針對復雜噪聲場景的FCM聚類算法非局部改進*

聊城大學數學科學學院 呂美琪 韓紅燕 劉婷婷 孫忠貴

作為一種常用的圖像分割算法，模糊C均值聚類(FCM)對噪聲過于敏感。針對此缺陷，研究者們提出了諸多改進算法。然而，現有算法在面對較為復雜的噪聲場景時，所得圖像分割效果往往不令人滿意。通過對經典FCM算法的目標函數施加非局部正則化，該文給出一個FCM非局部改進算法(FCM_UNL)。在復雜噪聲場景下進行圖像分割時，FCM_UNL能保持較高的分類精度。初步的圖像分割實驗表明了所提算法的有效性。

圖像分割是圖像處理的關鍵內容之一，分割質量的好壞往往對后續的圖像識別、分析等環節有著直接影響[1,2]。因此，圖像分割一直是計算機視覺領域的研究熱點之一。而聚類算法則是一類常用的圖像分割工具[3,4]。與傳統聚類非此即彼的硬劃分相比，模糊C均值聚類(Fuzzy C-Means，FCM)[5]充分利用了模糊理論在類別描述上的靈活性，克服了硬劃分的缺陷，能更靈活地反映現實事物的類屬關系，從而有可能取得更好的圖像分割效果。FCM的相關研究也吸引著眾多科研工作者的關注。

目前FCM用于圖像分割的具體研究主要集中在單一高斯噪聲，而實際的圖像獲取過程往往會受到更為復雜噪聲的影響，因此開展復雜噪聲場景下的FCM圖像分割研究更具有實用價值。近年，在圖像增強領域已有了一些關于復雜噪聲去除的相關研究[6,7]。文獻[6]通過重新定圖像塊的相似度量，設計出一個通用的非局部濾波算法(Universial NonLocal Means，UNLM )，UNLM不但能濾除高斯噪聲，還能濾除脈沖噪聲及高斯與脈沖兩者的混合噪聲。受文獻[6]工作的啟發，本文擬對FCM開展通用的非局部改進，以增強其在復雜噪聲場景下圖像的分割性能。

本文第1節對FCM及一些現有的改進算法進行總結，并指出這些算法各自的優、缺點，說明它們面對復雜噪聲場景，圖像分割性能下降的主要原因。結合第1節的分析，第2節給出一個FCM算法的通用非局部改進模型，并通過模型求解，使改進算法得到具體實現。第3節給出本文相關算法的圖像分割仿真實驗，測試所提算法有效性。最后總結全文，并對未來值得進一步研究的方向進行初步探討。

1 經典FCM及現有改進算法

1.1 經典FCM算法

令X={x1,x2,…,xn}表示有n個像素點的圖像，其中xi為第i個像素的灰度值，則經典FCM算法為了把圖像分割為c類定義如下目標函數：

約束條件為：

在上式中||·||為歐幾里得范數，m(m＞1)為模糊參數。通過拉格朗日乘子法對Jm求最小值，隸屬度與聚類中心如下：

通過選取初始聚類中心，對(3)式進行迭代優化，得到各聚類中心的隸屬度，從而完成對圖像X的分割。

1.2 現有改進算法

經典FCM算法對噪聲十分敏感，在對含噪圖像進行分割時往往不能獲得理想效果[5]。為彌補FCM算法的這一缺陷，研究者們開展了一系列工作：

以鄰域像素構成正則項，通過對FCM目標函數施加空域正則化約束，文獻[8]提出了FCM_S算法，其目標函數如下：

其中β為正則化參數，Si為第i個像素的鄰域，SR為相應領域中像素的數量。FCM_S較傳統FCM算法在圖像分割中對噪聲的魯棒性明顯提高。然而，由于FCM_S算法涉及大量鄰域計算，較FCM算法運算復雜度增加十分明顯。為提高FCM_S的運算效率，文獻[9]提出FCM_S1與FCM_S2算法，分別用均值濾波（FCM_S1）或中值濾波（FCM_S2）取代FCM_S中的鄰域計算，先得到一幅濾波圖像，然后以此濾波圖像為參考圖像，并將其與目標圖像相結合進行圖像分割。在保證對噪聲魯棒性的同時，FCM_S1與FCM_S2算法在運算速度方面較FCM_S有了明顯提升。

其中FCM_S1與FCM_S2的目標函數分別為：

上面目標函數中α為正則化參數，與別為第i個像素的均值與中值濾波輸出。

非局部均值濾波器(NonLocal Means，NLM)[10]由于更好地利用了圖像的周期性，取得了較傳統濾波算法更優秀的去噪效果，并在圖像增強領域得到廣泛應用[11-13]。受NLM算法的啟發，文獻[14]將NLM濾波取代FCM_S1算法中的局部均值濾波得到一個非局部的FCM改進算法，并稱之為FCM_NLS，其目標函數相應化為：

需注意，上述這些對FCM的改進算法主要是針對單一高斯噪聲，且污染強度不高的情況。考慮到實際的圖像獲取圖像過程往往會受更為復雜噪聲的污染(如強噪聲或混合噪聲)。如何使FCM算法能在復雜噪聲場景保持好的圖像分割性能就變得很有意義。

2 FCM非局部改進算法(FCM_UNL)

在圖像增強領域，已有一些利用非局部策略對復雜噪聲進行濾除的工作[6,7]。其中文獻[6]提出的通用非局部濾波器(UNLM)在濾除強高斯噪聲及高斯、脈沖混合噪聲時均取得了較好效果。在UNLM中像素i與像素j間權值wij獲取步驟如下：

算法開始：初始化最小圖像塊邊長dmin，最大圖像塊邊長dmax

(1)d=dmin;

(2)若d≤dmax，計算匹配塊中可信像素的指標集KU[6]，否則轉（6）;

(3)若j?KU，轉(6);

(4)若KU＜T則d=d+1，轉(2)；(T為可信閾值，默認為15)

(6)wij=0；

算法結束。

與NLM類似，UNLM在本質上依然是一個加權濾波器，其中第i個像素的濾波輸出為。將此濾波輸出用于FCM算法的非局部正則化約束，得到改進算法FCM_UNL的數學模型：

相應拉格朗日函數為：

分別令

得

從而得到FCM_UNL模型的解。

3 實驗仿真

實驗采用一幅人工合成圖像，首先對圖像施加不同程度的高斯噪聲、高斯與脈沖混合噪聲，然后進行分割實驗，從分割精度(Clustering Accuracy, CA)[15]與視覺效果兩個方面進行實驗結果比較。其中脈沖噪聲強度用方差σ表示，脈沖噪聲強度用r表示。分割精度CA采用下式計算：

其中C為類別總數，Ai是分割算法得到的第i類的像素集，Ci為第i類像素的正確參照，|·|為相應集合中元素的數量。

在具體實驗中，本文所提FCM_UNL算法的正則化參數α取值為6，圖像塊的搜索邊長從dmin=4到dmax=6，搜索窗邊長為21。考慮到實際中噪聲類型、強度等往往為未知數，為增強算法的實際應用，FCM_UNL在進行非局部濾波時，受文獻[14]啟發，FCM_UNL中高斯核參數h固定為30，不再依賴具體噪聲類型及強度。實驗中其余算法的參數選擇均依照原始文獻。

圖 1 高斯噪聲σ = 50 時人工合成圖像分割的視覺效果Fig.1 Segmentation results on the synthetic corrupted byGaussian noise with σ=50

3.1 單一高斯噪聲情況

對一幅人工合成圖像施加不同強度高斯噪聲，然后采用不同算法進行圖像分割，各算法對圖像的分割精度如表1所示。其中σ=50時分割視覺效果如圖1所示。

表1 不同強度高斯噪聲下人工合成圖像分割精度（CA）Tab.1 Segmentation accuracy of synthetic image under different intensity Gaussian noise(CA)

由上述實驗結果可以看出，對單一高斯噪聲環境，隨噪聲強度的增加(方差大于30)，本文所提算法(FCM_UNL)在所有比較算法中均取得最高的分割精度與最好的視覺效果。

3.2 混合噪聲情況

對圖像施加不同程度的混合噪聲，不同算法的分割精度如表2所示。

表2 脈沖與高斯混合噪聲下人工圖像的分割精度（CA）Tab.2 Segmentation accuracy of artificial image under impulse and Gaussian mixture noise(CA)

當r=0.2，σ=50時的視覺效果如圖2所示。

4 結論

本文對經典FCM算法的目標函數施加通用非局部正則化空域約束，提出了一個FCM的改進算法(FCM_UNL)，并將其用于圖像分割任務。FCM_UNL算法克服了現有一些FCM改進算法只能處理單一噪聲的缺陷，仿真實驗表明，相對于一些現有改進算法，FCM_UNL在復雜噪聲場景下依然能夠取得良好的圖像分割效果。需注意的是，如同FCM_NLS算法，本文提出的FCM_UNL算法由于實現過程中要進行非局部濾波，這使得其運行速度較一些局部正則化改進算法有所降低。因此，如何提升對FCM_UNL算法的運算速度，將值得進一步開展研究。

圖 2 混合噪聲為r=0.2σ=50時人工合成圖像分割的視覺效果Fig.2 Segmentation results on the synthetic corrupted bymixed noise with r = 0.2 and σ=50

引用

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