Damping in Stay Cable with Viscous Damper[J]. Journal of Structural Engineering，1993（6）：1961-1979.

[4] KRENK S. Vibration of a Taut Cable with an External Damper[J].Journal of Applies Mechanics， ASME， 2000， 67：772-776.

[5] 蔣小路.斜拉索減振MR阻尼器優化設計[D].上海：同濟大學，2010.