伽利略新解“王冠之謎”
——從密度秤到浮力天平的思維過程

仝 磊

(江蘇省南京市金陵匯淳學校，江蘇 南京 211316)

1 引言

阿基米德最為人們熟知的故事是解決了“王冠之謎”，因故事具有廣泛的代表性和深刻的教育意義，在初中物理課堂中老師們常常會予以采用，或在“密度”一節，或在“浮力”一節。總之，教師希望借著阿基米德在具體問題情境中的深入思考，向學生展現物理探索的無窮魅力。對于阿基米德探索“王冠之謎”的故事，師生們早已耳熟能詳。此外，大部分教師和學生可能還記得他的名言：“給我一個支點，我可以撬動地球”，通常在“杠桿”的教學中被老師們引用。遺憾的是，無論教師還是學生，均很少意識到這兩個故事之間的密切聯系，其中奧秘由另一位偉大物理學家伽利略揭開。

伽利略讀到了阿基米德解決王冠之謎的故事，深為阿基米德的智慧和才能所感動，但認為他所使用的方法較為繁瑣。此后，他反復閱讀阿基米德關于浮力定律和杠桿原理的論述，研制了可以測定各種物質密度的小秤，使解決王冠之謎的方法變得更為簡捷。[1]

2 密度秤的構造及原理

圖1是密度秤的結構示意圖，主要部分包括以O為支點的杠桿AB，左右兩端分別有一個可自由滑動的掛鉤，右側為待測物體，左側為配重。

圖1

調節平衡螺母使杠桿處于平衡狀態，在杠桿左端A處懸掛配重，可以是細石、沙礫或者鉤碼，在右側OD之間B處懸掛待測物體，使杠桿仍處于平衡狀態，為減小測量誤差，B點應盡量靠近D端點。緊接著，將待測物體緩慢浸入水中，將配重向支點O移動至C點(圖2)，使杠桿再次平衡。

圖2

根據上述原理，筆者制作了如圖3所示的密度秤，具體制作材料和使用方法如下。

圖3

(1) 密度秤的結構：鐵架臺、帶刻度的杠桿(在左、右兩端分別掛有一個可自由滑動的掛鉤)、兩個礦泉水瓶(一個作為配重，掛在左側;一個用來浸沒待測物體，掛在右側)。

(2) 密度秤的使用:使lAO=lBO=20 cm，初始懸掛點位置一經確定后不可改動。由上述公式可在杠桿左側標定密度的刻度，支點O位置對應的密度為1.0 g/cm3，由支點向左密度逐漸增大，呈現左密右疏的不均勻分布，刻度10 cm處對應的密度值為2.0 g/cm3，刻度15 cm處對應的密度值是4.0 g/cm3，刻度18 cm處對應的密度值為10.0 g/cm3。每次測量前調零,配重調到A點，待測物體懸掛在B處，在A瓶中增減水，使得杠桿平衡。

3 浮力天平的構造及原理

在密度秤的基礎上，伽利略又設計了“浮力天平”，用它能夠直接測出王冠中所含金、銀的比例。[2]伽利略運用阿基米德發現的浮力原理和杠桿原理，使得“王冠之謎”變得簡單易解。浮力天平的構造如圖4所示，從整體上看它有點像普通的天平，秤臂有1 m多長，在兩端分別刻有A、B兩個凹槽，中間吊起成為支點，在距A點不遠處有一段細密均勻的刻度，其兩端分別標注為x、y。

圖4

秤臂上x、y的確定：在B點掛上金塊，在A點掛上砝碼盤，增減砝碼使秤臂平衡，然后把金塊浸沒到水中，同時砝碼盤向支點移動，當秤臂再次平衡時，砝碼盤所在的位置到O點的距離就是x。取下金塊，換上銀塊，用同樣的方法確定y。

如圖5所示，測量時將王冠掛在B點，砝碼盤掛在A點，增減砝碼使秤臂平衡。將王冠慢慢沒在水中，同時將砝碼盤向支點移動，當秤臂再次平衡時，砝碼盤移到了x、y之間，在秤臂上記下砝碼盤所在的位置到O點的距離z。

圖5